ESTADÍSTICAS
IV. PERSPECTIVA HISTÓRICA
DE LOS MODELOS ECONOMÉTRICOS
El desarrollo teórico y la aplicación práctica de los modelos econométricos no siempre han ido a la par.
En términos generales, en el caso de los modelos econométricos, dado su elevado carácter empírico, las técnicas aplicadas han ido por delante de su co- rrespondiente desarrollo teórico.
El objetivo de este apartado es, en primer lugar, de- finir lo que es un modelo econométrico y, en segun- do lugar, describir su desarrollo, tanto teórico como empírico, a través de una perspectiva histórica.
Los modelos son esquemas matemáticos que aproximan la realidad y, por tanto, resultan instru- mentos útiles para entenderla. Los modelos diná- micos, en concreto, estudian el comportamiento de variables temporales. El marco teórico correspon- diente es el de los procesos estocásticos. Un proce- so estocástico es una sucesión infinita de variables aleatorias ordenadas en el tiempo que están rela- cionadas entre sí.
..., Y1, Y2, ... , YT, ... [A]
Sobre la sucesión [A] de variables aleatorias se dispone de una serie de observaciones referidas a T variables del proceso que constituyen una serie tem- poral, constituyendo a su vez el contexto muestral que nos proporciona el conjunto informativo que vamos a emplear para construir el modelo. Así, por ejemplo,
— el fenómeno económico, inflación en la zona euro, puede definirse como un proceso estocástico:
Inflación en el mes, ... , en el mes uno, en el mes dos, ... , en el mes T, en el mes, ... , son variables aleatorias de dicho proceso;
— la inflación observada en el mes uno, en el mes dos, ... , en el mes T, constituyen una serie
temporal de las correspondientes variables alea- torias.
En gran parte de las variables temporales estu- diadas en el análisis económico aplicado se detec- ta en su evolución temporal un patrón de compor- tamiento regular. Esta regularidad es, en general, estocástica, es decir, no admite una formulación funcional determinista, es función de variables es- tocásticas, como, por ejemplo, los propios valores pasados de la variable.
Estimando tal regularidad mediante la aplicación de procedimientos estadísticos, se obtiene un me- canismo que permite: a)explicar los valores obser- vados en términos de un componente regular y una desviación sobre el mismo, y b) establecer un pro- cedimiento de predicción de sus valores futuros. Este mecanismo explicativo/predictivo objetivo se deno- mina precisamente modelo.
Con la construcción de un modelo, la variable Yt, se descompone en dos partes:
Yt= PSt+ at
La parte sistemática (PS) recoge la regularidad en el comportamiento de Y. Es la parte predecible de Ycon la información utilizada en la construcción del modelo.
La innovación o sorpresa (a), respecto al conjun- to informativo utilizado en el modelo, es un com- ponente aleatorio, cuyos valores son independien- tes entre sí; es impredecible, es lo único nuevo que se incorpora al fenómeno en cada momento del tiem- po; recoge factores múltiples que afectan a Y, cuyo efecto no se puede adelantar antes de ser observa- do; también puede capturar errores de medida si no presentan ningún tipo de regularidad. La parte sis- temática y la innovación son independientes.
El objetivo final al construir un modelo cuantita- tivo es formular una parte sistemática tal que el ele- mento residual (a) sea un proceso ruido blanco gaus- siano, es decir, un proceso con media cero, varianza constante y cuyos valores son independientes.
El gráfico 1 muestra la evolución del crecimien- to mensual de los precios al consumo en la zona
1990/02 -0,005
0,009
0,001 0,003 0,005 0,007
Diferencia regular LN IPCA total UEM
1992/10 1995/06 1998/02 2000/10 2003/06
-0,001
-0,003
GRÁFICO 1
INFLACIÓN MENSUAL EN LA ZONA EURO (Yt)
CUADRO N.º 2 RUIDO BLANCO GAUSSIANO
E(at) = 0 var(at) = σa2
corr(at, at– k) = corr(at+ j, at+ j– k) = 0; para todo i, jy k
euro medidos a través del índice de precios al con- sumo armonizado (IPCA), que constituye la variable de interés, mientras que el gráfico 2 representa la evolución ideal de la parte impredecible que no ex- plica un modelo construido sobre la inflación.
Si Yt es un proceso estocástico que verifica las siguientes hipótesis:
1) Hipótesis de estacionariedad en sentido am- plio, es decir, el proceso tiene media y varianza cons- tantes y sus variables pueden estar relacionadas li- nealmente entre sí, pero con la restricción de que la relación entre dos variables depende sólo de la dis- tancia temporal kexistente entre ellas, pero no del tiempo.
2) Hipótesis de normalidad, las variables siguen una distribución normal.
3) Hipótesis de recursividad temporal, es decir, el presente no depende del futuro.
4) Hipótesis de invertibilidad, es decir, el presen- te depende de forma convergente de su pasado.
Se puede formular a través de los dos modelos teóricos univariantes siguientes, igualmente váli- dos:
Modelo autorregresivo infinito:
Yt= π1Yt– 1+ π2Yt– 2+ ... + at; at~ Niid(0, σa) [1]
Walker (1931)
π∞(L)Yt= at;
Σ
πj2< ∞(invertibilidad)Wold (1938)
Modelo de medias móviles infinito:
↑↓
Yt= at+ Ψ1at– 1+ Ψ2at– 2+ ...; at~ Niid(0, σa) [2]
Slutski (1937)
Yt= Ψ∞(L)at;
Σ
Ψj2< ∞(estacionariedad) Los modelos teóricos anteriores explican Yt en función de infinitos valores o innovaciones pasadas.Pero, en la práctica, la información disponible con- siste en una serie temporal de Ytcorrespondiente a los períodos 1, 2, ... , T. Los modelos que se esti- man no pueden tener una dependencia infinita sin restricciones, sino una dependencia temporal acotada con restricciones. Es necesario simplificar la estruc- tura del polinomio temporal de orden infinito em- pleando una formulación que requiera un número finito de parámetros.
Los modelos operativos para procesos estaciona- rios se clasifican en función del conjunto informati-
0 -2 -1 0 2
WN
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 1
GRÁFICO 2
RUIDO BLANCO (at)
vo empleado en su construcción. Hasta el momen- to t–1 conocemos la siguiente información:
— Valores pasados de Yt: Y1, Y2, ... , Yt– 1.
— Innovaciones pasadas: a1, a2, ... , at– 1. En función de la información empleada, es posi- ble construir:
a) Yt= f (historia pasada en términos de valores observados de la serie) + at
Modelos autorregresivos de orden finito: AR(p) Yt= φ1Yt– 1+ φ2Yt– 2+ ... + φpYt– p+ at;
at~ Niid(0, σa)
b) Yt= f (historia pasada en términos de innova- ciones) + at
Modelos de medias móviles de orden finito: MA(q) Yt= at– θ1at– 1– θ2at– 2– ... – θqat– q;
at~ Niid(0, σa)
c) Yt= f (historia pasada en términos de valores e innovaciones) + at
Modelos autorregresivos de medias móviles de orden finito: ARMA(p,q)
Yt= φ1Yt– 1+ ... + φpYt– p– θ1at– 1– ... – θqat– q+ at; at~ Niid(0, σa)
A continuación, se describe el desarrollo histórico de todos estos modelos a través de la perspectiva pro- puesta por Espasa (1991), que data el nacimiento del análisis de series temporales con el trabajo de J. Fou- rier en 1807, en el que se demuestra que una serie temporal se puede aproximar mediante la suma de se- nos y cosenos. Pero la expansión de Fourier única- mente es válida para series deterministas. Yule (1926 y 1927) postula que el análisis de Fourier no es ade- cuado para series reales, pues en ellas las amplitudes y los períodos de los componentes sinusoidales son es- tocásticos, lo que es posible recoger a través de los va- lores pasados de la variable, de modo que Yule (1927) introduce los modelos autorregresivos de segundo orden como esquemas para generar series con osci- laciones cíclicas estocásticas. El proceso de Yule fue ge- neralizado por Walker (1931) introduciendo un es-
quema general de procesos autorregresivos. Más ade- lante, Slutski (1937) introdujo otro tipo de procesos para generar series temporales con oscilaciones cícli- cas, los procesos de medias móviles. La integración de ambos tipos de procesos, autorregresivos y de me- dias móviles se realizó con el trabajo de Wold (1938), en el que se establece una formulación general para cualquier tipo de proceso estocástico estacionario in- troduciendo los procesos mixtos, autorregresivos y de medias móviles, modelos ARMA.
A finales de los años sesenta, el análisis teórico sólo había desarrollado un esquema estocástico ge- neral para el componente estacionario de las series temporales. Sin embargo, el análisis aplicado de se- ries temporales asumía plenamente que, en gene- ral, las series reales eran no estacionarias, y para extraer componentes o señales de ellas o para pre- decir se utilizaban procedimientos que tenían en cuenta tal característica. Así, Shiskin et al. (1967) pre- sentan un procedimiento de extracción de señales (X-11) por el que una serie se descompone en ten- dencia, componente estacional y elemento irregu- lar, aplicando medias móviles a los datos origina- les. De esta forma empiricista se suplía la falta de una teoría sobre procesos estocásticos no estacio- narios. En el campo de la predicción también se desarrollaron procedimientos empiricistas, como los procedimientos de alisado (Holt, 1957).
El puente entre los desarrollos teóricos y los pro- cedimientos aplicados fue tendido con la introduc- ción por Box y Jenkins, en 1970, de los modelos
ARIMA, que suponen una generalización de los es- quemas teóricos implícitos en los procedimientos empíricos empleados hasta el momento. La contri- bución de Box y Jenkins no fue meramente teórica, sino enormemente práctica, pues, junto con el es- quema teórico de modelo estocástico, propusieron una metodología para que los propios datos de- terminen cuál es el modelo ARIMA más adecuado para explicar su generación. Por tanto, si Yt es un proceso no estacionario homogéneo, de forma que su transformación ∆dYtes estacionaria, se obtiene el modelo ARIMA(p, d, q):
φp(L)∆dYt= θq(L)at; at~ Niid(0, σa)
Box y Jenkins (1970)
donde:
∆Yt= (1 – L) Yt= Yt– LYt= Yt– Yt– 1
∆ es el operador diferencia regular y Lel opera- dor retardo.
En series temporales de periodicidad mensual o trimestral, las observaciones actuales dependen de las inmediatamente anteriores, pero también de las realizaciones ocurridas en ese mismo período, mes o trimestre, de años previos. Para recoger esta dependencia estacional, se emplean los modelos
ARIMAmultiplicativos:
φp1(L) • Φp2(Ls) ∆dUs– 1(L) Yt= θq1(L) • Θq2(Ls) at;
at~ Niid(0, σa);
donde:
Φp2(Ls) y Θq2(Ls) recogen la estacionalidad esta- cionaria;
Us– 1(L) recogen la estacionalidad no estacionaria;
∆s= (1 – Ls) = (1 – L) (1 + L+ ... + Ls– 1) = ∆Us– 1 (L);
∆sYt= (1 – Ls) Yt= Yt– LsYt= Yt– Yt– s,
∆ses el operador diferencia estacional.
Box y Tiao (1975) amplían los modelos ARIMA
con la introducción de variables deterministas, ge- neralmente binarias, para recoger movimientos atí- picos, dando lugar a los modelos ARIMAcon análi- sis de intervención.
En el análisis conjunto de varias variables es im- portante distinguir entre variables endógenas y va- riables exógenas. Se dice que una variable es exó- gena en el análisis que se pretende realizar si es posible realizarlo condicional a dicha variable, es decir, sin necesidad de modelizar expresamente la ecuación explicativa de la presunta variable exóge- na. Si la finalidad del modelo ampliado con varia- bles exógenas es predecir, se requiere adicional- mente que las variables sean fuertemente exógenas, es decir, que no vengan causadas, en el sentido de Granger, por la variable de interés Yt. Así, llegamos al modelo lineal general uniecuacional:
∆(L) Yt=
Σ
mj= 1 ν∞, j(L) ∆(L) Xjt+ [θq* (L)/φ*p(L)] at;at~ Niid(0, σa);
donde Xjt, j = 1, ... , mson variables fuertemente exógenas.
En el caso de que las variables explicativas sean endógenas, surgen los modelos vectoriales auto-
rregresivos, modelos VAR, propuestos por Sims (1980):
zt= A1 zt– 1+ ... + Akzt – z+ ut; ut≈N
(
0,Σ )
Finalmente, los modelos VARpueden reformular- se de forma que capturen tanto la dinámica a corto plazo entre las diferentes variables como las restric- ciones de largo plazo existentes entre ellas, de modo que se obtienen los modelos vectoriales con meca- nismos de corrección del equilibrio, modelos VEqCM (Clements y Hendry, 1999):
∆zt= Γ1∆zt– 1+ ... + Γk– 1∆zt– k+ 1+ αβ’ zt– 1+ ut donde, αβ’ recogen las restricciones de largo plazo existentes entre las variables en niveles o restriccio- nes de cointegración (Granger, 1981).
V. UN CASO PRÁCTICO: MODELIZACIÓN