3 Taller de Análisis Matemático II
3.2 Problema 2
Análisis de la solución
Una vez obtenida una solución, se sugirió al estudiante que analizara el resultado obtenido, a partir de información que pueda obtener desde el lugar de trabajo, como así también utilizando herramientas tecnológicas.
a) Análisis de la situación con un programa de diseño que utilizan a diario en su lugar de trabajo (Fig. 6), mostrando como al ejecutar los ductos en la fábrica, se trazan los cortes de chapa por aproximación de poligonales.
Fig. 6. Esquemas obtenidos con el programa de diseño.
b) Cálculo de la cuarta parte del área de la superficie con el programa de diseño del área del corte de chapa (Fig. 7).
Fig. 7. Valor del área del ducto con el programa utilizado.
c) Análisis del valor obtenido con el software. Aproximando el resultado a 10,28m2, se obtiene un área total de 41,12m2. Este valor da un error de aproximadamente 4%, respecto al cálculo teórico.
Continuidad del problema
El estudiante consideró que el problema permitiría seguir trabajando:
a) La posibilidad de considerar casos donde se realicen más de un empalme, y con diferentes longitudes de ducto. En este caso se puede realizar el cálculo del área de empalme solamente, sumando la superficie del cilindro recto. En el caso de estudio, se puede representar de la siguiente forma:
AS=4 02103dvdu+4
(
021−3cosu+43dvdu)
(8) b) También, es importante conocer el fluido que transporte o contenga el ducto, para calcular el peso de este, que sumado al del ducto propiamente dicho, permitirá calcular el soporte necesario. Para ello, se debe calcular el volumen contenido en esa sección del ducto.Visualización de la situación
Trabajaron ambos estudiante colaborativamente en la representación del recinto (Fig. 8) y de proyecciones sobre los planos coordenados (Fig. 9).
Fig. 8. Recinto sólido.
Fig. 9. Proyecciones sobre los planos coordenados del recinto sólido.
Análisis de información
El estudiante que trabajó con este problema partió del valor del volumen que le brindaba el programa AutoCAD, que a diario utiliza (con la correspondiente licencia) en su lugar de trabajo (Fig. 10).
Fig. 10. Resultado del volumen obtenido con AUTOCAD Resolución del problema
El estudiante planteó el siguiente esquema de trabajo para la resolución del problema:
a) Simplificación / Modelización matemática
Para el cálculo del volumen del sólido el estudiante planteó el siguiente sistema de ecuaciones:
b) Definición del recinto de integración
o A partir del cálculo de volúmenes de recintos sólidos similares, el estudiante decide escribir el recinto de integración utilizando coordenadas polares (al trabajar con integrales dobles):
) (
) cos(
sen y x
=
=
0 2
; 3
0 (10) c) Cálculo del volumen por medio de una integral doble utilizando coordenadas polares
d d x
V 4 (4 9 )
3 0 2 2
0 − −
=
(11) Una vez planteada la integral (11), el estudiante se encontró con la dificultad del cálculo de esta:
= −
(
+)
02 20 9 cos sec
18
4
V
(12) d) Nueva definición del recinto de integración
Lo anterior lleva al estudiante a definir los extremos de integración utilizando coordenadas rectangulares, considerando simetría del recinto sólido sobre el plano XY y tomar la ¼ parte de este según muestra la Fig. 11.
0x3; 0y 9−x2 (13)
Fig. 11. Recinto de integración sobre plano XY.
Para la definición del extremo en z, el estudiante consideró:
x2+(z−4)2=9 =>
9 2
4 x
z− = − =>
−
− −
= + 22 9 4
9 4
x z x
(14) El estudiante suma a la resolución varias imágenes del recinto de integración (Fig. 12).
Fig. 12. Recinto de integración.
e) Cálculo del volumen por medio de una integral doble
dydx x V
x
) 9 4 ( 4
9 2
0
2 3
0 − −
= −
(15)
( )
33
08 . 41 27 , 10 3 4
3 3 4 9 9 4
4 m
V = =
− +
=
(16) Análisis de la solución
El estudiante reconoce que lo realizado a partir de la aplicación de conocimientos de Análisis Matemático II ha permitido verificar el valor que determinaba el AutoCAD (Fig. 10).
4 Conclusiones
Las funciones más habituales de los ingenieros son el diseño, el desarrollo, la producción, la evaluación, el control, la construcción y la operación de proyectos de solución de problemas. Cada una de estas funciones requiere de procesos de precisión, investigación, establecimiento de criterios, consideración de alternativas, análisis y resolución de dichos problemas, comunicación, toma de decisiones y otras.
La intención del docente universitario es preparar al estudiante para que logre ser un ingeniero competente.
Tal como expresa [13]:
La enseñanza es una actividad intencional, y esa intencionalidad consiste en el ejercicio deliberado de influencia sobre aquellos a los que se enseña; una influencia que se traduce en proponer – cuando no imponer– significados sobre la realidad, a través del conocimiento y las formas en que éste se hace accesible a los estudiantes y de las relaciones pedagógicas que para su adquisición se establecen. Es, por todo ello, una actividad moral. Así pues, la enseñanza se realiza de acuerdo con algunas razones, para algunos propósitos que deben explicitarse y comunicarse. (p.205)
Desde este posicionamiento, la cátedra de Análisis Matemático II fundamenta las acciones que día a día realiza, en este caso particular desde el Taller, tendientes a mejorar la calidad de los aprendizajes del estudiante de Ingeniería. En este artículo es posible apreciar el trabajo realizado por el alumno en la resolución del problema, el cual permite evidenciar a través de él las intenciones docentes formuladas.
La metodología de trabajo por proyectos en el aula del Taller permitió al estudiante enriquecer su facultad racional, brindando formas de trabajo, espacios y tiempos de investigación y reflexión sobre lo realizado y toma de decisiones totalmente fundamentadas, constituyendo un valiosísimo aporte a su formación como ingeniero.
Como se mencionó antes, la gente aprende más cuando tiene una oportunidad razonable y una motivación para hacerlo [15].
Se considera que un gran desafío fue involucrar al estudiante en plantear una situación problemática concreta que tenga interés por estudiarla. Utilizar situaciones concretas y a partir de ellas plantear un problema, no es tarea sencilla. Mucho más, con el plus de mostrar la importancia de los temas que se desarrollan en Análisis Matemático II y sus aplicaciones en la Ingeniería. Como docente es preciso enseñar a escribir y plantear el problema con precisión y claridad en el lenguaje. Para ello fue necesario brindar al estudiante oportunidades para que realice investigaciones que le permitieran conocer más del problema en estudio, para luego aplicar dichos conocimientos en las etapas de resolución del problema.
No menos importante ha sido priorizar la reflexión y el razonamiento frente al entrenamiento y la memorización. Calcular el volumen del horno resultó para el estudiante mucho más que aplicar una integral doble o triple. Implicó interpretar los planos, reflexionar por qué etapas debía transitar para resolver el problema, analizar cómo podía dividir el horno para realizar menos cálculos y con mayor precisión, razonar cuáles serían las mejores secciones que considerar, etc. El planteo y cálculo de cada una de las integrales evidencia el razonamiento realizado por el estudiante en cuanto a qué herramientas matemáticas resultaban las adecuadas y necesarias para hacerlo.
Esto último ha permitido fomentar la concientización sobre la necesidad de una formación matemática sólida que permita al estudiante abordar con éxito, no sólo las materias del ciclo de especialidad, sino las situaciones concretas de su trabajo diario.
El valor agregado de este tipo de trabajo, en una asignatura como es Análisis Matemático II de segundo año