ALGEBRA LINEAL ´
(17-11-2020)
Grado en Matem´aticas Curso 2020–21
Hoja no 7
Espacio Dual.
1. SeaT :R3[x]−→R la aplicaci´on lineal definida por T(p(x)) = Z 1
−1
p(t)dt. Calcular las coordenadas
deT respecto de la base dual de{1, x, x2, x3}.
2.Encontrar una baseB={v1, v2, v3}deR3, respecto de la cualv1∗ (el dual dev1respecto deB) coincide con la aplicaci´on linealf(x, y, z) =x−y.
3. Seaf :M2(R)→R3la aplicaci´on lineal dada por
f a b
c d
!
= (a+b,0, d)
(i) Encontrar bases deKer(f) y de Im(f). Comprobar la f´ormula de la dimensi´on.
(ii) Sea{v1∗, v∗2, v∗3} la base dual de{v1= (1,0,0), v2= (1,1,0), v3= (1,1,1)} yf∗ la aplicaci´on dual.
Calcularf∗(v∗3).
(iii) Calcular la matriz def∗respecto de las bases can´onicas.
(iv) Describir el n´ucleo def∗ y el anulador de Im(f).
(v) Describir el anulador deKer(f) y la imagen def∗.
4. Seaf :R2[x]→R2 la aplicaci´on lineal definida porf(p(x)) = (p(0), p0(0)). Calcular:
(i) la matriz def respecto de las bases can´onicas y la de f∗respecto de sus duales.
(ii) la matriz def respecto de las basesB1=
1 +x,1, x2 yB2={v1= (1,0), v2= (1,1)}y la def∗ respecto de sus duales.
5. Seanf :V →W yg:W →T dos aplicaciones lineales.
(i) Demostrar que (g◦f)∗=f∗◦g∗.
(ii) Sif es biyectiva, demostrar que (f∗)−1= (f−1)∗.
(iii) SeaM una matriz invertible de ordenn. Probar que (M−1)t= (Mt)−1.
6. Expresar cada uno de los siguientes subespacios de Rn como conjunto de soluciones de un sistema lineal adecuado.
(i) V =hv1= (1,−1,2), v2= (2,1,−1)i ⊂R3
(ii) E=hv1= (1,1,1,3), v2= (1,1,3,2), v3= (1,3,2,1)i ⊂R4 (iii) F =hv1= (3,1,1,1), v2= (2,3,1,1), v3= (1,2,3,1)i ⊂R4 (iv) E∩F ⊂R4
(v) G=hv1= (1,1,1,1,2), v2= (1,1,1,2,2), v3= (1,1,2,2,2)i ⊂R5 (vi) H =hv1= (2,1,1,1,1), v2= (2,2,1,1,1), v3= (2,2,2,1,1)i ⊂R5 (vii) G∩H ⊂R5
