(a) Compru´ebese (a mano) que g(x) = f(x) +f(ix) +f(−x) +f(−ix) 4 genera la sucesi´on (a0,0,0,0, a4,0,0,0, a8,0,

Matem´atica Discreta

Segundo curso del Grado en Matem´aticas, UAM Curso 2010-2011

Hoja 7

1. H´allense las funciones generatrices de las sucesiones siguientes:

(a) ₈

0

,₈

1

, . . . ,₈

8

,0,0, . . .

(b)

0,₈

1

,2₈

2

, . . . ,8₈

8

,0,0, . . . (c) (1,−1,1,−1,1,−1, . . .) (d) (0,0,0,1,1,1,1, . . .)

(e) (1,0,1,0,1,0,1, . . .)

2. Determ´ınese la sucesi´on generada por cada una de las siguientes funciones generatrices:

a) f(x) = (2x−3)³ b) f(x) = x⁴ 1−x c) f(x) = x³

1−x² d) f(x) = 1

1 + 3x e) f(x) = 1

1−x+ 3x⁷−11 f) f(x) =1 + 3x−x²+ 3x³−x⁴ 1−3x+ 3x²−x³ .

3. Sif(x) es la funci´on generatriz de la sucesi´on (a_n), entoncesg(x) = (f(x) +f(−x))/2 genera la sucesi´on (a₀,0, a₂,0, a₄,0, a₆, . . .). Queremos ahora hallar la funci´on generatriz de la sucesi´on en la que s´olo aparecen los t´erminos de ´ındice m´ultiplo de un ciertoN.

(a) Compru´ebese (a mano) que g(x) = f(x) +f(ix) +f(−x) +f(−ix)

4 genera la sucesi´on (a₀,0,0,0, a₄,0,0,0, a₈,0, . . .).

(b) Dado N ≥ 2, consideramos las ra´ıces N-´esimas de la unidad, 1, ω, ω², . . . , ω^N−1, con ω=e^{2π i/N}, que cumplen que

1 N

N−1

j=0

(ω^j)^t=

0 sitno es m´ultiplo deN; 1 sites m´ultiplo deN

Util´ıcese esto para comprobar que sif(x) genera la sucesi´on (a_n), entonces

g(x) = 1 N

N

j=1

f(ω^jx) genera la sucesi´on (a₀,0, . . . ,0, a_N,0, . . . ,0, a_2N,0, . . .).

(c) Obs´ervese que la funci´ong(x) definida en el apartado anterior es una serie de potencias dex^N. Verif´ıquese, finalmente, que la funci´onh(x) definida a trav´es deh(x^N) =g(x) genera la lista de coeficientes (a₀, a_N, a_2N, a_3N, . . .).

4. La funci´on x/(1−x−x²) genera los n´umeros de Fibonacci (F_n). Util´ıcese el ejercicio anterior para comprobar que

∞

n=0

F_2nx²ⁿ = x²

1−3x²+x⁴ y que

∞

n=0

F_2n+1x²ⁿ⁺¹= x(1−x²) 1−3x²+x⁴

y para verificar que las funciones generatrices de las sucesiones (F₀, F₂, F₄, . . .) y (F₁, F₃, F₅, . . .)

son ∞

n=0

F_2nxⁿ = x

1−3x+x² y que

∞

n=0

F_2n+1xⁿ = 1−x 1−3x+x²

5. Para unλ >0 fijo, definimos la sucesi´on dada por a_k=e^−λλ^k

k!, k= 0,1,2, . . . Halla la funci´on generatriz asociada y comprueba que

ka_k = 1,

kk a_k =λ ,

kk²a_k=λ+λ². 6. a) Halla la funci´on generatriz de la sucesi´on (a_n) definida mediante

a₀= 1, a₁= 3, a_n =a_n−1+a_n−2+ 2ⁿ paran≥2.

b) Halla la funci´on generatriz de la sucesi´on (a_n) definida mediante

a₀= 1, a₁= 3, a_n =a_n−1+a_n−2+c_n−2 paran≥2, en t´erminos deg(x), que es la funci´on generatriz de la sucesi´on (c_n).

7. Obt´enganse, utilizando funciones generatrices, los valores de las siguientes sumas:

a)

k

k

n

k

; b)

k

3^−k

n

k

; c)

n

k=1

k²; d)

n

n² 3ⁿ.

8. Paran≥1 fijo, la funci´on generatriz (polinomio) de la sucesi´on (S(n, k))^∞_k=1 es

G_n(x) =

∞

k=1

S(n, k)x^k.

Consideramos la funci´on

T_n(x) =

∞

m=1

mⁿ m! x^m. (a) Util´ıcese la identidad

kⁿ=

k

j=1

k j

j!S(n, j)

para demostrar queT_n(x) =G_n(x)e^x.Es decir,G_n(x) =e^−xT_n(x).

(c) El n´umero de BellB(n),

B(n) =

n

k=1

S(n, k) para cadan≥1,

cuenta el n´umero de particiones en bloques no vac´ıos del conjunto{1,2, . . . , n}, Sustit´uyase x= 1 en la expresi´on del apartado anterior para obtener laf´ormula de Dobinski:

B(n) =1 e

∞

j=1

jⁿ

j! para cadan≥1,

que permite calcularB(n) en t´erminos de una serie infinita que converge muy r´apidamente.