C´ alculo Diferencial e Integral
Lista de ejercicios 2 Profesor: Vladimir Vega
1. Derivaci´ on impl´ıcita
Ejercicio 1. Calcular las derivadas de las siguientes funciones definidas en forma impl´ıcita:
1. x2+ xy + y2= 0 2. x2+ xy + y3= 0 3. y3+ 3y2+ 3y + x = 0 4. p
x2+ y2= 3 5. y sen y + x cos x = 3
6. xy = yx 7. x = ey− e−y
2
8. tan(x + y) = x + y 9. y2/5+ x2/5= 1.
2. Problemas de m´ aximos y m´ınimos
Ejercicio 2. En los siguientes casos determinar los puntos d´onde la funci´on alcanza sus m´aximos y m´ınimos, as´ı como los valores de dichos m´aximos y m´ınimos (globales y locales).
1. f (x) = 2x2− 8x + 9 2. f (x) = x3− 2x + 4 3. f (x) =p
x2− 1 4. f (x) = 1
√1 − x2
5. f (x) = x x2+ 1 6. f (x) = e−(x−4)2 7. f (x) = 8π
1 + x2 8. f (x) = sen πx πx
En los siguientes ejercicios, desarrollar en detalle la modelaci´on matem´atica, calcular la derivada de la funci´on objetivo, hallar los puntos cr´ıticos de dicha funci´on, calcular la segunda derivada de ´esta y aplicar el criterio de la segunda derivada para determinar cu´ales puntos cr´ıticos corresponden con los valores m´aximos o m´ınimos locales de la funci´on objetivo.
Ejercicio 3. Un jardinero cuenta con L metros de alambre y desea cercar un jard´ın en forma de sector circular. ¿Cu´al deber ser el radio de este sector circular para que dicho jard´ın encierre la mayor ´area posible y cu´al es dicha ´area?
Ejercicio 4. Desmotrar que el tri´angulo de mayor ´area inscrito en una circunferencia dada es un tri´angulo equil´atero.
Ejercicio 5. Hallar la m´ınima longitud del segmento cuyos extremos est´an en los ejes x e y y que adem´as es tangente a la hip´erbola xy = 16.
Ejercicio 6. Hallar la m´ınima distancia del punto (−6, 0) a la hip´erbola x2− y2− 16 = 0.
Ejercicio 7. Se pretende construir una caja con tapa de base cuadrada usando 1440 cm2de l´amina. Hallar las dimensiones de la caja de tal forma que ´esta tenga la m´axima capacidad posible.
Ejercicio 8. Se desea hacer una caja con tapa cuyo volumen sea de 72 cm3. Adem´as, lo largo de la base debe ser el doble de lo ancho. ¿Cu´ales deben ser las dimensiones de modo que la superficie de la caja sea m´ınima? y, ¿cu´al es la superficie m´ınima?
1
Ejercicio 9. Se desea hacer un embudo c´onico que tenga la generatriz igual a 20 cm. ¿Cu´al debe ser la altura del embudo para que su volumen sea el mayor posible?
Ejercicio 10. Un tronco de un ´arbol de 30 m de largo tiene forma de un cono circular truncado. El di´ametro de la base es de 1.6 m y el di´ametro de la punta es de 0.8 m. Se desea cortar una viga de secci´on transversal cuadrada cuyo eje coincida con el eje del tronco y cuyo volumen sea el mayor posible. ¿Qu´e dimensiones debe tener la viga?
Ejercicio 11. Un barco encall´o a 9 km del punto P m´as pr´oximo de una costa con forma de l´ınea recta. Se necesita enviar un mensajero a un pueblo situado en la orilla de la costa a 15 km de P. Teniendo en cuenta que el mensajero recorre a pie 5 km por hora, y en una barca a 4 km por hora, decir en qu´e punto de la orilla debe desembarcar para llegar al pueblo lo m´as pronto posible.
3. Gr´ aficas de funciones
Ejercicio 12. En cada uno de los siguientes incisos, hallar el dominio de la funci´on, puntos de discontinuidad, intercepciones de la gr´afica con los ejes coordenados, intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos cr´ıticos, m´aximos y m´ınimos (locales y globales), intervalos de concavidad, puntos de inflexi´on, as´ıntotas horizontales, verticales y oblicuas y bosquejar la gr´afica de la funci´on.
1. f (x) = x2− 5x + 2 2. f (x) = x2+ x + 1 3. f (x) = x3− x2− x + 1 4. f (x) = x4+11
5 x −7 2 5. f (x) = x4−8
5x − 7 2 6. f (x) = x4+3
2x3+12 5 x2 7. f (x) =(x − a)(b − x)
x2
8. f (x) = x2+ x + 4 x + 1 9. f (x) = 8x
x2+ 1
10. f (x) = x3/2
√x − 18
11. f (x) = (x + 2)3/2(x + 5)2 12. (y − 1)5= (x + 2)2 13. f (x) = sen πx
πx
2
