Ejercicios: an´ alisis de una funci´ on contractiva

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Ejercicios: an´ alisis de una funci´ on contractiva

Consideremos la funci´on f : [1, 3]→ R definida mediante la regla f(x) = −x2

4 +3x 4 +39

16.

¿Qu´ e valores toma f?

1. Calcular la derivada de f: f0(x) =

2. Determinar qu´e signos puede tener f0 en el dominio de f, esto es, en el intervalo [1, 3]:

f0(x) = 0 para x = f0(x) > 0 para x ∈ f0(x) < 0 para x ∈

3. Hacer conclusiones acerca de la monoton´ıa de la funci´on f en partes del intervalo [1, 3]:

fcrece en . . . fdecrece en . . .

4. Calcular los valores de f en los extremos del dominio de f (es decir, en los puntos 1 y 3) y en los puntos donde se cambia el car´acter de monoton´ıa de f (es decir, en sus m´aximos y m´ınimos locales):

f(1) = f(3) = f(. . .) =

5. Calcular el valor m´ınimo y el valor m´aximo de la funci´on f en el intervalo [1, 3]:

x∈[1,3]min f(x) = max

x∈[1,3]f(x) =

Ejercicios: an´alisis de una funci´on contractiva, p´agina 1 de 2

(2)

0 1 2 3 1

2

3 6. Dibujar la gr´afica de la funci´on f en el in- tervalo [1, 3] tomando en cuenta las respues- tas de los ejercicios anteriores. Adem´es puede completar el polinomio al cuadrado, calcular los valores de f en algunos puntos adiciona- les, etc.

7. Usando la informaci´on anterior calcular la imagen del intervalo [1, 3] bajo la funci´on f:

f([1, 3]) =

¿Qu´ e tan grandes son los valores de |f

0

|?

8. Calcular la segunda derivada: f00(x) =

9. Determinar el signo de f00 en el intervalo [1, 3]. Hacer conclusiones acerca de la mono- ton´ıa de f0 en partes del intervalo [1, 3]:

f0 crece en . . . , porque f00 ≥ 0 en este intervalo.

f0 decrece en . . . , porque f00≤ 0 en este intervalo.

10. Usando la informaci´on anterior calcular el valor m´ınimo y el valor m´aximo de f0:

x∈[1,3]min f0(x) = max

x∈[1,3]f0(x) =

11. Usando la respuesta del Ejercicio10 calcular el valor m´aximo de|f0|:

max

x∈[1,3]|f0(x)| =

Conclusi´ on y primeras iteraciones

12. Hacer la conclusi´on si f es contractiva.

13. Calcular x1 = f(x0) y x2 = f(x1), donde x0 = 1.

Ejercicios: an´alisis de una funci´on contractiva, p´agina 2 de 2

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