Funci´ on exponencial

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Clase 6

Ecuaciones exponenciales y logar´ıtmicas

Instituto de Ciencias B´asicas Facultad de Ingenier´ıa Universidad Diego Portales

Marzo, 2014

(2)

Funci´ on exponencial

Recuerde que el gr´ afico de f (x) = a

x

, con a > 0 est´ a dado por

f (x) = a

x

con a > 1 f (x) = a

x

, con 0 < a < 1.

1 2 3 4 5

1 2 3

−1

−2

−3

y = a

x

1 2 3 4 5

1 2 3

−1

−2

−3

y = a

x

Observaci´ on

La funci´ on exponencial es una funci´ on inyectiva, esto es,

(3)

Problemas resueltos

Problema 1: Resuelva la ecuaci´ on

3

x2−5

= 81 . Soluci´ on:

3

x2−5

= 81 3

x2−5

= 3

4

x

2

− 5 = 4

x

2

= 9

x = ±3,

por tanto, la soluci´ on es x = ±3.

(4)

Problemas resueltos

Problema 2: Resuelva la ecuaci´ on

3x

b

2x+3

= 1 , indicando las restricciones de b.

Soluci´ on:

3x

b

2x+3

= 1

3x

b

2x+3

= b

0

, con b 6= 0 b

2x+33x

= b

0

2x + 3

3x = 0 .

Si x 6= 0, entonces 2x + 3 = 0, o bien, x = −3/2.

(5)

Problemas resueltos

Problema 3: Resuelva la ecuaci´ on

2

x

· 5

x+1

= 0, 5 10

−8

Soluci´ on:

2

x

· 5

x

· 5 = 1

2 · 10

8

10

x

= 10

8

10 10

x

= 10

7

x = 7,

por tanto, x = 7.

(6)

Problemas resueltos

Problema 4: Resuelva la ecuaci´ on

3

x

+ 3

x+1

+ 3

x+2

= 39 usando la variable auxiliar u = 3

x

.

Soluci´ on:

Por propiedades de potencias,

3

x

+ 3 · 3

x

+ 3

2

· 3

x

= 39 . Sea u = 3

x

, entonces,

u + 3u + 9u = 39 13u = 39 u = 3,

volviendo a la variable original, tenemos 3

x

= 3, de donde x = 1.

(7)

Problemas resueltos

Problema 5: Resuelva la ecuaci´ on

1 9



7x−1

· 3

18x+21

27

2x+1

= 1 Soluci´ on:

3

−2



7x−1

· 3

18x+21

= 3

3



2x+1

3

−14x+2

· 3

18x+21

= 3

6x+3

4x + 23 = 6x + 3

−2x = −20 x = 10.

Observaci´ on

¿ Qu´e sucede si se utiliza 3

0

= 1 inicialmente ?.

(8)

Problemas resueltos

Problema 6: Resuelva la ecuaci´ on

10

x

· 5

x+6

= 2 Soluci´ on:

2

x

· 5

x

· 5

x+6

= 2 5

2x+6

= 2

1−x

,

aplicando logaritmo en base 10 a la igualdad, tenemos:

(2x + 6) log 5 = (1 − x) log 2 2x log 5 + 6 log 5 = log 2 − x log 2 x(2 log 5 + log 2) = log 2 − 6 log 5 x = log 2 − 6 log 5

2 log 5 + log 2

(9)

Gr´ afico de la funci´ on logaritmo

Recuerde que el gr´ afico de f (x) = log x est´ a dado por:

1 2

−1

−2

1 2

−1

−2

y = log(x)

Observaci´ on

La funci´ on logaritmo en base a es una funci´ on inyectiva, esto es,

(10)

Problemas resueltos

Problema 1: Resuelva la ecuaci´ on

log  x − 3 x − 1



= −1 Soluci´ on: Para x ∈ (−∞, 1) ∪ (3, ∞)

log  x − 3 x − 1



= −1 log 10 x − 3

x − 1 = 10

−1

10(x − 3) = x − 1

10x − 30 = x − 1 9x = 29

x = 29

9

Observaci´ on

(11)

Problemas resueltos

Problema 2: Resuelva la ecuaci´ on

log(x

2

− 1) − log(x + 1) = 2 Soluci´ on: Para x > 1,

log  x

2

− 1 x + 1



= 2 log 10 x

2

− 1

x + 1 = 10

2

x

2

− 1 = 100x + 100 x

2

− 100x − 101 = 0

(x − 101)(x + 1) = 0,

de aqu´ı, x = −1 o x = 101.

(12)

Sobre del ejercicio anterior

Observaci´ on

Al reemplazar los valores obtenidos de x, tenemos que x = 101 es una

soluci´ on, mientras que x = −1 no lo es.

(13)

Problemas resueltos

Problema 3: Resolver la ecuaci´ on

log(x + 4) = log 12 − log x Soluci´ on: Para x > 0,

log(x + 4) = log  12 x



x + 4 = 12 x x

2

+ 4x − 12 = 0 (x + 6)(x − 2) = 0, de aqu´ı, x = −6 o x = 2.

Compruebe si estos valores son efectivamente soluciones del problema

original.

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Problemas resueltos

Problema 4: Resolver la ecuaci´ on 2 log

a

x + 2 − 3 log

a

3

x + log

a

x = 1 ,

suponiendo que x es mayor que cero e indicando las restricciones de a para que x sea una soluci´ on v´ alida.

Soluci´ on:

log

a

√x + 2

2

− log

a

( √

3

x)

3

+ log

a

x = 1

log

a

(x + 2) = log

a

a x + 2 = a

x = a − 2 .

Para que x sea soluci´ on, a debe ser mayor que dos.

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