Se considera la funci´ on f (x) = −x

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(1)

RELACI ´ ON DE EJERCICIOS (Curso 2019-2020)

EJERCICIO 1

Se considera la funci´ on f (x) = −x

2

+ 6x + c.

1. Calcule el valor del par´ ametro c para que la recta tangente a la gr´ afica de la funci´ on en el punto de abscisa x = 4 pase por el punto (0, 11).

2. Calcule el ´ area de la regi´ on acotada limitada por las gr´ aficas de f (x) = −x

2

+ 6x − 5 y g(x) = 5 − x.

EJERCICIO 2

Se considera la funci´ on dada por f (x) =

 

x + 2 si x < −1 x

2

+ x + 1 si x ≥ −1 1. Estudie la derivabilidad de la funci´ on f .

2. Calcule

4

−2

f (x)dx.

EJERCICIO 3

Se considera la funci´ on f (x) =

 

  2x

x − 1 si x < 0

−2x

2

+ 3x + 2 si x ≥ 0 1. Estudie la continuidad y derivabilidad de la funci´ on f .

2. Analice la monoton´ıa y determine los extremos relativos de f .

3. Calcule el ´ area de la regi´ on limitada por la gr´ afica de f y el eje OX en el intervalo [0, 2]

EJERCICIO 4

Dadas las funciones f (x) = −x

2

+ 3x + 2 y g(x) = 2x

2

− 6x − 10, 1. Calcule los puntos de corte de las gr´ aficas de f y g.

2. Calcule el ´ area de la regi´ on acotada delimitada por las dos gr´ aficas.

EJERCICIO 5

Se considera la funci´ on f : R → R definida por f(x) =

 

 

−x

2

+ x + a si x ≤ 1 b

x + 1 si x > 1 1. Determine a y b para que f sea continua y derivable en R.

2. Para a = 2 y b = 4, represente gr´ aficamente f .

3. Para a = 2 y b = 4, calcule el ´ area del recinto limitado por la gr´ afica de f , el eje OX y las rectas x = 0 y x = 1.

1

(2)

EJERCICIO 6

Se consideran las funciones f y g, definidas en R de la siguiente forma:

f (x) = x

2

g(x) = 4 − x

2

1. Calcule los puntos de corte de las gr´ aficas de f y g

2. Represente sobre un mismo sistema de coordenadas cartesianas las gr´ aficas de f y g y calcule el ´ area de la regi´ on del plano delimitada por las gr´ aficas de ambas funciones.

EJERCICIO 7

Se considera la funci´ on f (x) =

 

 

 

 

 

x + a si x < 1 x

2

− 2 si 1 ≤ x ≤ 3 x + b si x > 3

1. Determine los valores de a y b para que la funci´ on sea continua en R.

2. Para a = −2 y b = 4, calcule

5

0

f (x) dx

EJERCICIO 8

Se considera la funci´ on f (x) =

 

2x

3

− 2x

2

+ 4 si x ≤ 1 x

2

+ 3 si x > 1 1. Estudie la continuidad y derivabilidad de f .

2. Calcule el m´ aximo y el m´ınimo de f en el intervalo [ −1, 1].

3. Calcule el ´ area de la regi´ on limitada por la gr´ afica de f y el eje de abscisas en el intervalo [0, 2].

EJERCICIO 9

Se considera la funci´ on f (x) =

 

 

−3

x + 1 si x < 0

−x

2

+ 4x si x ≥ 0 1. Estudie la continuidad y derivabilidad de f .

2. Estudie la monoton´ıa y calcule la abscisa de los extremos relativos.

3. Calcule el ´ area de la regi´ on limitada por la gr´ afica de g(x) = −x

2

+ 4x y el eje OX.

EJERCICIO 10

Se considera la funci´ on f (x) =

 

 

2x − x

2

− 3 si x < 0 3

x − 1 si x ≥ 0

1. Compruebe que f es continua en x = 0. ¿Es derivable en x = 0?

2. Calcule el ´ area de la regi´ on limitada por la gr´ afica de f (x), las rectas x = −1, x = 1/2 y el eje OX.

2

(3)

EJERCICIO 11

Una empresa conoce que el gasto instant´ aneo de combustible que le genera una de sus m´ aquinas viene dado por la expresi´ on

f (x) = x · (x − 5) · (x − 7), x ∈ [0, 5]

donde x viene dado en horas.

1. Calcule para qu´ e valor de x se tiene que f alcanza un valor m´ aximo.

2. Calcule el gasto total de combustible consumido.

EJERCICIO 12

Dadas las funciones f (x) = x

2

− 8x + 16 y g(x) = x − 2, se pide:

1. Represente ambas funciones en los mismos ejes coordenados.

2. Determine los puntos de corte entre las gr´ aficas de ambas funciones.

3. Calcule el ´ area delimitada por las gr´ aficas de ambas funciones.

EJERCICIO 13

De la funci´ on C(q) que representa los costes de producci´ on de una empresa, en miles de euros, en funci´ on de la cantidad fabricada q, en miles de kilogramos, se sabe que su derivada viene dada por C

(q) = 60q

2

− 80q + 35. Se pide:

1. Obtenga los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funci´ on C(q) y esboce la gr´ afica de la funci´ on C

(q) en el intervalo (0, 1.5).

2. Obtenga los intervalos de concavidad y convexidad de la funci´ on de costes C(q)

3. ¿Cu´ al es el coste adicional que debe asumir la empresa si decide pasar de fabricar 1000 kg a fabricar 1500 kg?

EJERCICIO 14

La temperatura en el interior de un horno de cer´ amica viene dada por la funci´ on f (t) = −t

2

+ 4t + 5, con t ∈ [0, 5]

donde t representa el tiempo en horas y f (t) est´ a expresada en cientos de

C 1. Estudie la monoton´ıa de f y calcule la temperatura m´ axima alcanzada.

2. Represente gr´ aficamente f (t).

3. Calcule

5

0

f (t) dt EJERCICIO 15

Dada la funci´ on f (x) = x

3

− 4x

2

+ 4x,

1. Estudie su monoton´ıa y calcule sus extremos.

2. Represente gr´ aficamente la funci´ on.

3. Obtenga su primitiva.

4. Calcule el ´ area de la regi´ on acotada limitada por la gr´ afica de f y el eje de abscisas entre x = 0 y x = 2.

3

(4)

EJERCICIO 16

La funci´ on que mide la concentraci´ on plasm´ atica de un f´ armaco en funci´ on del tiempo, medida en mg/l, viene dada por la expresi´ on:

C(t) =

 

 

−t

2

+ 4.5 t si 0 ≤ t ≤ 4 4

t − 2 si t > 4

donde t es el tiempo transcurrido, en horas, despu´ es de administrar el f´ armaco.

1. Estudie la continuidad de la funci´ on C(t).

2. ¿En qu´ e momento se detecta la concentraci´ on m´ axima del f´ armaco en la sangre y cu´ al es dicha concentraci´ on?

3. Esboce la gr´ afica de C(t).

4. Calcule el ´ area bajo la curva de C(t) entre las 0 horas y las 6 horas.

EJERCICIO 17

Se considera la funci´ on dada por f (x) =

 

x + 2 si x < −1 x

2

+ x + 1 si x ≥ −1 1. Estudie la monoton´ıa de la funci´ on f .

2. Calcule el ´ area de la figura limitada por la gr´ afica de f , el eje de abscisas y las rectas x = 0 y x = 2.

EJERCICIO 18

Se considera la funci´ on f : R → R definida por f(x) =

 

−5x − 10 si x ≤ 1

−x

2

+ 2x − 2 si x > 1 1. Esboce la gr´ afica de f .

2. Calcule el ´ area de la regi´ on limitada por la gr´ afica de f (x), el eje de abscisas y la recta x = 2.

EJERCICIO 19

Dadas la par´ abola f (x) = 3x

2

y la recta g(x) = −3x + 6, se pide:

1. Represente sobre un mismo sistema de coordenadas cartesianas la gr´ afica de cada funci´ on.

2. Calcule el ´ area del recinto plano limitado por las gr´ aficas de f y g.

EJERCICIO 20

Calcule el ´ area limitada por las gr´ aficas de la funci´ on f (x) = x

3

− 3x y de la recta y = x.

4

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