RELACI ´ ON DE EJERCICIOS (Curso 2019-2020)
EJERCICIO 1
Se considera la funci´ on f (x) = −x
2+ 6x + c.
1. Calcule el valor del par´ ametro c para que la recta tangente a la gr´ afica de la funci´ on en el punto de abscisa x = 4 pase por el punto (0, 11).
2. Calcule el ´ area de la regi´ on acotada limitada por las gr´ aficas de f (x) = −x
2+ 6x − 5 y g(x) = 5 − x.
EJERCICIO 2
Se considera la funci´ on dada por f (x) =
x + 2 si x < −1 x
2+ x + 1 si x ≥ −1 1. Estudie la derivabilidad de la funci´ on f .
2. Calcule
∫
4−2
f (x)dx.
EJERCICIO 3
Se considera la funci´ on f (x) =
2x
x − 1 si x < 0
−2x
2+ 3x + 2 si x ≥ 0 1. Estudie la continuidad y derivabilidad de la funci´ on f .
2. Analice la monoton´ıa y determine los extremos relativos de f .
3. Calcule el ´ area de la regi´ on limitada por la gr´ afica de f y el eje OX en el intervalo [0, 2]
EJERCICIO 4
Dadas las funciones f (x) = −x
2+ 3x + 2 y g(x) = 2x
2− 6x − 10, 1. Calcule los puntos de corte de las gr´ aficas de f y g.
2. Calcule el ´ area de la regi´ on acotada delimitada por las dos gr´ aficas.
EJERCICIO 5
Se considera la funci´ on f : R → R definida por f(x) =
−x
2+ x + a si x ≤ 1 b
x + 1 si x > 1 1. Determine a y b para que f sea continua y derivable en R.
2. Para a = 2 y b = 4, represente gr´ aficamente f .
3. Para a = 2 y b = 4, calcule el ´ area del recinto limitado por la gr´ afica de f , el eje OX y las rectas x = 0 y x = 1.
1
EJERCICIO 6
Se consideran las funciones f y g, definidas en R de la siguiente forma:
f (x) = x
2g(x) = 4 − x
21. Calcule los puntos de corte de las gr´ aficas de f y g
2. Represente sobre un mismo sistema de coordenadas cartesianas las gr´ aficas de f y g y calcule el ´ area de la regi´ on del plano delimitada por las gr´ aficas de ambas funciones.
EJERCICIO 7
Se considera la funci´ on f (x) =
x + a si x < 1 x
2− 2 si 1 ≤ x ≤ 3 x + b si x > 3
1. Determine los valores de a y b para que la funci´ on sea continua en R.
2. Para a = −2 y b = 4, calcule
∫
50
f (x) dx
EJERCICIO 8
Se considera la funci´ on f (x) =
2x
3− 2x
2+ 4 si x ≤ 1 x
2+ 3 si x > 1 1. Estudie la continuidad y derivabilidad de f .
2. Calcule el m´ aximo y el m´ınimo de f en el intervalo [ −1, 1].
3. Calcule el ´ area de la regi´ on limitada por la gr´ afica de f y el eje de abscisas en el intervalo [0, 2].
EJERCICIO 9
Se considera la funci´ on f (x) =
−3
x + 1 si x < 0
−x
2+ 4x si x ≥ 0 1. Estudie la continuidad y derivabilidad de f .
2. Estudie la monoton´ıa y calcule la abscisa de los extremos relativos.
3. Calcule el ´ area de la regi´ on limitada por la gr´ afica de g(x) = −x
2+ 4x y el eje OX.
EJERCICIO 10
Se considera la funci´ on f (x) =
2x − x
2− 3 si x < 0 3
x − 1 si x ≥ 0
1. Compruebe que f es continua en x = 0. ¿Es derivable en x = 0?
2. Calcule el ´ area de la regi´ on limitada por la gr´ afica de f (x), las rectas x = −1, x = 1/2 y el eje OX.
2
EJERCICIO 11
Una empresa conoce que el gasto instant´ aneo de combustible que le genera una de sus m´ aquinas viene dado por la expresi´ on
f (x) = x · (x − 5) · (x − 7), x ∈ [0, 5]
donde x viene dado en horas.
1. Calcule para qu´ e valor de x se tiene que f alcanza un valor m´ aximo.
2. Calcule el gasto total de combustible consumido.
EJERCICIO 12
Dadas las funciones f (x) = x
2− 8x + 16 y g(x) = x − 2, se pide:
1. Represente ambas funciones en los mismos ejes coordenados.
2. Determine los puntos de corte entre las gr´ aficas de ambas funciones.
3. Calcule el ´ area delimitada por las gr´ aficas de ambas funciones.
EJERCICIO 13
De la funci´ on C(q) que representa los costes de producci´ on de una empresa, en miles de euros, en funci´ on de la cantidad fabricada q, en miles de kilogramos, se sabe que su derivada viene dada por C
′(q) = 60q
2− 80q + 35. Se pide:
1. Obtenga los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funci´ on C(q) y esboce la gr´ afica de la funci´ on C
′(q) en el intervalo (0, 1.5).
2. Obtenga los intervalos de concavidad y convexidad de la funci´ on de costes C(q)
3. ¿Cu´ al es el coste adicional que debe asumir la empresa si decide pasar de fabricar 1000 kg a fabricar 1500 kg?
EJERCICIO 14
La temperatura en el interior de un horno de cer´ amica viene dada por la funci´ on f (t) = −t
2+ 4t + 5, con t ∈ [0, 5]
donde t representa el tiempo en horas y f (t) est´ a expresada en cientos de
◦C 1. Estudie la monoton´ıa de f y calcule la temperatura m´ axima alcanzada.
2. Represente gr´ aficamente f (t).
3. Calcule
∫
50
