IES ALPAJ ´ES
Funci´on creciente en un intervalo. Definici´on
Funci´on creciente en un intervalo.
Sea f : D ⊂R −→R y un intervalo (a, b) ⊂ D decimos que la funci´on f es creciente en el intervalo
(a, b) si para todo x, x′ ∈ (a, b) x < x′ ⇒f(x) ≤ f(x′)
a x x′ b
f(x)f(x′)
b
b
b b b b b
bb
Funci´on decreciente en un punto.
Sea f : D ⊂R −→R y un intervalo (a, b) ⊂ D decimos que la funci´on f es decreciente en el
intervalo (a, b) si para todo x, x′ ∈ (a, b) x < x′ ⇒ f(x) ≥f(x′)
a x x′b
f(x)f(x′)
b
b
b b b b b
bb
Funci´on mon´otona. Definici´on
Funci´on decreciente en un un intervalo.
Se dice que una funci´on es mon´otona en un intervalo (a, b) si dicha funci´on es creciente o decreciente
Intervalos de monoton´ıa en funciones derivables
Sea f : D ⊂R −→R una funci´on derivable en el intervalo (a, b) ⊂ D entonces
Si f′(x) > 0 en el intervalo (a, b) entonces la funci´on es estrictamente creciente en dicho intervalo.
Si f′(x) < 0 en el intervalo (a, b) entonces la funci´on es estrictamente decreciente en dicho
intervalo.
x
a b
b
b
b b
b
Intervalos de monoton´ıa en funciones derivables
Hallar los intervalos de monoton´ıa de la funci´on f(x) = x2 + 1 Hallamos la funci´on derivada
f′(x) = 2x. La derivada se anula en x = 0, en x = 0 la funci´on tiene un extremo relativo.
Estudiamos el signo de la derivada
0
f′(x) − 0 +
ց m´ınimo ր
1 2 3 4 5 6 7 8
−1 −2 −3 −4 −5 −1 1 2 3 4 5 6 Por tanto
La funci´on es creciente en (0,+∞)
La funci´on es decreciente (−∞,0)
Hallar los intervalos de monoton´ıa de la funci´on f(x) = x Hallamos la funci´on derivada
f′(x) = 3x2. La derivada se anula en x = 0, en x = 0 la funci´on tiene un extremo relativo.
Estudiamos el signo de la derivada
0
f′(x) + 0 +
ր ր ր
La funci´on es creciente en todo R.En (0,0) tiene un punto de inflexi´on.
1 2 3 4 5 6 7 8
−1
−2
−3
−4
−5
−1
Intervalos de monoton´ıa en funciones derivables
Hallar los intervalos de monoton´ıa de la funci´on f(x) = x4 −2x2 Hallamos la funci´on derivada
f′(x) = 4x3 −4x. La derivada se anula en :
4x3 −4x = 0 ⇒4x(x2 −1) = 0⇒ 4x(x−1)(x+ 1) = 0
La derivada se anula en x = −1,0,1
−1 0 1
f′(x) − 0 + 0 − 0 +
ց m´ınimo ր m´aximo ց m´ınimo ր
La funci´on es decreciente en (−∞,−1)∪ (0,1)
La funci´on es creciente (−1,0)∪ (1,+∞)
En (−1,−1) y (1−1) la funci´on presenta m´ınimos relativos. En (0,0) la funci´on presenta un
m´aximo realtivo
1 2 3 4 5 6 7 8
M´aximo o m´ınimo relativo.
Sea f : D ⊂R −→R decimos que la funci´on tiene un m´aximo (m´ınimo) relativo en x = a si existe
un h >0 tal que para todo x ∈ (a−h, a+ h) se verifica
f(x) ≤ f(a) (f(x)≥ f(a))
A los m´aximos y m´ınimos relativos se les llama extremos relativos. Los extremos relativos son
m´aximos o m´ınimos locales es decir con respecto a son los valres m´as grandes o m´as peque˜nos con
respecto a un entorno de ellos.
b
b
b
b
b
b
b
M´aximo o m´ınimo relativo. Extremos relativos
Puntos en los que puede existir un m´aximo o un m´ınimo
Sea f : D ⊂R −→R si una funci´on tiene un m´aximo o un m´ınimo relativo en x = a entonces
f′(a) = 0
b
b
b
b
b
b
b
Criterio de la derivada segunda
Sea f : D ⊂R −→R una funci´on dos veces derivable en a ∈ D y tal que f′(a) = 0 y f′′(a) 6= 0
entonces
Si f′′(a) > 0 la funci´on alcanza un m´ınimo relativo S
Criterios para decidir si un punto es m´aximo o m´ınimo relativo.
Estudiar m´aximos,m´ınimos y monoton´ıa de la funci´on f(x) = 1
3 x
3
− 1
2 x
2
−2x
Derivamos
f′(x) = x2 −x−2
Igualamos a 0 para obtener los extremos relativos
x2 −x−2 = 0 ⇒ x = 2 x = −1
Estudiamos el signo de la derivada primera para obtener los intervalos de monoton´ıa
−1 2
f′(x) + 0 − 0 +
ր m´aximo ց m´ınimo ր
1 2 3 4
Estudiar m´aximos,m´ınimos y monoton´ıa de la funci´on f(x) = 1 3 x 3 − 1 2 x 2 −2
f′(x) = x2 −x−2
f′′(x) = 2x−1
Sustituimos x = −1 en f′′(x) f′′(−1) = −2−1 = −3< 0 m´aximo relativo
Sustituimos x = 2 en f′′(x) f′′(2) = 4−1 = 3 > 0 m´ınimo relativo
Por tanto
La funci´on es decreciente en (−1,2)
La funci´on es creciente (−∞,−1)∪(2,+∞)
En (−1, f(−1)) =
−1,7
6
la funci´on presenta un m´aximo relativo. En (2, f(2)) =
2,−10
3
la
Criterios para decidir si un punto es m´aximo o m´ınimo relativo.
Dada la funci´on f(x) = xex estudiar los intervalos de monoton´ıa, m´aximos y m´ınimos.
f′(x) = ex x+ex = ex(x+ 1)
f′(x) = 0 ⇒ex(x+ 1) = 0 ⇒x+ 1 = 0 ⇒x = −1
0
f′(x) − −1 +
ց m´ınimo ր
f′′(x) = ex x+ 2 ex = ex(x+ 2)
f′′(x) = e−1(−1 + 2) = 1
e > 0 ⇒m´ınimo
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
−1
−2
−3
Dada la funci´on f(x) = e
x
x estudiar los intervalos de monoton´ıa, m´aximos y m´ınimos.
f′(x) = e
x x
−ex
x2 =
ex(x−1)
x2
f′(x) = 0 ⇒ e
x(x−1)
x2 = 0 ⇒ e
x(x
−1) = 0 ⇒x = 1
Estudiamos el signo de f′(x)
0 1
f′(x) − X − 0 +
ց as´ıntota vertical ց m´ınimo ր
Calculamos f′′(x)
f′′(x) = [e
x(x
−1) +ex]x2 −ex(x−1)2x
x4 =
xex[(x−1 + 1)x−2x+ 2]
x4 =
ex(x2 −2x+ 2)
x3
f′′(1) = e(1−2 + 2)
Criterios para decidir si un punto es m´aximo o m´ınimo relativo.
Dada la funci´on f(x) = e
x
x estudiar los intervalos de monoton´ıa, m´aximos y m´ınimos.
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
−1
−2
Dada la funci´on f(x) =
x+ 2 estudiar los intervalos de monoton´ıa, m´aximos y m´ınimos.
f′(x) = 2x(x+ 2)−x
2
(x+ 2)2 =
2x2 + 4x−x2
(x+ 2)2 =
x2 + 4x
(x+ 2)2
Estudiamos el signo de la f′(x) para ello obtenemos los extremos relativos.
x2 + 4x
(x+ 2)2 = 0 ⇒x
2 + 4x = 0
⇒ x(x+ 4) = 0 ⇒x = 0 x = −4
−4 −2 0
f′(x) + 0 − X − 0 +
ր m´aximo ց as´ıntota vertical ց m´ınimo ր
f′′(x) = (2x+ 4)(x+ 2)
2 −(x2+ 4x)2(x+ 2)
(x+ 2)4 =
(x+ 2)
(2x+ 4)(x+ 2)−2x2 −8x
(x+ 2)4 =
= 2x
2 + 4x+ 4x+ 8−2x2 −8x
(x+ 2)3 =
8 (x+ 2)3
f′′(−4) = 8
Criterios para decidir si un punto es m´aximo o m´ınimo relativo.
Dada la funci´on f(x) = x
2
x+ 2 estudiar los intervalos de monoton´ıa, m´aximos y m´ınimos.
2 4 6
−2
−4
−6
−8
−10
−2
−4
−6
−8
x
lnx+ 1 = 0 ⇒lnx = −1⇒ x = e−1 ⇒ 1
e
0 1
e
f′(x) X − 0 +
ց m´ınimo ր
f′′(x) = 1
x
f′′
1
e
= e > 0⇒ m´ınimo
Curvatura. Concavidad. Convexidad
funci´on convexa
Sea f : D ⊂R −→R decimos que es convexa en el punto a ∈ D si la gr´afica de f queda por encima
de la recta tangente en el punto x = a
a
b
funci´on c´oncava
Sea f : D ⊂R −→R decimos que es c´oncava en el punto a ∈ D si la gr´afica de f queda por debajo
de la recta tangente en el punto x = a
a
b
Curvatura. Concavidad. Convexidad
Criterios de curvatura.
Sea f : D ⊂R −→R una funci´on dos veces derivable en el intervalo (a, b) ⊂D entonces
Dada la funci´on f(x) = x4 −6x2 estudiar su monoton´ıa, m´aximos, m´ınimos y su curvatura.
f′(x) = 4 x3 −12 x = 4x(x2−3)
Hallamos los extremos relativos
4x(x2−3) = 0⇒ x = 0 x = √3 x= −√3
−√3 0 √3
f′(x) − 0 + 0 − 0 +
ց m´ınimo ր m´aximo ց m´ınimo ր
Derivada segunda
f′′(x) = 12x2−12
f′′(0) = −12 < 0 ⇒m´aximo
f′′(√3) = 36−12 = 24 > 0 ⇒m´ınimo
Curvatura. Concavidad. Convexidad
Dada la funci´on f(x) = x4 −6x2 estudiar su monoton´ıa, m´aximos, m´ınimos y su curvatura.
Para la curvatura estudiamos el signo de la derivada segunda.
f′′(x) = 12x2 −12x = 12(x−1)(x+ 1)
−1 1
f′′(x) + 0 − 0 +
S
punto de inflexi´on T
2 4 6 8
−2
−4
−6
−2
−4
Curvatura. Concavidad. Convexidad
Dada la funci´on f(x) = x
2
x2 + 1 estudiar su monoton´ıa, m´aximos, m´ınimos y su curvatura.
f′(x) = 2x(x
2+ 1)−x22x
(x2 + 1)2 =
2x3 + 2x−2x3
(x2 + 1)2 =
2x
(x2+ 1)2
2x
(x2 + 1)2 = 0 ⇒2x = 0 ⇒x = 0
0
f′(x) − 0 +
Dada la funci´on f(x) = x
2
x2 + 1 estudiar su monoton´ıa, m´aximos, m´ınimos y su curvatura.
f′′(x) = 2(x
2 + 1)2
−2x2(x2 + 1)2x
(x2 + 1)4 =
(x2 + 1)(2x2 + 2−8x2)
(x2+ 1)4 =
−6x2 + 2
(x2 + 1)3
f′′(0) = 2 >⇒m´ınimo
−6x2 + 2
(x2 + 1)3 = 0 ⇒ −6x
2 + 2 = 0
⇒6x2 = 2⇒ x2 = 2
6 ⇒x =
r 1
3 x = −
r 1 3 − r 1 3 r 1 3
f′′(x) − 0 + 0 −
T
punto de inflexi´on S
Curvatura. Concavidad. Convexidad
Dada la funci´on f(x) = x
2
x2 + 1 estudiar su monoton´ıa, m´aximos, m´ınimos y su curvatura.
1 2 3
−1
−2
−3
Dada la funci´on f(x) = lnx
x estudiar su monoton´ıa, m´aximos, m´ınimos y su curvatura.
f′(x) = 1
xx−lnx
x2 =
1−lnx
x2
1−lnx
x2 = 0 ⇒1−lnx = 0 ⇒ 1 = lnx ⇒x = e
0 e
f′(x) − 0 +
ր m´aximo ց
f′′(x) = − 1
xx
2
−(1−lnx)2x
x4 =
−x−2x+ 2xlnx
x4 =
x(−3 + 2 lnx)
x3 =
2 lnx−3
x3
2 lnx−3
x3 = 0 ⇒2 lnx−3 = 0 ⇒ lnx =
3
2 ⇒ x = e
3 2
0 e32
Curvatura. Concavidad. Convexidad
1 2 3 4 5
−1
−1
siendo ln(x) el logaritmo neperiano de x.
Hallamos los extremos relativos
f′(x) = ln2x+x2 lnx1 x = ln
2
x+ 2 lnx = lnx(lnx+ 2)
lnx(lnx+ 2) = 0
lnx = 0 ⇒ x = 1
lnx+ 2 = 0 ⇒lnx = −2⇒x = e−2
f′′(x) = 2 lnx1 x + 2
1
x =
2 lnx+ 2
x
f′′(1) = 2 > 0⇒ m´ınimo f′′ e−2 = −4 + 2
e−2 = −2e
2 < 0
⇒m´aximo
2 lnx+ 2
x = 0 ⇒2 lnx+ 2 = 0 ⇒2 lnx = −2⇒x = e
−1
Curvatura. Concavidad. Convexidad
Obtener los m´aximos y m´ınimos relativos y los puntos de inflexi´on de la funci´on: f(x) = x(ln(x))2
siendo ln(x) el logaritmo neperiano de x.
0.5 1.0 1.5 2.0
−0.5
−1.0
−1.5
−0.5
−1.0
0.5
1.0
Puntos de inflexi´on
Una funci´on f tiene un punto de inflexi´on en x = a si la funci´on en ese punto pasa de convexa a
convexa o de convexa a convexa.
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
−1
−2
Curvatura. Concavidad. Convexidad. Puntos de inflexi´on
Puntos de inflexi´on Criterio 1
Viendo el signo de la derivada segunda.
Puntos de inflexi´on. Criterio 2
Sea f : D ⊂R −→R una funci´on tres veces derivable en a ∈ D
Si f′′(a) = 0, f′′′(a) 6= 0 entonces f tiene un punto de inflexi´on en x = a.
Si f′(a) = f′′(a) = 0, f′′′(a) 6= 0 entonces f tiene un punto de inflexi´on en x = a.
Ejemplo
f(x) = x3 + 3x2 + 3x+ 1
f′(x) = 3x2 + 6x+ 3
f′′(x) = 6x+ 6
La derivada segunda se anula en x = −1. Hallamos la derivada tercera.
La poblaci´on de una ciudad es actualmente de 50000 habitantes y evoluciona de acuerdo con la expresi´on
P(t) = 50000 + 500t−25t2
Si la variable t viene medida en a˜nos. Analizar si en el futuro la poblaci´on va a aumentar o a
disminuir y cuando alcanzar´a su m´aximo o m´ınimo.
P′(t) = 500−50t = 0 ⇒t = 10
Vemos el signo de la derivada
10
f′(x) − 0 +
ր m´aximo ց
La poblaci´on crecer´a hasta durante los 10 primeros a˜nos alcanzar´a su m´aximo en t= 10 y
Problemas de optimizaci´on
El beneficio semanal ( en miles de euros) que obtiene una central lechera por la producci´on de leche desnatada est´a determinada por la funci´on
B(x) = −x2+ 7x−10
En la que x representa los hect´olitros de le leche desnatada producidos
Representa gr´aficamente la funci´on B(x) con x ≥ 0.
Calc´ulense los hectolitros de leche desnatada que debe producir cada semana la central lechera
para maximizar su beneficio. Calc´ulense dicho beneficio m´aximo.
Calc´ulense las cantidades m´ınima y m´axima de hectolitros de leche desnatada que debe producir
Representa gr´aficamente la funci´on B(x) con x ≥ 0.
B(x) = −x2 + 7x−10
Para ello calculamos sus puntos de corte con los ejes de coordenadas Eje X
y = 0 ⇒0 = −x2 + 7x−10
x = −7±
√
49−40
−2 =
−7±3
−2 →x = 5 x = 2
Derivamos para estudiar su crecimiento
B′(x) = −2x+ 7 = 0 ⇒x = 7
2
10
f′(x) − 72 +
ր m´aximo ց
La funci´on es creciente
−∞, 7
2
y decreciente
7
2,∞
y tiene un m´aximo en x = 7
Problemas de optimizaci´on
1 2 3 4 5 6 7 8
−1
−1
−2
−3
Calc´ulense los hectolitros de leche desnatada que debe producir cada semana la central lechera para
maximizar su beneficio. Calc´ulense dicho beneficio m´aximo. La funci´on B(x) = −x2 + 7x−10
tendr´a un m´aximo en x = 7
2 y el beneficio obtenido ser´a
B
7 2
= −49
4 +
49
2 −10 =
−49 + 98−40
4 =
9
4 miles de euros
B
7 2
Problemas de optimizaci´on
Calc´ulense las cantidades m´ınima y m´axima de hectolitros de leche desnatada que debe producir la
central lechera cada semana para no incurrir en p´erdidas (es decir, beneficio negativo).
1 2 3 4 5 6 7 8
−1
−1
−2
−3
−4 1 2 3
Observando la gr´afica deducimos que la central lechera obtendr´a beneficios si produce entre 2 y 5 hectolitros es decir
De todos los rect´angulos de per´ımetro 40 hallar el de mayor ´area.
Sean x, y los lados del rect´angulo
A(x, y) = xy x+y = 20 ⇒ y = 20−x
p(x) = x(20−x) = 20x−x2
p′(x) = 20−2x ⇒p′(x) = 0 ⇒20−2x = 0 ⇒2x = 20
x = 10
Hallamos p′′(x)
Problemas de optimizaci´on
Un bote cil´ındrico de conserva tiene una altura de 5 cm y un di´ametro de 12 cm. Redise˜nar el
envase para que los gastos de fabricaci´on sean m´ınimos.
V = πr2h = π625 = 180π cm3
A(r, h) = 2πr2 + 2πrh
πr2h = 180π ⇒h = 180
r2
A(r) = 2πr2 + 2πr180
r2 = 2πr
2 + 360π
r
A′(r) = 4πr− 360π
r2 = 0 ⇒ 4πr 3
−360π = 0 ⇒r3 = 90
r = √3
90
A′′(r) = 4π + 720π
r3 ⇒4π+
720π
90 > 0⇒ m´ınimo
h = √3180
