La variaci´on total de una funci´on (un tema de an´alisis real)

La variaci´ on total de una funci´ on (un tema de an´ alisis real)

Egor Maximenko

http://www.egormaximenko.com

Instituto Polit´ecnico Nacional Escuela Superior de F´ısica y Matem´aticas

M´exico

5 de noviembre de 2021

Objetivos

Dada una funci´on f : [a, b] → R, definir su variaci´on total Var^b_a(f ),

variaci´on positiva PVar^b_a(f ), variaci´on negativa NVar^b_a(f ).

Demostrar que

Var^b_a(f ) = PVar^b_a(f ) + NVar^b_a(f ).

Particiones de un intervalo

Sean a, b ∈ R. Se dice que τ es una partici´on del intervalo [a, b] si τ es una tupla de la forma

τ = (τ₀, τ₁, . . . , τ_n),

donde

a = τ0≤ τ₁≤ · · · ≤ τ_n= b.

P(a, b) := el conjunto de todas las particiones del intervalo [a, b]. Ejemplo.

(−3, 1,√

2, 5) ∈ P(−3, 5), (−3, −2, 0, 10⁻¹⁰⁰, π, 5) ∈ P(−3, 5).

Particiones de un intervalo

Sean a, b ∈ R. Se dice que τ es una partici´on del intervalo [a, b] si τ es una tupla de la forma

τ = (τ₀, τ₁, . . . , τ_n),

donde

a = τ0≤ τ₁≤ · · · ≤ τ_n= b.

P(a, b) := el conjunto de todas las particiones del intervalo [a, b].

Ejemplo.

(−3, 1,√

2, 5) ∈ P(−3, 5), (−3, −2, 0, 10⁻¹⁰⁰, π, 5) ∈ P(−3, 5).

Particiones de un intervalo

Sean a, b ∈ R. Se dice que τ es una partici´on del intervalo [a, b] si τ es una tupla de la forma

τ = (τ₀, τ₁, . . . , τ_n),

donde

a = τ0≤ τ₁≤ · · · ≤ τ_n= b.

P(a, b) := el conjunto de todas las particiones del intervalo [a, b].

Ejemplo.

(−3, 1,√

2, 5) ∈ P(−3, 5), (−3, −2, 0, 10⁻¹⁰⁰, π, 5) ∈ P(−3, 5).

“La variaci´ on de una funci´ on asociada a una partici´ on”

S_abs(f , τ ) :=

n

X

j=1

|f (τ_j) − f (τ_j−1)|.

0 a=τ0

τ1 τ2 τ3 τ4=b

τ = (τ₀, τ₁, τ₂, τ₃, τ₄).

S_abs(f , τ ) =

“La variaci´ on de una funci´ on asociada a una partici´ on”

S_abs(f , τ ) :=

n

X

j=1

|f (τ_j) − f (τ_j−1)|.

0 a=τ0

τ1 τ2 τ3 τ4=b

τ = (τ0, τ1, τ2, τ3, τ4).

S_abs(f , τ ) = |f (τ₁) − f (τ₀)|

“La variaci´ on de una funci´ on asociada a una partici´ on”

S_abs(f , τ ) :=

n

X

j=1

|f (τ_j) − f (τ_j−1)|.

0 a=τ0

τ1 τ2 τ3 τ4=b

τ = (τ0, τ1, τ2, τ3, τ4).

S_abs(f , τ ) = |f (τ₁) − f (τ₀)|

+ |f (τ₂) − f (τ₁)|

“La variaci´ on de una funci´ on asociada a una partici´ on”

S_abs(f , τ ) :=

n

X

j=1

|f (τ_j) − f (τ_j−1)|.

0 a=τ0

τ1 τ2 τ3 τ4=b

τ = (τ0, τ1, τ2, τ3, τ4).

S_abs(f , τ ) = |f (τ₁) − f (τ₀)|

+ |f (τ2) − f (τ1)|

+ |f (τ₃) − f (τ₂)|

“La variaci´ on de una funci´ on asociada a una partici´ on”

S_abs(f , τ ) :=

n

X

j=1

|f (τ_j) − f (τ_j−1)|.

0 a=τ0

τ1 τ2 τ3 τ4=b

τ = (τ₀, τ₁, τ₂, τ₃, τ₄).

S_abs(f , τ ) = |f (τ1) − f (τ0)|

+ |f (τ2) − f (τ1)|

+ |f (τ3) − f (τ2)|

+ |f (τ4) − f (τ3)|.

La variaci´ on total de una funci´ on en un intervalo

Var^b_a(f ) := sup

τ ∈P(a,b)

S_abs(f , τ ), esto es,

Var^b_a(f ) := sup

(τ0,...,τn)∈P(a,b) n

X

j=1

S_abs(f , τ ).

Proposici´on (la variaci´on total de una funci´on Lipschitz continua) Sea f : [a, b] → R una funci´on Lipschitz continua con coeficiente L:

∀x , y ∈ [a, b] |f (x ) − f (y )| ≤ L|x − y |.

Entonces

Var^b_a(f ) ≤ L(b − a).

Demostraci´on. Para cada τ = (τ0, . . . , τn) en P(a, b),

Sabs(f , τ ) =

n

X

j=1

|f (τ_j) − f (τj−1)| ≤

n

X

j=1

L(τj − τ_j−1)

= L

n

X

j=1

(τj− τ_j−1) = L(b − a).

Proposici´on (la variaci´on total de una funci´on Lipschitz continua) Sea f : [a, b] → R una funci´on Lipschitz continua con coeficiente L:

∀x , y ∈ [a, b] |f (x ) − f (y )| ≤ L|x − y |.

Entonces

Var^b_a(f ) ≤ L(b − a).

Demostraci´on. Para cada τ = (τ0, . . . , τn) en P(a, b),

S_abs(f , τ ) =

n

X

j=1

|f (τ_j) − f (τj−1)| ≤

n

X

j=1

L(τj − τ_j−1)

= L

n

X

j=1

(τj− τ_j−1) = L(b − a).

Ejemplo de una funci´ on continua con variaci´ on total infinita

0

1/2 1/2

−1/2

f : [0, 1] → R, f (x ) :=







x cos_x¹, x ∈ (0, 1];

0, x = 0.

Ejemplo de una funci´ on continua con variaci´ on total infinita

f (x ) :=







x cos¹_x, x ∈ (0, 1];

0, x = 0.

Para cada n en N, consideremos la partici´on

τ⁽ⁿ⁾:=



0, 1

nπ, 1

(n − 1)π, . . . , 1 π, 1

 .

Sabs(f , τ⁽ⁿ⁾) =

n−1

X

j=1

(−1)^j+1

(j + 1)π −(−1)^j jπ

=

n−1

X

j=1

1 π(j + 1)+

n−1

X

j=1

1 jπ ≥ 2

π

n−1

X

j=2

1 j.

Luego

Var^b_a(f ) ≥ sup

n∈N

S_abs(f , τ⁽ⁿ⁾) ≥ sup

n∈N



 2 π

n−1

X

j=2

1 j



= 2 π

∞

X

j=2

1

j = +∞.

La parte positiva y la parte negativa de un n´ umero real (repaso)

Para cada t en R,

Pos(t) :=







t, t ≥ 0, 0, t < 0;

Neg(t) :=







0, t ≥ 0,

−t, t < 0.

Propiedades:

Pos(t) − Neg(t) = t, Pos(t) + Neg(t) = |t|, 0 ≤ Pos(t) ≤ |t|, 0 ≤ Neg(t) ≤ |t|. Notemos que la parte negativa de t es un n´umero no negativo.

La parte positiva y la parte negativa de un n´ umero real (repaso)

Para cada t en R,

Pos(t) :=







t, t ≥ 0, 0, t < 0;

Neg(t) :=







0, t ≥ 0,

−t, t < 0.

Propiedades:

Pos(t) − Neg(t) = t, Pos(t) + Neg(t) = |t|, 0 ≤ Pos(t) ≤ |t|, 0 ≤ Neg(t) ≤ |t|.

Notemos que la parte negativa de t es un n´umero no negativo.

La parte positiva y la parte negativa de un n´ umero real (repaso)

Para cada t en R,

Pos(t) :=







t, t ≥ 0, 0, t < 0;

Neg(t) :=







0, t ≥ 0,

−t, t < 0.

Propiedades:

Pos(t) − Neg(t) = t, Pos(t) + Neg(t) = |t|, 0 ≤ Pos(t) ≤ |t|, 0 ≤ Neg(t) ≤ |t|.

Notemos que la parte negativa de t es un n´umero no negativo.

La variaci´ on positiva y la variaci´ on negativa asociadas a una funci´ on y una partici´ on

S+(f , τ ) :=

n

X

j=1

Pos(f (τj) − f (τj−1)), S−(f , τ ) :=

n

X

j=1

Neg(f (τj) − f (τj−1)).

De las propiedades de Pos y Neg obtenemos

S+(f , τ ) − S−(f , τ ) = f (b) − f (a), S+(f , τ ) + S−(f , τ ) = Sabs(f , τ ),

S+(f , τ ) ≤ Sabs(f , τ ), S−(f , τ ) ≤ Sabs(f , τ ).

La variaci´ on positiva y la variaci´ on negativa asociadas a una funci´ on y una partici´ on

S+(f , τ ) :=

n

X

j=1

Pos(f (τj) − f (τj−1)), S−(f , τ ) :=

n

X

j=1

Neg(f (τj) − f (τj−1)).

De las propiedades de Pos y Neg obtenemos

S+(f , τ ) − S−(f , τ ) = f (b) − f (a), S+(f , τ ) + S−(f , τ ) = Sabs(f , τ ),

S+(f , τ ) ≤ Sabs(f , τ ), S−(f , τ ) ≤ Sabs(f , τ ).

La variaci´ on positiva y negativa de una funci´ on

PVar^b_a(f ) := sup

τ ∈P(a,b)

S₊(f , τ ), NVar^b_a(f ) := sup

τ ∈P(a,b)

S−(f , τ ).

Proposici´on (relaci´on entre PVar y NVar)

Sea f : [a, b] → R. Entonces PVar^ba(f ) = NVar^b_a(f ) + f (b) − f (a). Demostraci´on. Para cada τ en P(a, b),

S+(f , τ ) = S−(f , τ ) + f (b) − f (a).

Ojo: en cada lado hay solo un t´ermino que depende de τ . Pasamos al supremo sobre τ y obtenemos el resultado.

La variaci´ on positiva y negativa de una funci´ on

PVar^b_a(f ) := sup

τ ∈P(a,b)

S₊(f , τ ), NVar^b_a(f ) := sup

τ ∈P(a,b)

S−(f , τ ).

Proposici´on (relaci´on entre PVar y NVar)

Sea f : [a, b] → R. Entonces PVar^ba(f ) = NVar^b_a(f ) + f (b) − f (a).

Demostraci´on. Para cada τ en P(a, b),

S+(f , τ ) = S−(f , τ ) + f (b) − f (a).

Ojo: en cada lado hay solo un t´ermino que depende de τ . Pasamos al supremo sobre τ y obtenemos el resultado.

La variaci´ on positiva y negativa de una funci´ on

PVar^b_a(f ) := sup

τ ∈P(a,b)

S₊(f , τ ), NVar^b_a(f ) := sup

τ ∈P(a,b)

S−(f , τ ).

Proposici´on (relaci´on entre PVar y NVar)

Sea f : [a, b] → R. Entonces PVar^ba(f ) = NVar^b_a(f ) + f (b) − f (a).

Demostraci´on. Para cada τ en P(a, b),

S+(f , τ ) = S−(f , τ ) + f (b) − f (a).

Ojo: en cada lado hay solo un t´ermino que depende de τ . Pasamos al supremo sobre τ y obtenemos el resultado.

Proposici´on (Var en t´erminos de PVar y NVar) Sea f : [a, b] → R. Entonces

Var^b_a(f ) = PVar^b_a(f ) + NVar^b_a(f ).

Un intento malo de demostraci´on. Usamos la igualdad

S_abs(f , τ ) = S₊(f , τ ) + S−(f , τ ).

En el lado derecho tenemos la suma de dos expresiones que dependen de τ . Si pasamos al supremo sobre τ , solo obtenemos ≤:

sup

τ (φ(τ ) + ψ(τ )) ≤ sup

τ φ(τ ) + sup

τ ψ(τ ).

Proposici´on (Var en t´erminos de PVar y NVar) Sea f : [a, b] → R. Entonces

Var^b_a(f ) = PVar^b_a(f ) + NVar^b_a(f ).

Un intento malo de demostraci´on.

Usamos la igualdad

S_abs(f , τ ) = S₊(f , τ ) + S−(f , τ ).

En el lado derecho tenemos la suma de dos expresiones que dependen de τ . Si pasamos al supremo sobre τ , solo obtenemos ≤:

sup

τ (φ(τ ) + ψ(τ )) ≤ sup

τ φ(τ ) + sup

τ ψ(τ ).

Proposici´on (Var en t´erminos de PVar y NVar) Sea f : [a, b] → R. Entonces

Var^b_a(f ) = PVar^b_a(f ) + NVar^b_a(f ).

Una demostraci´on correcta. Para cada τ en P(a, b)

S_abs(f , τ ) = S₊(f , τ ) + S−(f , τ ) = 2S−(f , τ ) + f (b) − f (a).

Ojo: en cada lado hay solo un t´ermino que depende de τ . Pasamos al supremo sobre τ en P(a, b):

Var^b_a(f ) = 2 NVar^b_a(f ) + f (b) − f (a).

Recordamos que NVar^b_a(f ) + f (b) − f (a) = PVar^b_a(f ) y obtenemos el resultado.

Proposici´on (Var en t´erminos de PVar y NVar) Sea f : [a, b] → R. Entonces

Var^b_a(f ) = PVar^b_a(f ) + NVar^b_a(f ).

Una demostraci´on correcta. Para cada τ en P(a, b)

S_abs(f , τ ) = S₊(f , τ ) + S−(f , τ ) = 2S−(f , τ ) + f (b) − f (a).

Ojo: en cada lado hay solo un t´ermino que depende de τ . Pasamos al supremo sobre τ en P(a, b):

Var^b_a(f ) = 2 NVar^b_a(f ) + f (b) − f (a).

Recordamos que NVar^b_a(f ) + f (b) − f (a) = PVar^b_a(f ) y obtenemos el resultado.

Proposici´on (la variaci´on total de una funci´on creciente) Sea f : [a, b] → R una funci´on creciente. Entonces

PVar^b_a(f ) = f (b) − f (a), NVar^b_a(f ) = 0, Var^b_a(f ) = f (b) − f (a).

Demostraci´on. Para cada τ = (τ0, . . . , τn) en P(a, b), para cada j en {1, . . . , n} tenemos f (τj) − f (τj−1) ≥ 0.

Sabs(f , τ ) = S+(f , τ ) =

n

X

j=1

(f (τj) − f (τj−1)) = f (τn) − f (τ0) = f (b) − f (a),

S−(f , τ ) =

n

X

j=1

0 = 0.

Proposici´on (la variaci´on total de una funci´on creciente) Sea f : [a, b] → R una funci´on creciente. Entonces

PVar^b_a(f ) = f (b) − f (a), NVar^b_a(f ) = 0, Var^b_a(f ) = f (b) − f (a).

Demostraci´on. Para cada τ = (τ0, . . . , τn) en P(a, b), para cada j en {1, . . . , n} tenemos f (τj) − f (τj−1) ≥ 0.

Sabs(f , τ ) = S+(f , τ ) =

n

X

j=1

(f (τj) − f (τj−1)) = f (τn) − f (τ0) = f (b) − f (a),

S−(f , τ ) =

n

X

j=1

0 = 0.

Proposici´on (la variaci´on total de una funci´on creciente) Sea f : [a, b] → R una funci´on creciente. Entonces

PVar^b_a(f ) = f (b) − f (a), NVar^b_a(f ) = 0, Var^b_a(f ) = f (b) − f (a).

Demostraci´on. Para cada τ = (τ0, . . . , τn) en P(a, b), para cada j en {1, . . . , n} tenemos f (τj) − f (τj−1) ≥ 0.

Sabs(f , τ ) = S+(f , τ ) =

n

X

j=1

(f (τj) − f (τj−1)) = f (τn) − f (τ0) = f (b) − f (a),

S−(f , τ ) =

n

X

j=1

0 = 0.

Proposici´on (la variaci´on total de una funci´on decreciente) Sea f : [a, b] → R una funci´on decreciente. Entonces

PVar^b_a(f ) = 0,

NVar^b_a(f ) = f (a) − f (b), Var^b_a(f ) = f (a) − f (b).

Consecuencia: si f es mon´otona,

Var^b_a(f ) = |f (b) − f (a)|.

Proposici´on (la variaci´on total de una funci´on decreciente) Sea f : [a, b] → R una funci´on decreciente. Entonces

PVar^b_a(f ) = 0,

NVar^b_a(f ) = f (a) − f (b), Var^b_a(f ) = f (a) − f (b).

Consecuencia: si f es mon´otona,

Var^b_a(f ) = |f (b) − f (a)|.

La variaci´ on total de una funci´ on vectorial

(= la longitud de una curva en R^d)

Sea f : [a, b] → R^d.

∀x ∈ [a, b] f (x ) = [fk(x )]^d_k=1∈ R^d. Para cada τ en P(a, b),

S_abs(f , τ ) :=

n

X

j=1

kf (τ_j) − f (τ_j−1)k₂,

donde k · k2 es la norma euclidiana en R^d.

Var^b_a(f ) := sup

τ ∈P(a,b)

Sabs(f , τ ).

La variaci´ on total de una funci´ on vectorial

Sea f : [a, b] → R^d,

∀x ∈ [a, b] f (x ) = [f_k(x )]^d_k=1∈ R^d.

Ejercicio.

Dados j en {1, . . . , d } y τ en P(a, b), acotar Sabs(fk, τ ) en t´erminos de Sabs(f , τ ).

Ejercicio.

Dada τ en P(a, b), acotar S_abs(f , τ ) en t´erminos de S_abs(f₁, τ ), . . . , S_abs(f_d, τ ). Ejercicio. Demostrar que

Var^b_a(f ) < +∞ ⇐⇒ ∀k ∈ {1, . . . , d} Var^b_a(f_k) < +∞.

La variaci´ on total de una funci´ on vectorial

Sea f : [a, b] → R^d,

∀x ∈ [a, b] f (x ) = [f_k(x )]^d_k=1∈ R^d. Ejercicio.

Dados j en {1, . . . , d } y τ en P(a, b), acotar Sabs(fk, τ ) en t´erminos de Sabs(f , τ ).

Ejercicio.

Dada τ en P(a, b), acotar S_abs(f , τ ) en t´erminos de S_abs(f₁, τ ), . . . , S_abs(f_d, τ ). Ejercicio. Demostrar que

Var^b_a(f ) < +∞ ⇐⇒ ∀k ∈ {1, . . . , d} Var^b_a(f_k) < +∞.

La variaci´ on total de una funci´ on vectorial

Sea f : [a, b] → R^d,

∀x ∈ [a, b] f (x ) = [f_k(x )]^d_k=1∈ R^d. Ejercicio.

Dados j en {1, . . . , d } y τ en P(a, b), acotar Sabs(fk, τ ) en t´erminos de Sabs(f , τ ).

Ejercicio.

Dada τ en P(a, b), acotar S_abs(f , τ ) en t´erminos de S_abs(f₁, τ ), . . . , S_abs(f_d, τ ).

Ejercicio. Demostrar que

Var^b_a(f ) < +∞ ⇐⇒ ∀k ∈ {1, . . . , d} Var^b_a(f_k) < +∞.

La variaci´ on total de una funci´ on vectorial

Sea f : [a, b] → R^d,

∀x ∈ [a, b] f (x ) = [f_k(x )]^d_k=1∈ R^d. Ejercicio.

Dados j en {1, . . . , d } y τ en P(a, b), acotar Sabs(fk, τ ) en t´erminos de Sabs(f , τ ).

Ejercicio.

Dada τ en P(a, b), acotar S_abs(f , τ ) en t´erminos de S_abs(f₁, τ ), . . . , S_abs(f_d, τ ).

Ejercicio. Demostrar que

Var^b_a(f ) < +∞ ⇐⇒ ∀k ∈ {1, . . . , d} Var^b_a(f_k) < +∞.

Planes para el futuro

Sean f : [a, b] → R, a < c < b.

En las siguientes clases demostraremos que

Var^b_a(f ) = Var^c_a(f ) + Var^b_c(f ), PVar^b_a(f ) = PVar^c_a(f ) + PVar^b_c(f ), NVar^b_a(f ) = NVar^c_a(f ) + NVar^b_c(f ).