-definición: La distancia más común en IR es la definida por d(x, y) =|x−y| y se llama la distancia normal. Para aquellos desanimados por el simbolismo fanático utilizado en esta sección, puede ser útil incluir la siguiente traducción de la definición anterior: “Se dice que la secuencia {xn}∞n=1 está en el espacio métrico (X, d) converge a l ∈ X si dado ϵ > 0 existe un número natural, N, tal que. Ejemplo: Una de las funciones "más discontinuas" que conocemos es la función de Dirichlet, f : IR−→IR.
Definición: Se dice que un espacio métrico (X, d) es completo si toda sucesión de Cauchy en X es convergente, es decir Además, se puede utilizar en la demostración de importantes resultados teóricos como el "Teorema de la función inversa". Sin embargo, la definición de continuidad en espacios métricos habla de continuidad local (en cada punto).
Por ejemplo, ninguna bola abierta centrada en el origen o en cualquier punto de la frontera está completamente contenida en A. Como ilustración de la naturalidad del lenguaje de las bolas abiertas, incluso en el contexto de las funciones reales de toda vida, vamos a mencionar un teorema sobre debido a R.
Espacios Topol´ ogicos I
Definici´ on y Construcciones)
Espacios Topol´ ogicos II
Conjuntos asociados, continuidad y propiedades)
Conexi´ on y Compacidad
Debido a la forma de la definición, es más fácil construir ejemplos de desconectado que conectado (es más fácil romper algo que verificar que no esté roto). La prueba de que [0,1]⊂IR es conexa forma la base para el estudio de la conexión en IR con la habitual. Nota: Se puede demostrar que la componente conexa de A a la que pertenece x∈ A es el subconjunto conexo más grande (en el sentido de inclusión) de A que contiene x (ejercicio).
Tenga en cuenta que si suprimimos este conjunto de la curva sinusoidal del topólogo, el resultado es conexo y conexo por trayectoria. Hahn en 1914, el creador del vínculo local (la prueba es un ejercicio). Como muchos sabréis, el error de la primera prueba tiene que ver con la continuidad uniforme.
Como con el enlace, veamos cómo hacer nuevos compactos de nuestra pequeña colección. Si elegimos una tubería de la forma U(x)×Y dentro de la subcubierta en cuestión, un número finito de tuberías cubrirá X×Y ya que X está cubierta por un número finito U(x) cuando x varía. Cuando uno intenta expresar todo esto estrictamente, resulta que la existencia del tubo alrededor de la vertical no es evidente.
De la compacidad de {x} ×Y (es homeomorfo a Y) se deduce que un número limitado de productos Uα×Vα sirven para cubrir este grupo. Observación: Como en el caso de la concatenación, el resultado también se extiende a infinitos productos cartesianos. Sorprendentemente, tiene algo que ver con el segundo problema que mencionamos, el de la refracción de la luz.
Todo queda recogido en el siguiente teorema del que destacamos una parte de la demostración que tiene un interés independiente. Esto es como el ascenso de −∞e ∞ a un solo infinito, tal que IR∪ {∞} con la topología de la compactación de Alexandroff es homeomorfo a S1 y, en general, IRn∪ {∞} a Sn (el homeomorfismo no es más que que la extensión del estereógrafo). Este conjunto es perfecto, que no es una opinión, sino una aplicación de la notación presentada anteriormente (ejercicio, no muy fácil si se quiere una solución corta).
De manera similar, Sn no es homeomorfo a IRn (recuerde que Sn es el límite de la bola unitaria en IRn+1). Este es solo un ejemplo más de cuán elusivo es el concepto de dimensión en matemáticas.
El Grupo Fundamental
Observación: Los caminos, es decir, las funciones continuas α, β: [0,1]−→X, también se pueden construir cuando α(1) = β(0) y sus caminos inversos se pueden definir de la misma manera que en el caso de los neumáticos Ejemplo: En IRn cualquier par de bucles o caminos son homotópicos como antes por medio de una combinación convexa. El estudio de nudos esencialmente diferentes que se pueden construir en IR3 forma una parte hermosa de la topología algebraica llamada teoría de nudos (que no debe confundirse con Teoria di Nudi cuando se lo contamos a nuestros amigos italianos).
Observación: esta definición es una generalización de la utilizada en álgebra lineal y, como allí, es cierto que f es inyectiva (monomorfismo, en nuestro caso) si y solo si Kerf es el elemento neutro (nótese que los homomorfismos son siempre los elementos neutros en el neutro). Dem.: La construcción del alzado Fe es análoga a la realizada en la prueba anterior para caminos. Observación: Como subproducto de la prueba, se deduce que cualquier bucle basado en x0 es homotópico con αN(t) = (cos(2πN t),sin (2πN t)) para algún N ∈ ZZ, es decir, en otras palabras , los diferentes bucles circunferenciales, excepto las homotopías, consisten en dar un cierto número de vueltas.
Por ejemplo, si α(t) = (a(t), b(t)) es un bucle en S1 con derivada continua, entonces, observando la demostración anterior,. Estas fórmulas se pueden considerar dentro de la llamada Topología Diferencial y se aplican a diversos resultados de la "Geometría Global", entre ellos el Teorema de Gauss-Bonnet. Usando las definiciones y unidades apropiadas, se encuentra que para cada esfera la integral de curvatura es 4π.
El teorema de Gauss-Bonnet establece, entre otras cosas, que aunque cambiemos la esfera como si fuera una bola de arcilla, sin romper ni pegar piezas, la superficie obtenida seguirá satisfaciendo el hecho de que la integral de la curvatura es 4π. En general, hay una conservación global inesperada de la curvatura, conservada por homeomorfismos diferenciables, en las superficies compactas de IR3 que también las caracterizan. Aunque tendremos algunos trucos bajo la manga (en particular, el teorema de Seifert-van Kampen, ver el final de la sección), esto es solo un reflejo de cuán complicados pueden ser los grupos fundamentales y cuán compleja fue la teoría de la homotopía desde el principio.
Para todo x0 ∈ S1 tenemos π1(S1, x0) ∼= ZZ, lo cual ya estaba claro por la simetría del círculo mismo. El funtor en este caso es la forma de asignar a cada objeto de la categoría de espacios topológicos con punto fijo un objeto de la categoría de grupos, de manera que se respeten los demorfismos composicionales (funciones entre ellos). Por curiosidad, diremos que este grupo no es abeliano y se describe a grandes rasgos al final de la sección.
Algunos elementos son donde los números en negro (¿o negro?) distinguen el grupo ZZ de uno de los círculos, digamos el de la izquierda. Veamos ahora uno de los teoremas típicos para publicitar la Topología Algebraica.
