Bolas abiertas en espacios m´etricos Objetivos.

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Bolas abiertas en espacios m´ etricos

Objetivos. Definir bolas en espacios m´etricos y demostrar sus propiedades elementales.

Requisitos. Distancia, espacios m´etricos. Para resolver tareas adicionales es necesario conocer bien espacios normados y otros ejemplos de espacios m´etricos.

1. Definici´on (bola en un espacio m´etrico). Sean (X, d) espacio m´etrico, a ∈ X y sea r > 0. Entonces el siguiente conjunto se llama la bola abierta (o simplemente bola) con centro a y radio r:

B(a, r) := {x ∈ X : d(a, x) < r}.

2. Definici´on (bola cerrada en un espacio m´etrico). Sean (X, d) un espacio m´etrico, a ∈ X y r > 0. Entonces el siguiente conjunto se llama la bola cerrada con centro a y radio r:

{x ∈ X : d(a, x) ≤ r}.

En esta secci´on vamos a estudiar solamente las bolas abiertas.

Propiedades principales de las bolas abiertas en espacios m´ etricos

En las siguientes proposiciones suponemos que (X, d) es un espacio m´etrico.

3. Proposici´on sobre una bola contenida en otra. Sean a, b ∈ X y R, r > 0 tales que d(a, b) + r ≤ R. Entonces

B(b, r) ⊆ B(a, R).

Demostraci´on. Sea x ∈ B(b, r). Entonces

d(a, x) ≤ d(a, b) + d(b, x) < d(a, b) + r ≤ R, as´ı que x ∈ B(a, R).

4. Proposici´on sobre dos bolas disjuntas. Sean a1, a2 ∈ X y r1, r2 > 0 tales que r1+ r2 ≤ d(a1, a2). Entonces

B(a1, r1) ∩ B(a2, r2) = ∅.

Demostraci´on. Supongamos que x ∈ B(a1, r1) ∩ B(a2, r2). Entonces d(a1, a2) ≤ d(a1, x) + d(x, a2) < r1+ r2, lo que contradice a la hip´otesis.

5. Proposici´on sobre dos bolas conc´entricas. Sean a ∈ X y r1, r2 > 0. Entonces B(a, r1) ∩ B(a, r2) = B(a, min{r1, r2}).

Demostraci´on. Para cualquier x ∈ X, la condici´on

d(a, x) < r1 ∧ d(a, x) < r2 es equivalente a la condici´on d(a, x) < min{r1, r2}.

Bolas abiertas en espacios m´etricos, p´agina 1 de 2

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¿Cu´ ando dos bolas se intersectan? (ejercicios)

En R y m´as general en espacios normados se puede demostrar la proposici´on rec´ıproca a la Proposici´on 4 y as´ı obtener un criterio para que dos bolas se intersecten. En espacios m´etricos generales este criterio no es v´alido.

6. Proposici´on sobre dos bolas en R que se intersectan (ejercicio). Sean a1, a2 ∈ R y sean r1, r2 > 0 tales que r1+ r2 > d(a1, a2). Demuestre que

B(a1, r1) ∩ B(a2, r2) 6= ∅.

7. Proposici´on sobre dos bolas en un espacio normado que se intersectan (ejer- cicio). Sea (E, k · k) un espacio normado real o complejo. Dotamos E con la distancia d inducida por la norma k · k:

d(x, y) := kx − yk.

Sean a1, a2 ∈ E y sean r1, r2 > 0 tales que r1+ r2 > d(a1, a2). Demuestre que B(a1, r1) ∩ B(a2, r2) 6= ∅.

8. Construir un ejemplo con dos bolas que no intersecten aunque sus radios lo permitan (ejercicio). D´e un ejemplo de un espacio m´etrico que no cumpla con la propiedad anterior. En otras palabras, tiene que indicar un espacio m´etrico (X, d), puntos a1, a2 ∈ X y radios r1, r2 > 0 tales que r1+ r2 > d(a1, a2) y

B(a1, r1) ∩ B(a2, r2) = ∅.

Ejemplo de una bola de radio m´ as grande

que est´ a contenida en una bola de radio m´ as peque˜ no

9. Consideremos el intervalo cerrado X = [−3, 3] con la m´etrica usual d(x, y) = |x − y|.

Entonces

B(0, 4) = [−3, 3], B(3, 5) = (−1, 3], as´ı que B(3, 5) ( B(0, 4), aunque 5 > 4.

10. Otro ejemplo. Consideremos X = R con la siguiente m´etrica:

d(x, y) :=

(0, x = y;

|x| + |y|, x 6= y.

Es posible probar que (X, d) es un espacio m´etrico. Ahora notamos que B(4, 7) = (−3, 3) ∪ {4}, B(0, 5) = (−5, 5), as´ı que B(4, 7) ( B(0, 5), aunque 5 < 7.

Bolas abiertas en espacios m´etricos, p´agina 2 de 2

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