Espacios m´ etricos compactos, definici´ on
Objetivos. Conocer dos definiciones equivalntes de espacios compactos (en t´erminos de cubiertas abiertas y en t´erminos de colecciones centradas de conjuntos cerrados).
Prerrequisitos. Cubierta, conjuntos abiertos y cerrados.
En estos apuntes estudiamos espacios m´etricos, pero el concepto de compacidad tiene sentido tambi´en para espacios topol´ogicos. En esta secci´on estudiamos la definici´on y el criterio general que se extienden al caso de espacios topol´ogicos.
1 Definici´on (cubierta de un conjunto). Sea X un conjunto. Una colecci´on de conjuntos A se llama cubierta de X si X ⊆ ∪A.
2 Definici´on (espacio m´etrico compacto). Un espacio m´etrico X se llama compacto si en para cada cubierta abierta de X existe una subcubierta finita. Formalmente, X se llama compacto si para cada A ⊆ τ con ∪A = X existe B ⊆ A tal que B es finito y ∪B = X.
3 Definici´on (colecci´on centrada). Una colecci´on de conjuntos F tiene propiedad de intersecci´on finita (o es una colecci´on centrada) si para cualquier subconjunto finito C de F , el conjunto ∩C es no vac´ıo.
4 Ejemplo (las colas de una sucesi´on forman una colecci´on centrada). Sea (xn)n∈N una sucesi´on. Para cada m en N denotemos por Ym la m-´esima cola de la sucesi´on:
Ym := {xn: n ≥ m}.
Entonces la colecci´on {Ym: m ∈ N} tiene propiedad de intersecci´on finita.
5 Proposici´on (criterio de compacidad en t´erminos de colecciones centradas de conjuntos cerrados). Sea X un espacio m´etrico (o topol´ogico). Entonces X es compacto si, y solo si, cualquier colecci´on centrada de conjuntos cerrados tiene intersecci´on no vac´ıa.
Demostraci´on. Idea: proceder por contraposici´on y pasar a los complementos. Demostre- mos solamente la necesidad. Supongamos que X es compacto, que F es una colecci´on centrada de conjuntos cerrados y que ∩F = ∅. Pongamos
A := {A ⊆ X : X \ A ∈ F }.
Entonces A ⊆ τ y ∪A = X. Usando la suposici´on que X es compacto elegimos un conjunto finito B tal que B ⊆ A y ∪B = X. Pongamos C = {B ⊆ X : X \ A ∈ B}.
Entonces C es finito, C ⊆ F y ∩C = ∅, lo cual contradice a la suposici´on que la colecci´on F es centrada.
Espacios m´etricos compactos, definici´on, p´agina 1 de 2
6 Proposici´on (la imagen de un espacio compacto bajo una funci´on continua). Sean X un espacio m´etrico compacto, Y un espacio m´etrico, f ∈ C(X, Y ). Entonces f [X] es un espacio compacto.
Demostraci´on. Sea (Aj)j∈J una cubierta abierta de f [X]. Para cada j en J encontramos un conjunto abierto Wj en Y tal que Aj = Wj∩ f [X]. Para cada j en J, pongamos
Vj := f−1[Wj].
Es f´acil ver que Vj = f−1[Aj] y que f [Vj] = Aj. Como Wj es abierto, Vj es abierto.
Adem´as,
[
j∈J
Wj = [
j∈J
f−1[Aj] = f−1
"
[
j∈J
Aj
#
= f−1[f [X]] = X,
as´ı que la familia (Vj)j∈J es una cubierta abierta de X. Luego existe un subconjunto K de J tal que K es finito y S
j∈KVj = X. Mostremos queS
j∈KWj = f [X].
f [X] = f
"
[
j∈K
Vj
#
= [
j∈K
f [Vj] = [
j∈K
Aj.
Hemos encontrado una subcubierta finita de la cubierta abierta dada de f [X].
Espacios m´etricos compactos, definici´on, p´agina 2 de 2
