Espacios m´ etricos conexos
1 Definici´on. Sea X un espacio m´etrico. Se dice que X es disconexo si existe un conjunto A ( X tal que A 6= ∅, A es abierto y cerrado. Se dice que X es conexo si X no es disconexo.
2 Definici´on (partici´on como familia). Sea X un conjunto. Una familia de conjutos (Aj)j∈J se llama partici´on de X si cumple con las siguientes propiedades:
(i) S
j∈JAj = X,
(ii) para cada j, k en J , si j 6= k, entonces Aj ∩ Ak = ∅, (iii) para cada j en J , Aj 6= ∅.
3 Definici´on (partici´on como colecci´on de conjuntos). Sea X un conjunto. Una colecci´on de conjuntos A se llama partici´on de X si cumple con las siguientes propiedades:
(i) ∪A = X,
(ii) para cada U , V en A, si U 6= V , entonces U ∩ V = ∅, (iii) ∅ /∈ A.
4 Proposici´on. Sea X un espacio m´etrico. Entonces las siguientes condiciones son equi- valentes:
(a) X es conexo;
(b) no existe una partici´on de X en dos conjuntos abiertos;
(c) no existe una partici´on de X en dos conjuntos cerrados.
5 Definici´on. Sea X un espacio m´etrico y sea A ⊆ X. Se dice que A es un conjunto conexo si A, considerado como subespacio del espacio m´etrico X, es conexo.
6 Proposici´on. Sea X un espacio m´etrico y sea A ⊆ X. Entonces A es conexo si, y solo si, no existen U, V en τX tales que
U ∩ A 6= ∅, V ∩ A 6= ∅, U ∩ V ∩ A 6= ∅, (U ∪ V ) ∩ A = A.
7 Ejemplo. Los siguientes subconjuntos de R no son conexos: N, Z, Q, [0, 1] ∪ [4, 5].
8 Ejercicio. Encontrar todos los conjuntos conexos en un espacio m´etrico discreto.
Espacios m´etricos conexos, p´agina 1 de 2
Luego vamos a demostrar que los intervalos de R son conjuntos conexos, y cada subcon- junto conexo de R es un intervalo.
9 Proposici´on. Sean X, Y espacios m´etricos y sea f ∈ C(X, Y ). Denotemos por g a la funci´on que se obtiene de f al restringir el codominio a f [X]. Entonces g ∈ C(X, f [X]).
10 Proposici´on. Sean X, Y espacios m´etricos, y sea f ∈ C(X, Y ). Supongamos que X es conexo. Entonces f [X] es un conjunto conexo en Y .
Demostraci´on. Gracias a la Proposici´on 9, es suficiente considerar el caso cuando f es suprayectiva.
Supongamos que Y no es conexo. Sean P y Q subconjuntos abiertos de Y tales que P 6= ∅, Q 6= ∅, Y = P ∪ Q, P ∩ Q = ∅. Pongamos
A := f−1[P ], B := f−1[Q].
Entonces A y B son abiertos, A ∪ B = X, A 6= ∅, B 6= ∅, A ∩ B = ∅. Esto significa que X es disconexo, lo cual contradice a la suposici´on.
Espacios m´etricos conexos, p´agina 2 de 2
