Espacios m´ etricos conexos

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Espacios m´ etricos conexos

1 Definici´on. Sea X un espacio m´etrico. Se dice que X es disconexo si existe un conjunto A ( X tal que A 6= ∅, A es abierto y cerrado. Se dice que X es conexo si X no es disconexo.

2 Definici´on (partici´on como familia). Sea X un conjunto. Una familia de conjutos (Aj)j∈J se llama partici´on de X si cumple con las siguientes propiedades:

(i) S

j∈JAj = X,

(ii) para cada j, k en J , si j 6= k, entonces Aj ∩ Ak = ∅, (iii) para cada j en J , Aj 6= ∅.

3 Definici´on (partici´on como colecci´on de conjuntos). Sea X un conjunto. Una colecci´on de conjuntos A se llama partici´on de X si cumple con las siguientes propiedades:

(i) ∪A = X,

(ii) para cada U , V en A, si U 6= V , entonces U ∩ V = ∅, (iii) ∅ /∈ A.

4 Proposici´on. Sea X un espacio m´etrico. Entonces las siguientes condiciones son equi- valentes:

(a) X es conexo;

(b) no existe una partici´on de X en dos conjuntos abiertos;

(c) no existe una partici´on de X en dos conjuntos cerrados.

5 Definici´on. Sea X un espacio m´etrico y sea A ⊆ X. Se dice que A es un conjunto conexo si A, considerado como subespacio del espacio m´etrico X, es conexo.

6 Proposici´on. Sea X un espacio m´etrico y sea A ⊆ X. Entonces A es conexo si, y solo si, no existen U, V en τX tales que

U ∩ A 6= ∅, V ∩ A 6= ∅, U ∩ V ∩ A 6= ∅, (U ∪ V ) ∩ A = A.

7 Ejemplo. Los siguientes subconjuntos de R no son conexos: N, Z, Q, [0, 1] ∪ [4, 5].

8 Ejercicio. Encontrar todos los conjuntos conexos en un espacio m´etrico discreto.

Espacios m´etricos conexos, p´agina 1 de 2

(2)

Luego vamos a demostrar que los intervalos de R son conjuntos conexos, y cada subcon- junto conexo de R es un intervalo.

9 Proposici´on. Sean X, Y espacios m´etricos y sea f ∈ C(X, Y ). Denotemos por g a la funci´on que se obtiene de f al restringir el codominio a f [X]. Entonces g ∈ C(X, f [X]).

10 Proposici´on. Sean X, Y espacios m´etricos, y sea f ∈ C(X, Y ). Supongamos que X es conexo. Entonces f [X] es un conjunto conexo en Y .

Demostraci´on. Gracias a la Proposici´on 9, es suficiente considerar el caso cuando f es suprayectiva.

Supongamos que Y no es conexo. Sean P y Q subconjuntos abiertos de Y tales que P 6= ∅, Q 6= ∅, Y = P ∪ Q, P ∩ Q = ∅. Pongamos

A := f−1[P ], B := f−1[Q].

Entonces A y B son abiertos, A ∪ B = X, A 6= ∅, B 6= ∅, A ∩ B = ∅. Esto significa que X es disconexo, lo cual contradice a la suposici´on.

Espacios m´etricos conexos, p´agina 2 de 2

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