Espacios m´ etricos conexos por arcos

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Espacios m´ etricos conexos por arcos

Objetivos. Estudiar las propiedades m´as simples de espacios m´etricos conexos por arcos (arco-conexos, conexos por caminos).

Prerrequisitos. Espacio m´etrico conexo, intervalo, funci´on continua.

1 Definici´on (camino en un espacio m´etrico). Sea X un espacio m´etrico. Un camino en X es una funci´on continua [0, 1] → X.

2 Definici´on (camino que une dos puntos dados). Sean X un espacio m´etrico, a, b ∈ X, γ ∈ C([0, 1], X). Se dice que γ une (conecta) a con b, si γ(0) = a y γ(1) = b.

3 Proposici´on. Sean X un espacio m´etrico, a, b ∈ X, γ1 un camino que conecta a y b.

Definimos γ2: [0, 1] → X,

γ2(t) := γ1(1 − t) (t ∈ [0, 1]).

Entonces γ2 es un camino que conecta b con a.

Demostraci´on. La funci´on γ2 se puede escribir como γ1 ◦ f , donde f : [0, 1] → [0, 1], f (t) = 1 − t. Luego γ2 ∈ C([0, 1], X). Adem´as, γ2(0) = γ1(1) = b y γ2(1) = γ1(0) = a.

4 Proposici´on. Sean X un espacio m´etrico, a, b, c ∈ X, γ1 un camino que conecta a con b, γ2 un camino que conecta b con c. Definimos γ3: [0, 1] → X,

γ3(t) :=

1(2t), t ∈0,12 , γ2(2t − 1), t ∈ 12, 1 . Entonces γ3 es un camino que conecta a con c.

Demostraci´on. Es f´acil ver que la funci´on γ3 es continua en cada punto del intervalo [0, 1/2) y en cada punto del intervalo (1/2, 1]. En el punto t0 = 1/2 tenemos la siguiente situaci´on:

l´ım

t→t0

γ3(t) = b = γ3(t0) = l´ım

t→t+0

γ3(t),

luego γ3 es continua tambi´en en el punto 1/2. Adem´as, γ3(0) = a y γ3(1) = c.

5 Ejercicio. Sean X un espacio m´etrico, a ∈ X. Construir un camino que une a y a.

6 Ejercicio. Sea X un espacio m´etrico. Definimos en X una relaci´on binaria: ponemos a ∼ b si existe un camino que une a y b. Demostrar que esta relaci´on binaria es una relaci´on de equivalencia.

Espacios m´etricos conexos por arcos, p´agina 1 de 2

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7 Definici´on (espacio m´etrico conexo por arcos). Sea X un espacio m´etrico. Se dice que X es conexo por arcos (o conexo por caminos, o es arco-conexo), si para cualesquiera a y b en X, existe un camino en X que conecta a con b.

8 Proposici´on (cada espacio conexo por arcos es conexo). Sea X un espacio m´etrico conexo por arcos. Entonces X es conexo.

Primera demostraci´on. Razonando por reducci´on al absurdo supongamos que X es disco- nexo. Supongamos que P y Q son conjuntos abiertos en X que forman una partici´on de X.

Elegimos a ∈ P , b ∈ Q. Usando la suposici´on que X es conexo por caminos encontramos un camino γ ∈ C([0, 1], X) tal que γ(0) = a y γ(1) = b.

Como [0, 1] es conexo y γ es continua, el conjunto Y := γ([0, 1]) es conexo en X. Por otro lado, los conjuntos P ∩ Y y Q ∩ Y son conexos en Y y forman una partici´on de Y . Luego Y es disconexo. Llegamos a una contradicci´on.

Segunda demostraci´on. Sean P , Q, a, b, γ como en la primera demostraci´on. Pongamos V := γ−1[P ], W := γ−1[Q]. Entonces es f´acil ver que V y W son abiertos en X y forman una partici´on de X. Esto contradice a la suposici´on que X es conexo.

Espacios m´etricos conexos por arcos, p´agina 2 de 2

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