Sucesiones convergentes en espacios m´etricos

Sucesiones convergentes en espacios m´ etricos

Objetivos. Repasar el concepto del l´ımite de una sucesi´on en un espacio m´etrico. Escribir la definici´on en varias formas equivalentes.

Prerrequisitos. Bolas en espacios m´etricos, la definici´on del l´ımite de una sucesi´on.

Aplicaciones. Descripci´on de los conceptos topol´ogicos en espacios m´etricos en t´erminos de sucesiones convergentes.

Suponemos que X es un espacio m´etrico.

1 Definici´on. Sea (a_n)_n∈N una sucesi´on en X y sea b un punto de X. Se dice que la sucesi´on (an)_n∈N converge al punto b (o que el l´ımite de esta sucesi´on es el punto b) si

∀ε > 0 ∃m ∈ N ∀k ≥ m d(ak, b) < ε.

2 Ejercicio (convergencia de sucesiones constantes). Sean b ∈ X, (a_n)_n∈N ∈ X^N tales que a_n = b para cada n en N. Demuestre que

n→∞l´ım a_n= b.

3 Ejercicio (convergencia de sucesiones estacionarias). Sean b ∈ X, (a_n)_n∈N ∈ X^N, m ∈ N tales que para cada n ≥ m se cumple an= b. Demuestre que

n→∞l´ım a_n= b.

4 Ejercicio (subsucesi´on de una sucesi´on convergente). Sean (a_n)_n∈N una sucesi´on en X, b ∈ X, l´ım_n→∞a_n = b, ν : N → N una funci´on escrictamente creciente. Demuestre que l´ım_k→∞a_ν(k) = b.

Unicidad del l´ımite

5 Proposici´on (unicidad del l´ımite de una sucesi´on, en caso de existencia). Sea (a_n)_n∈N una sucesi´on en X y sean b y c puntos de X. Supongamos que

n→∞l´ım a_n= b, l´ım

n→∞a_n = c.

Entonces b = c.

Sucesiones convergentes en espacios m´etricos, p´agina 1 de 3

Demostraci´on. Razonando por reducci´on al absurdo supongamos que b 6= c. Entonces d(b, c) > 0. Pongamos r := d(b, c)/2. Entonces B(b, r) ∩ B(c, r) = ∅.

Por otro lado, como l´ım_n→∞a_n = b, existe m₁ en N tal que d(an, b) < r para cada n ≥ m₁. De manera similar, como l´ım_n→∞a_n = c, existe m₂ en N tal que d(an, c) < r para cada n ≥ m₂. Pongamos n = m´ax{m₁, m₂}. Entonces a_n∈ B(b, r) ∩ B(c, r).

Descripci´ on del l´ımite de una sucesi´ on en t´ erminos de colas y vecindades

Recordemos que si (a_n)_n∈N es una sucesi´on y m ∈ N, entonces el conjunto {ak}_k≥m se llama cola de la sucesi´on. M´as precisamente, es la cola que empieza con el ´ındice m.

Podemos escribir la definici´on del l´ımite en otra forma equivalente, usando colas de la sucesi´on y bolas alrededor del punto l´ımite:

l´ım

k→∞a_k = b ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃m ∈ N {ak}_k≥m ⊆ B(b, ε).

En vez de las bolas abiertas, uno puede trabajar con vecindades abiertas arbitrarias.

6 Proposici´on (criterio del l´ımite de una sucesi´on, en t´erminos de colas de la sucesi´on y vecindades del punto l´ımite). Sea (a_n)_n∈N una sucesi´on en X y sea b un punto de X.

Entonces

n→∞l´ım a_n = b ⇐⇒ ∀V ∈ τ_d(b) ∃m ∈ N {x_k: k ≥ m} ⊆ V.

Demostraci´on. 1. Supongamos que l´ım

n→∞a_n = b. Sea V ∈ τ_d(b). Entonces existe ε > 0 tal que B(b, ε) ⊆ V . Encontramos m en N tal que {xk}_k≥m ⊆ B(b, ε). Entonces {x_k}_k≥m ⊆ V . 2. Supongamos que para cada V en τ_d(b) existe m en N tal que {xk}_k≥m⊆ V . Sea ε > 0.

Entonces B(b, ε) ∈ τ_d(b), y podemos aplicar la hip´otesis a esta vecindad abierta de b.

El medidor de convergencia de una sucesi´ on

7 Definici´on (el medidor de convergencia de una sucesi´on a un punto). Sean a = (a_n)_n∈N ∈ X^N, b ∈ X. Definimos λ_a: N → [0, +∞) como el supremo de las distancias del punto b hasta los elementos de la m-´esima cola de la sucesi´on:

λ_a(m) := sup

n≥m

d(a_n, b).

Sucesiones convergentes en espacios m´etricos, p´agina 2 de 3

8 Proposici´on. Sean (a_n)_n∈N ∈ X^N, b ∈ X. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) l´ım_n→∞a_n= b;

(b) l´ım_n→∞d(a_n, b) = 0;

(c) ∀ε > 0 ∃m ∈ N λa(m) < ε;

(d) l´ım_m→∞λ_a(m) = 0.

9 Ejercicio. Demostrar la proposici´on.

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