Descripci´ on de varios conceptos topol´ ogicos en espacios m´ etricos,

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Descripci´ on de varios conceptos topol´ ogicos en espacios m´ etricos,

en t´ erminos de sucesiones convergentes

Objetivos. Mostrar que en espacios m´etricos varios conceptos topol´ogicos se pueden describir en t´erminos de sucesiones convergentes.

Prerrequisitos. Conceptos topol´ogicos principales en espacios m´etricos, el l´ımite de una sucesi´on.

Suponemos que X es un espacio m´etrico.

1 Proposici´on (descripci´on de los puntos interiores de un conjunto en t´erminos de su- cesiones convergentes). Sean A ⊆ X, b ∈ X. Entonces

b ∈ int(A) ⇐⇒ ∀(an)n∈N∈ XN 

n→∞l´ım an= b =⇒ ∃m ∈ N ∀n ≥ m an∈ A . Demostraci´on. ⇒. Supongamos que b ∈ int(A). Sea (an)n∈N∈ XNtal que l´ımn→∞an = b.

Como b ∈ int(A), existe ε > 0 tal que B(b, ε) ⊆ A. Como l´ımn→∞an = b, existe m en N tal que para cada n ≥ m se cumple d(an, b) < ε. Luego para cada n ≥ m tenemos an∈ B(b, ε) ⊆ A.

⇐. Razonamos por reducci´on al absurdo. Supongamos que b /∈ int(A). Entonces para cada ε > 0 tenemos B(b, ε) * A, esto es,

∀ε > 0 ∃x(ε) ∈ B(b, ε) \ A.

Para cada n en N apliquemos esta condici´on con ε = 1/n y pongamos an := x(1/n).

Luego d(an, b) < 1/n, as´ı que l´ımn→∞an = b. Si existe m en N tal que para cada n ≥ m se cumple an∈ A, entonces, en particular, am ∈ A, pero en realidad am ∈ A./

Recordemos que A es abierto si, y solo si, cada punto a del conjunto A es un punto interior de A. Usando la Proposici´on1obtenemos la siguiente descripci´on de los conjuntos abiertos.

2 Corolario (criterio de conjuntos abiertos en t´erminos de sucesiones convergentes). Sea A ⊆ X. Entonces A es abierto si, y solo si, para cada b en A y cada sucesi´on (an)n∈N en XN que converge al punto b, existe m en N tal que para cada n ≥ m se cumple an∈ A.

Conceptos topol´ogicos en t´erminos de sucesiones convergentes, p´agina 1 de 3

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3 Proposici´on (descripci´on de los puntos de adherencia de un conjunto en t´erminos de sucesiones convergentes). Sean A ⊆ X, b ∈ X. Entonces

b ∈ cl(A) ⇐⇒ ∃(an)n∈N ∈ AN l´ım

n→∞an= b.

Demostraci´on. ⇒. Sea b ∈ cl(A). Entonces para cada ε > 0 la intersecci´on B(b, ε) ∩ A no es vac´ıa, esto es,

∀ε > 0 ∃x(ε) ∈ B(b, ε) ∩ A.

Para cada n en N apliquemos esta condici´on con ε = 1/n y encontramos an en B(b, ε) ∩ A.

Entonces (an)n∈N∈ AN. Adem´as, como d(an, b) < 1/n, obtenemos que l´ımn→∞an = b.

⇐. Supongamos que (an)n∈N ∈ AN y l´ımn→∞an = b. Mostremos que b ∈ cl(A). Sea ε > 0. Entonces, como l´ımn→∞an = b, existe m en N tal que para cada n ≥ m se tiene an ∈ B(b, ε). En particular, am ∈ B(b, ε). Adem´as, am ∈ A. Luego B(b, ε) ∩ A 6= ∅. Por la definici´on de los puntos de adherencia, esto significa que b ∈ cl(A).

4 Corolario (criterio de conjuntos cerrados en t´erminos de sucesiones convergentes). Sea A ⊆ X. Entonces A es cerrado si, y solo si, para cada b en X y cada (an)n∈N en AN, si l´ımn→∞an= b, entonces b ∈ A.

El siguiente resultado se conoce como el criterio de continuidad de Heine.

5 Proposici´on (criterio de continuidad de una funcion en un punto, en t´erminos de sucesiones convergentes). Sean X, Y espacios m´etricos, f : X → Y , b ∈ X. Entonces f es continua en b si, y solo si, para cada sucesi´on (an)n∈N ∈ XN que converge al punto b, la sucesi´on (f (an))n∈N converge al punto f (b).

Demostraci´on. ⇒. Supongamos que f es continua en el punto b. Sea (an)n∈N una sucesi´on tal que l´ımn→∞an= b. Mostremos que l´ımn→∞f (an) = f (b).

Sea ε > 0. Usando la suposici´on que f es continua en b, encontramos δ > 0 tal que para cada x en X con d(x, b) < δ se cumple que d(f (x), f (b)) < ε. Ahora, usando la hip´otesis que l´ımn→∞an= b, encontramos m en N tal que para cada n ≥ m se cumple d(an, b) < δ.

Luego para cada n con n ≥ m obtenemos d(f (an), f (b)) < ε.

⇐. Supongamos que para cada sucesi´on que converge al punto b, la sucesi´on de sus im´agenes converge al punto f (b). Razonando por reducci´on al absurdo supongamos que f no es continua en b. Entonces existe ε0 > 0 tal que para cada δ > 0 existe x en B(b, δ) con f (x) /∈ B(f (b), ε0). Para cada n en N aplicamos esta condici´on con δ = 1/n y obtenemos

Conceptos topol´ogicos en t´erminos de sucesiones convergentes, p´agina 2 de 3

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una sucesi´on (an)n∈N tal que

∀n ∈ N d(an, b) < 1

n, (1)

∀n ∈ N d(f (an), f (b)) ≥ ε0. (2)

La desigualdad (1) implica que l´ımn→∞an= b. Luego, por la suposici´on, l´ımn→∞f (an) = f (b). En particular, para ε0 existe m en N tal que para cada n ≥ m se cumple la desigual- dad d(f (an), f (b)) < ε0. En particular, d(f (am), f (b)) < ε0. Esto contradice a (2).

Conceptos topol´ogicos en t´erminos de sucesiones convergentes, p´agina 3 de 3

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