Completitud de espacios m´etricos y normados (repaso)

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Completitud de espacios m´ etricos y normados (repaso)

Objetivos. Repasar los conceptos de espacio m´etrico completo, sucesi´on de Cauchy y sucesi´on regular de Cauchy. Demostrar el criterio de completitud para espacios normados (en t´erminos de series convergentes).

Requisitos. Sucesiones de Cauchy, espacios completos, teorema de la convergencia do- minada.

Completitud de un espacio m´ etrico

Definici´on (sucesi´on de Cauchy). Recuerde la definici´on de la sucesi´on de Cauchy.

1. Toda sucesi´on convergente es de Cauchy. Sea (M, ρ) un espacio m´etrico, sea (xn)n∈N una sucesi´on en M y sea b un punto en M tales que xn → b, esto es, ρ(xn, b) → 0.

Demuestre que la sucesi´on (xn)n∈N es una sucesi´on de Cauchy.

2. Sucesi´on de Cauchy con una subsucesi´on convergente. Sea (xn)n∈Nuna sucesi´on de Cauchy en un espacio m´etrico (M, ρ). Sea (xν(k))n∈N una subsucesi´on de la sucesi´on original que converge a un punto b, esto es,

k→∞l´ım xν(k) = b.

Demuestre que

n→∞l´ım xn= b.

Definici´on (espacio m´etrido completo). Un espacio m´etrico (M, ρ) se llama completo si toda sucesi´on de Cauchy en este espacio tiene un l´ımite.

3. Ejemplo de un espacio m´etrico no completo. D´e un ejemplo de un espacio m´etrico no completo.

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Sucesiones regulares de Cauchy

Definici´on (sucesi´on regular de Cauchy). Sea (M, ρ) un espacio m´etrico y sea (xn)n∈N una sucesi´on en este espacio. Se dice que (xn)n∈N es una sucesi´on regular de Cauchy si para todo n ∈ N se cumple la siguiente desigualdad:

|xn+1− xn| ≤ 2−n−1.

4. Sea (xn)n∈N una sucesi´on regular de Cauchy en un espacio m´etrico (M, ρ). Demuestre que para todo par de ´ındices m, n ∈ N con m ≥ n se cumple la desigualdad

|xm− xn| ≤ 2−n. Deduzca de aqu´ı que (xn)n∈N es una sucesi´on de Cauchy.

5. Criterio de la completitud de un espacio m´etrico. Sea (M, ρ) un espacio m´etrico.

Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) (M, ρ) es completo, esto es, toda sucesi´on de Cauchy en M es convergente.

(b) Toda sucesi´on regular de Cauchy en M es convergente.

Criterio de completitud para espacios normados

6. Definici´on (espacio de Banach). Un espacio de Banach es un espacio normado completo.

7. Teorema (criterio de completitud para espacios normados). Sea (M, k · k) un espacio normado. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) (M, k · k) es completo.

(b) Para cualquier sucesi´on (xn)n∈N en M , si la serie num´erica X

n∈N

kxnk converge, en- tonces la serieX

n∈N

xn converge.

Idea de demostraci´on. (a)⇒(b). Esta parte a veces se llama el teorema de Weierstrass de la convergencia absoluta. Suponemos que (M, kρk) es completo y consideramos una serie (xn)n∈N tal que

X

n∈N

kxnk < +∞. (1)

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Demostraremos que la sucesi´on (Sk)k∈N de las sumas parciales Sk:= X

n≤k

xk

es de Cauchy, luego de la hip´otesis (a) se obtendr´a que esta sucesi´on es convergente. Sea ε > 0. Usando la condici´on (1) encontramos un m ∈ N tal que

X

n∈N

kxnk − X

n<m

kxnk < ε,

esto es,

X

n=m

kxnk < ε.

Entonces para todo p, q ≥ m con p < q tenemos que

kSq− Spk =

q

X

n=p+1

xn

q

X

n=p+1

kxnk ≤

X

n=m

kxnk < ε.

(b)⇒(a). Suponemos que se cumple la condici´on (b) y tenemos por demostrar que (M, k · k) es completo. Sea (xn)n∈N una sucesi´on regular de Cauchy. Formamos las diferencias sucesivas:

d0 := x0, dk:= xk− xk−1. Entonces

X

k∈N

kdkk ≤X

n∈N

2−k−1< +∞, y por la hip´otesis (b) la serie P

k∈Ndk converge. Pero las sumas parciales de esta serie forman la sucesi´on original (xn)n∈N:

n

X

k=0

dk = d0+

n

X

k=1

(xk− xk−1) = xn.

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