Completitud de espacios m´etricos y normados (repaso)

Completitud de espacios m´ etricos y normados (repaso)

Objetivos. Repasar los conceptos de espacio m´etrico completo, sucesi´on de Cauchy y sucesi´on regular de Cauchy. Demostrar el criterio de completitud para espacios normados (en t´erminos de series convergentes).

Requisitos. Sucesiones de Cauchy, espacios completos, teorema de la convergencia do- minada.

Completitud de un espacio m´ etrico

Definici´on (sucesi´on de Cauchy). Recuerde la definici´on de la sucesi´on de Cauchy.

1. Toda sucesi´on convergente es de Cauchy. Sea (M, ρ) un espacio m´etrico, sea (x_n)_n∈N una sucesi´on en M y sea b un punto en M tales que x_n → b, esto es, ρ(x_n, b) → 0.

Demuestre que la sucesi´on (x_n)_n∈N es una sucesi´on de Cauchy.

2. Sucesi´on de Cauchy con una subsucesi´on convergente. Sea (x_n)_n∈Nuna sucesi´on de Cauchy en un espacio m´etrico (M, ρ). Sea (x_ν(k))_n∈N una subsucesi´on de la sucesi´on original que converge a un punto b, esto es,

k→∞l´ım x_ν(k) = b.

Demuestre que

n→∞l´ım x_n= b.

Definici´on (espacio m´etrido completo). Un espacio m´etrico (M, ρ) se llama completo si toda sucesi´on de Cauchy en este espacio tiene un l´ımite.

3. Ejemplo de un espacio m´etrico no completo. D´e un ejemplo de un espacio m´etrico no completo.

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Sucesiones regulares de Cauchy

Definici´on (sucesi´on regular de Cauchy). Sea (M, ρ) un espacio m´etrico y sea (x_n)_n∈N una sucesi´on en este espacio. Se dice que (x_n)_n∈N es una sucesi´on regular de Cauchy si para todo n ∈ N se cumple la siguiente desigualdad:

|xn+1− xn| ≤ 2⁻ⁿ⁻¹.

4. Sea (x_n)_n∈N una sucesi´on regular de Cauchy en un espacio m´etrico (M, ρ). Demuestre que para todo par de ´ındices m, n ∈ N con m ≥ n se cumple la desigualdad

|x_m− x_n| ≤ 2⁻ⁿ. Deduzca de aqu´ı que (xn)_n∈N es una sucesi´on de Cauchy.

5. Criterio de la completitud de un espacio m´etrico. Sea (M, ρ) un espacio m´etrico.

Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) (M, ρ) es completo, esto es, toda sucesi´on de Cauchy en M es convergente.

(b) Toda sucesi´on regular de Cauchy en M es convergente.

Criterio de completitud para espacios normados

6. Definici´on (espacio de Banach). Un espacio de Banach es un espacio normado completo.

7. Teorema (criterio de completitud para espacios normados). Sea (M, k · k) un espacio normado. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) (M, k · k) es completo.

(b) Para cualquier sucesi´on (x_n)_n∈N en M , si la serie num´erica X

n∈N

kx_nk converge, en- tonces la serieX

n∈N

x_n converge.

Idea de demostraci´on. (a)⇒(b). Esta parte a veces se llama el teorema de Weierstrass de la convergencia absoluta. Suponemos que (M, kρk) es completo y consideramos una serie (x_n)_n∈N tal que

X

n∈N

kx_nk < +∞. (1)

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Demostraremos que la sucesi´on (Sk)_k∈N de las sumas parciales S_k:= X

n≤k

x_k

es de Cauchy, luego de la hip´otesis (a) se obtendr´a que esta sucesi´on es convergente. Sea ε > 0. Usando la condici´on (1) encontramos un m ∈ N tal que

X

n∈N

kx_nk − X

n<m

kx_nk < ε,

esto es,

∞

X

n=m

kx_nk < ε.

Entonces para todo p, q ≥ m con p < q tenemos que

kS_q− S_pk =

q

X

n=p+1

x_n

≤

q

X

n=p+1

kx_nk ≤

∞

X

n=m

kx_nk < ε.

(b)⇒(a). Suponemos que se cumple la condici´on (b) y tenemos por demostrar que (M, k · k) es completo. Sea (xn)_n∈N una sucesi´on regular de Cauchy. Formamos las diferencias sucesivas:

d₀ := x₀, d_k:= x_k− x_k−1. Entonces

X

k∈N

kd_kk ≤X

n∈N

2^−k−1< +∞, y por la hip´otesis (b) la serie P

k∈Nd_k converge. Pero las sumas parciales de esta serie forman la sucesi´on original (x_n)_n∈N:

n

X

k=0

d_k = d₀+

n

X

k=1

(x_k− x_k−1) = x_n.

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