Tema 6. Geometr´ıa del espacio tridimensional. Problemas M´etricos.

Tema 6. Geometr´ıa del espacio tridimensional.

Problemas M´etricos.

Profesor Andr´es D´ıaz Jim´enez andres.diaz@educa.madrid.org

IES ALPAJ ´ ES

26 de enero de 2015

Angulo de dos rectas ´

Angulo de dos rectas ´

1

El ´angulo de dos rectas que se cortan es igual al menor ´angulo de los ´angulos que forman en el plano que determinan.

2

El ´angulo de dos rectas que se cruzan es igual al menor ´angulo de los ´angulos que forman dos rectas paralelas que se cortan.

3

El ´angulo de dos rectas paralelas o coincidentes es 0.

Sean

r ≡ Q ^r = P ^r + λ− → u ^r r ≡ Q ^s = P ^s + λ− → u ^s

−

→ u ^r (a, b, c) − → u ^s (a ^′ , b ^′ , c ^′ ) cos( r, s) = | cos(\ c − → u ^r , − → u ^s )| = |− → u ^r · − → u ^s |

|− → u ^r | · |− → u ^s | cos( r, s) = c |aa ^′ + bb ^′ + cc ^′ |

√ a ² + b ² + c ² √

a ^′2 + b ^′2 + c ^′2

Andr´es D´ıaz (IES ALPAJ´ES) Matem´aticas II 26 de enero de 2015 2 / 38

Angulo de dos rectas ´

Ejemplo Hallar el ´angulo que forman las rectas r ≡ x − 1

2 = y + 1

3 = z

−1 s ≡

 x − y + z = 3

2x − y − z = 1

Angulo de dos rectas ´

Ejemplo Hallar el ´angulo que forman las rectas r ≡ x − 1

2 = y + 1

3 = z

−1 s ≡

 x − y + z = 3 2x − y − z = 1

−

→ u ^r = (2, 3, −1) − → u ^s =        

−

→ i − → j − → k 1 −1 1 2 −1 −1

= 2 − → i + 3 − → j + − → k

cos( r, s) = c p |2 · 2 + 3 · 3 + (−1) · 1|

3 ² + 2 ² + (−1) ² √

3 ² + 2 ² + 1 ² = 12 14 c

r, s = arc cos 6

7 ≃ 31 ^o

Andr´es D´ıaz (IES ALPAJ´ES) Matem´aticas II 26 de enero de 2015 3 / 38

Angulo entre dos planos ´

Angulo entre dos planos ´

Definimos el ´angulo formado por dos planos como el menor ´angulo diedro que determinan. Este

´angulo coincide con el formado por dos rectas secantes perpendiculares a cada uno de los planos.

π ¹ ≡ Ax + By + Cz + D = π ² ≡ A ^′ x + B ^′ y + C ^′ z + D ^′ = 0

−

→ n ^π

(A, B, C) − → n ^π

(A ^′ , B ^′ , C ^′ ) cos( π [ ¹ , π ² ) = | cos( \ − → n ^π

, − → n ^π

)| = |− → n ^π

· − → n ^π

|

|− → n ^π

||− → n ^π

| cos( π [ ¹ , π ² ) = |AA ^′ + BB ^′ + CC ^′ |

√ A ² + B ² + C ² √

A ^′2 + B ^′2 + C ^′2

Angulo entre dos planos ´

Hallar el ´angulo formado por los planos

π ¹ ≡ 3x − y + z − 7 = 0 π ² ≡ 4x − 2y − z − 7 = 0

Andr´es D´ıaz (IES ALPAJ´ES) Matem´aticas II 26 de enero de 2015 5 / 38

Angulo entre dos planos ´

Hallar el ´angulo formado por los planos

π ¹ ≡ 3x − y + z − 7 = 0 π ² ≡ 4x − 2y − z − 7 = 0

cos( π [ ¹ , π ² ) = |3 · 4 − 1 · (−2) + 1 · (−1)|

p 3 ² + (−1) ² + 1 ² p

4 ² + (−2) ² + (−1) ² = 13

√ 11 √

21 = 13

√ 231 = 13 √ 231 231 [

π ¹ , π ² = arc cos 13 √ 231

231 ≃ 31 ^o

Angulo formado por una recta y un plano ´

Angulo formado por una recta y un plano ´

El ´angulo formado por una recta r y un plano π es igual ´angulo que forma la recta r con una recta r ^′ proyecci´on de la recta r sobre el plano π. Sea

r ≡ Q = P ^r + λ− → u ^r π ≡ Ax + By + Cz + D = 0 Para hallar el ´angulo r, π estudiaremos el ´angulo formado por \ c − → u ^r − → n ^π

1

Si \ − → u ^r , − → n ^π < 90 ^o ⇒ \ − → u ^r , − → n ^π + r, π = 90 c ^o

sen( r, π) = cos( \ c − → u ^r , − → n ^π )

2

Si \ − → u ^r , − → n ^π > 90 ^o ⇒ \ − → u ^r , − → n ^π = 90 ^o + r, π c

cos( \ − → u ^r , − → n ^π ) = cos(90 ^o + r, π) = − sen( c c r, π) ⇒ sen( c r, π) = − cos( \ − → u ^r , − → n ^π ) Por tanto

sen( r, π) = | cos( \ c − → u ^r , − → n ^π )|

Andr´es D´ıaz (IES ALPAJ´ES) Matem´aticas II 26 de enero de 2015 6 / 38

Angulo formado por una recta y un plano ´

Hallar el ´angulo formado por el plano π ≡ 3x + 2y − z − 6 = 0 y la recta:

x + 1

2 = y − 6

−1 = z + 8

3

Angulo formado por una recta y un plano ´

Hallar el ´angulo formado por el plano π ≡ 3x + 2y − z − 6 = 0 y la recta:

x + 1

2 = y − 6

−1 = z + 8 3

−

→ n ^π = (3, 2, −1) − → u ^r (2, −1, 3)

sen( r, π) = c p |3 · 2 + 2 · (−1) − 1 · 3|

3 ² + 2 ² + (−1) ² p

2 ² + (−1) ² + 3 ² = 1 14 sen( r, π) = c 1

14 ⇒ c r, π = arc sen 1

14 ≃ 4 ^o

Andr´es D´ıaz (IES ALPAJ´ES) Matem´aticas II 26 de enero de 2015 7 / 38

Distancia entre dos puntos en el Espacio Eucl´ıdeo Tridimensional

Distancia entre dos puntos

Dados puntos P (x ¹ , y ¹ , z ¹ ) y Q(x ² , y ² , z ² ) definimos la distancia entre los puntos P y Q como el m´odulo del vector −→

P Q.

d(P, Q) = | −→

P Q| = p

(x ² − x ¹ ) ² + (y ² − y ¹ ) ² + (z ² − z ¹ ) ² Ejemplo: Sea P (−2, −1, 5) y Q = (3, 0, 7)

d(P, Q) = | −→

P Q| = p

(3 + 2) ² + 1 ² + (7 − 5) ² = √

25 + 1 + 4 = √

30

Distancia entre dos puntos en el Espacio Eucl´ıdeo Tridimensional

Dado el plano π ¹ ≡ x + y + z = 1 y la recta r ≡ x − 1

2 = y + 1

3 = z

−4 se pide:

1

Hallar el punto P determinado por la intersecci´on de r con π ¹

2

Hallar un plano π ² y tal que el segmento de la recta r comprendido entre los planos π ¹ y π ² tenga √

29 unidades.

Andr´es D´ıaz (IES ALPAJ´ES) Matem´aticas II 26 de enero de 2015 9 / 38

Distancia entre dos puntos en el Espacio Eucl´ıdeo Tridimensional

Dado el plano π ¹ ≡ x + y + z = 1 y la recta r ≡ x − 1

2 = y + 1

3 = z

−4 se pide:

1

Hallar el punto P determinado por la intersecci´on de r con π ¹

2

Hallar un plano π ² y tal que el segmento de la recta r comprendido entre los planos π ¹ y π ² tenga √

29 unidades.

Escribimos la recta r en param´etricas

r ≡

 



x = 1 + 2λ y = −1 + 3λ z = −4λ

P (1 + 2λ, −1 + 3λ, −4λ) ∈ r

Sustituimos las coordenadas de P en la ecuaci´on de π ¹

1 + 2λ − 1 + 3λ − 4λ = 1 =⇒ λ = 1 =⇒ P (3, 2, −4)

Distancia entre dos puntos en el Espacio Eucl´ıdeo Tridimensional

Dado el plano π ¹ ≡ x + y + z = 1 y la recta r ≡ x − 1

2 = y + 1

3 = z

−4 se pide:

1

Hallar el punto P determinado por la intersecci´on de r con π ¹

2

Hallar un plano π ² y tal que el segmento de la recta r comprendido entre los planos π ¹ y π ² tenga √

29 unidades.

Andr´es D´ıaz (IES ALPAJ´ES) Matem´aticas II 26 de enero de 2015 10 / 38

Distancia entre dos puntos en el Espacio Eucl´ıdeo Tridimensional

Dado el plano π ¹ ≡ x + y + z = 1 y la recta r ≡ x − 1

2 = y + 1

3 = z

−4 se pide:

1

Hallar el punto P determinado por la intersecci´on de r con π ¹

2

Hallar un plano π ² y tal que el segmento de la recta r comprendido entre los planos π ¹ y π ² tenga √

29 unidades.

Para hallar π ² debemos encontrar un punto Q(1 + 2λ, −1 + 3λ, −4λ) ∈ r tal que D(P, Q) = √

29. El plano π ² ser´a paralelo a π ¹ y pasar´a por Q

−→ P Q = (1 + 2λ, −1 + 3λ, −4λ) − (3, 2, −4) = (−2 + 2λ, −3 + 3λ, 4 − 4λ) D(P, Q) = | −→

P Q| = √

29 =⇒ | −→

P Q| ² = 29 =⇒

(2 − 2λ) ² + (3λ − 3) ² + (4 − 4λ) ² = 29 =⇒ 4 − 8λ + 4λ ² + 9 − 18λ + 9λ ² + 16 − 32λ + 16λ ² = 29

✚✚ 29 − 58λ + 29λ ² = ^✚✚ 29 =⇒ 29λ ² − 58λ = 0 =⇒ λ = 2 λ = 0 Para λ = 0 =⇒ Q(1, −1, 0) y por tanto

π ² ≡ x + y + z = D =⇒ 1 − 1 = D =⇒ D = 0 =⇒ π ² ≡ x + y + z = 0 Para λ = 2 =⇒ Q(5, 5, −8) y por tanto

π ² ≡ x + y + z = D =⇒ 5 + 5 − 8 = D =⇒ D = 2 =⇒ π ² ≡ x + y + z = 2

Distancia entre de un punto a un plano

Distancia de un punto a un plano

Sea π ≡ Ax + By + Cz + D = 0 y P (x ¹ , y ¹ , z ¹ ) un punto exterior al plano π entonces d(P, π) = |Ax ¹ + By ¹ + Cz ² + D|

√ A ² + B ² + C ²

Ejemplo Hallar la distancia del punto P (1, 3, −1) al plano π ≡ 3x − 2y − z = 3

Andr´es D´ıaz (IES ALPAJ´ES) Matem´aticas II 26 de enero de 2015 11 / 38

Distancia entre de un punto a un plano

Distancia de un punto a un plano

Sea π ≡ Ax + By + Cz + D = 0 y P (x ¹ , y ¹ , z ¹ ) un punto exterior al plano π entonces d(P, π) = |Ax ¹ + By ¹ + Cz ² + D|

√ A ² + B ² + C ²

Ejemplo Hallar la distancia del punto P (1, 3, −1) al plano π ≡ 3x − 2y − z = 3 d(P, π) = |3 · 1 − 2 · 3 − (−1) − 3| p

3 ² + (−2) ² + (−1) ² = |3 − 6 + 1 − 3| √

9 + 4 + 1 = 5

√ 14 = 5 √

14

14

Distancia entre dos planos paralelos

Distancia entre dos planos paralelos

Dados los planos π ¹ y π ² paralelos definimos la distancia entre los dos planos como la distancia de un punto cualquiera de un plano con respecto al otro

P ∈ π ¹ ⇒ d(π ¹ , π ² ) = d(P, π ² ) Q ∈ π ² ⇒ d(π ¹ , π ² ) = d(Q, π ¹ )

Ejemplo Hallar la distancia entre los planos π ¹ ≡ 2x + y − z − 5 = 0 π ² ≡ 4x + 2y − 2z − 7 = 0.

Andr´es D´ıaz (IES ALPAJ´ES) Matem´aticas II 26 de enero de 2015 12 / 38

Distancia entre dos planos paralelos

Distancia entre dos planos paralelos

Dados los planos π ¹ y π ² paralelos definimos la distancia entre los dos planos como la distancia de un punto cualquiera de un plano con respecto al otro

P ∈ π ¹ ⇒ d(π ¹ , π ² ) = d(P, π ² ) Q ∈ π ² ⇒ d(π ¹ , π ² ) = d(Q, π ¹ )

Ejemplo Hallar la distancia entre los planos π ¹ ≡ 2x + y − z − 5 = 0 π ² ≡ 4x + 2y − 2z − 7 = 0.

Los dos planos son paralelos para ello estudiamos el siguiente sistema:

 2x + y − z = 5 4x + 2y − 2z = 7 Obtenemos las matrices

A = 2 1 −1 4 2 −2

!

A ^′ = 2 1 −1 5 4 2 −2 7

!

El rg(A) = 1 porque las dos filas son proporcionales  

−1 5

−2 7    

 = 3 6= 0 ⇒ rg(A ^′ ) = 3

Distancia entre dos planos paralelos

Obtenemos un punto de π ¹ por ejemplo le damos a x = 0 y z = 1 por tanto 0 + y − 1 − 5 = 0 ⇒ y = 6

P (0, 6, 1) d(π ¹ , π ² ) = d(P, π ² ) = p |2 · 6 − 2 · 1 − 7|

4 ² + 2 ² + (−2) ² = |12 − 2 − 7|

√ 16 + 4 + 4 = 3

√ 24 = 3 √ 24 24 =

√ 24 8 =

√ 6 4

Andr´es D´ıaz (IES ALPAJ´ES) Matem´aticas II 26 de enero de 2015 13 / 38

Distancia de un punto a una recta

Distancia de un punto a una recta

Dada un punto P (x ¹ , y ¹ , z ¹ ) y una recta r determinada por el punto P ^r (x ² , y ² , z ² ) y el vector

−

→ u ^r = (a, b, c); la distancia del punto P a la recta r

d(P, r) = | −−→

P P ^r × − → u |

|− → u |

~

u ^r r

d(P, Q) = | −→

P Q|

b

P

b

P

b

Q

Distancia de un punto a una recta

Ejemplo Hallar la distancia del punto P (1, 3, −1) a la recta r ≡

 x − y = 0 x + y − z = 0

Andr´es D´ıaz (IES ALPAJ´ES) Matem´aticas II 26 de enero de 2015 15 / 38

Distancia de un punto a una recta

Ejemplo Hallar la distancia del punto P (1, 3, −1) a la recta r ≡

 x − y = 0 x + y − z = 0

Escribimos las ecuaciones impl´ıcitas de la recta r en param´etricas

 x = y x − z = −y

Haciendo y = λ obtenemos: 





x = λ y = λ z = 2λ

P ^r = (0, 0, 0) y − → u ^r = (1, 1, 2)

−−→ P P ^r = (0, 0, 0) − (1, 3, −1) = (−1, −3, 1)

−−→ P P ^r × − → u =        

−

→ i − → j − → k

−1 −3 1

1 1 2

= −7 − → i + 3 − → j + 2 − → k

| −−→ P P × − → u | |(−7, 3, 2)| p

(−7) ² + 3 ² + 2 ² √

62 r

31

Distancia de un punto a una recta

Ejemplo. Hallar el punto sim´etrico del punto P (3, 4, 5) con respecto a la recta r ≡ x − 1

1 = y + 1

2 = z − 2 2 P ^r (1, −1, 2) − → u ^r = (1, 2, 2)

Para hallar el sim´etrico con respecto a la recta r debemos hallar el punto R de tal forma que

−→ RP · − → u ^r = 0. Tomamos un punto gen´erico de la recta r, R(1 + λ, −1 + 2λ, 2 + 2λ) Hallamos

−→ RP = (3, 4, 5) − (1 + λ, −1 + 2λ, 2 + 2λ) = (3 − 1 − λ, 4 + 1 − 2λ, 5 − 2 − 2λ) = (2 − λ, 5 − 2λ, 3 − 2λ)

−→ RP · − → u ^r = 0 ⇒ (2 − λ, 5 − 2λ, 3 − 2λ) · (1, 2, 2) = 2 − λ + 10 − 4λ + 6 − 4λ = 0 18 − 9λ = 0 ⇒ λ = 2

R(1 + 2, −1 + 2 · 2, 2 + 2 · 2) = (3, 3, 6) Sea P ^′ (x, y, z) el punto sim´etrico de P con respecto a r

R = P ^′ + P

2 ⇒ (3, 3, 6) = (3, 4, 5) + (x, y, z) 2

(3, 3, 6) =

 x + 3

2 , y + 4

2 , z + 5 2



Despejando las inc´ognitas obtenemos

P ^′ (3, 2, 7)

Andr´es D´ıaz (IES ALPAJ´ES) Matem´aticas II 26 de enero de 2015 16 / 38

Distancia entre dos rectas paralelas

Distancia entre dos rectas paralelas

Dadas dos rectas r y s paralelas, la distancia de r a s es igual a la distancia de un punto cualquiera de una a la otra recta

d(r, s) = d(P ^r , s) = d(P ^s , r)

Distancia entre dos rectas paralelas

Ejemplo Hallar la distancia entre las rectas r ≡ x + 3

2 = y − 2 1 = z

3 s ≡

 x − 2y = 1 2x − y − z = 2 Escribimos la recta s en param´etricas:

 x − 2y = 1 2x − y = 2 + z

Multiplicamos la primer ecuaci´on por -2 y se la sumamos a la segunda obteniendo

 x − 2y = 1

3y = z ⇒ y = z 3 x − 2z

3 = 1 ⇒ x = 1 + 2z 3

s ≡

 

 



 

 

x = 1 + 2λ 3 y = λ

z = λ 3 Por tanto

P ^r (−3, 2, 0) − → u ^r (2, 1, 3) P ^s (1, 0, 0) − → u ^s

 2 3 , 1

3 , 1



Andr´es D´ıaz (IES ALPAJ´ES) Matem´aticas II 26 de enero de 2015 18 / 38

Distancia entre dos rectas paralelas

Estudiamos la posici´on relativa de las rectas r y s los vectores − → u ^r y − → u ^s son proporcionales por tanto:

rg(− → u ^r , − → u ^s ) = 1 Calculamos, −−→

P ^r P ^s = (1, 0, 0) − (−3, 2, 0) = (4, −2, 0)

(− → u ^r , − → u ^s , −−→ P ^r P ^s ) =



 

 

2 1 3

2 3

1 3 1 4 −2 0



 

 

2 1 4 −2

 = −8 6= 0 ⇒ rg(− → u ^r , − → u ^s , −−→

P ^r P ^s ) = 2 Por tanto las rectas son paralelas

−−→ P ^r P ^s × − → u ^r =        

−

→ i − → j − → k 4 −2 0

2 1 3

= −6 − →

i − 12 − → j + 8 − → k

d(r, s) = d(P , r) = | −−→ P ^r P ^s × − → u ^r |

=

p (−6) ² + (−12) ² + 8 ²

√ =

r 244

=

r 122

Distancia entre dos rectas que se cruzan

Distancia entre dos rectas que se cruzan

Sean r y s dos rectas que se cruzan cuya ecuaciones vectoriales son Q ^r = P ^r + λ− → u ^r Q ^s = P ^s + λ− → u ^s Entonces la distancia entre ry s es igual

d(r, s) =   [ −−→

P ^r P ^s , − → u ^r , − → u ^s ]   

|− → u ^r × − → u ^s |

Andr´es D´ıaz (IES ALPAJ´ES) Matem´aticas II 26 de enero de 2015 20 / 38

Distancia entre dos rectas que se cruzan

Hallar la distancia entre las rectas r ≡ x + 3

3 = y − 9

−2 = z − 8

−2 s ≡ x − 3

−2 = y − 2

1 = z − 1 2 De las ecuaciones obtenemos:

P ^r (−3, 9, 8) − → u ^r (3, −2, −2) P ^s (3, 2, 1) − → u ^s (−2, 1, 2) Estudiamos la posici´on relativa de las rectas r y s:

(− → u ^r , − → u ^s ) = 3 −2 −2

−2 1 2

!     

3 −2

−2 1    

 = −1 6= 0 ⇒ rg(− → u ^r , − → u ^s ) = 2

Las rectas o se cortan o se cruzan. Para comprobar en que caso estamos estudiamos la siguiente matriz

−−→ P ^r P ^s = (3, 2, 1) − (−3, 9, 8) = (6, −7, −7) ( −−→ P ^r P ^s , − → u ^r , − → u ^s ) =



 



6 −7 −7 3 −2 −2

−2 1 2



 

  

6 −7 −7 3 −2 −2

  = 9 6= 0 ⇒ rg( −−→

P ^r P ^s , − → u ^r , − → u ^s ) = 3

Distancia entre dos rectas que se cruzan

Hallar la distancia

d(r, s) =   [ −−→

P ^r P ^s , − → u ^r , − → u ^s ]   

|− → u ^r × − → u ^s | =

6 −7 −7 3 −2 −2

−2 1 2

p (−2) ² + (−2) ² + (−1) ² = 9 3

−

→ u ^r × − → u ^s =        

−

→ i − → j − → k 3 −2 −2

−2 1 2

= −2 − →

i − 2 − → j − − →

k

Andr´es D´ıaz (IES ALPAJ´ES) Matem´aticas II 26 de enero de 2015 22 / 38

Areas de un paralelogramo. ´ ´ Area de un tri´angulo

Area de un paralelogramo ´

Sea ABCD los v´ertices de un paralelogramo su ´area es igual:

S(ABCD) = | −→

AB × −→

AC|

b

B

b

A

b

C

b

D

Areas de un paralelogramo. ´ ´ Area de un tri´angulo

Area de un tri´angulo ´

El ´area del tri´angulo de v´ertices A, B y C es igual:

S( ABC) = ^△ 1

2 ·    −→

AB × −→ AC   

b

B

b

A

b

C

b

D

Andr´es D´ıaz (IES ALPAJ´ES) Matem´aticas II 26 de enero de 2015 24 / 38

Area de un tri´angulo ´

Ejemplo. Hallar el ´area del tri´angulo formado por la intersecci´on del plano π ≡ 2x + y + 3z − 6 = 0 con los ejes de coordenadas. Hallamos los puntos de intersecci´on con los ejes de coordenadas

Eje X 





y = 0 z = 0

2x + y + 3z − 6 = 0

⇒ A(3, 0, 0)

Eje Y 





x = 0 z = 0

2x + y + 3z − 6 = 0

⇒ B(0, 6, 0)

Eje Z 





x = 0 y = 0

2x + y + 3z − 6 = 0

⇒ C(0, 0, 2) Hallamos los vectores

−→ AB = (0, 6, 0) − (3, 0, 0) = (−3, 6, 0) −→

AC = (0, 0, 2) − (3, 0, 0) = (−3, 0,2)  

−

→ i − → j − → k

−3 6 0

−3 0 2    

  = 12 − → i + 6 − → i + 18 − → k

Volumen de un paralelep´ıpedo. Volumen de un tetraedro.

Volumen de un paralelep´ıpedo

El volumen de un paralelep´ıpedo de vertices ABCD es igual V =

  [ −→

AB, −→

AC, −−→

AD]

   =

det( −→

AB, −→

AC, −−→

AD)   

Volumen de un tetraedro

El volumen de tetraedro de vertices ABCD es igual V = 1

6  

[ −→ AB, −→ AC, −−→ AD]    = 1 6  

det( −→ AB, −→ AC, −−→ AD)   

Andr´es D´ıaz (IES ALPAJ´ES) Matem´aticas II 26 de enero de 2015 26 / 38

Volumen de un paralelep´ıpedo. Volumen de un tetraedro.

Ejemplo Hallar la ecuaci´on del plano que pasa por el punto P (1, 2, 3) siendo el tri´angulo formado por los puntos de corte de dicho plano con los ejes coordenados equil´atero. Hallar el volumen del tetraedro formado por dicho plano y los planos coordenados.

Los puntos de corte del plano π con los planos coordenados

A(a, 0, 0) B(0, a, 0) C(0, 0, a) Puesto que los cuatro puntos A, B, C y P son coplanarios rg( −→

P A, −−→

P B, −→

P C) = 2 por tanto

rg



 1 − a 2 3

1 2 − a 3

1 2 3 − a



 = 2 ⇒      

1 − a 2 3

1 2 − a 3

1 2 3 − a

      = 0  

1 − a 2 3

1 2 − a 3

1 2 3 − a

      =

1 − a 2 3

a −a 0

a 0 −a

      =

6 − a 2 3

0 −a 0

0 0 −a

  = a ² (6 − a) Resolvemos la ecuaci´on a ² (6 − a) = 0

a = 0 No tiene sentido

a = 6 La ecuaci´on del plano queda determinada el punto A(6, 0, 0) y por los vectores −→ P A y −−→ P B  

x − 6 y z

1 −4 3

 = 0 ⇒ 6x + 6y + 6z − 36 = 0 ⇒ x + y + z − 6 = 0

Volumen de un paralelep´ıpedo. Volumen de un tetraedro.

Ejemplo Hallar la ecuaci´on del plano que pasa por el punto P (1, 2, 3) siendo el tri´angulo formado por los puntos de corte de dicho plano con los ejes coordenados equil´atero. Hallar el volumen del tetraedro formado por dicho plano y los planos coordenados.

Vamos a hallar el tetraedro formado por los puntos O(0, 0, 0), A(6, 0, 0), B(0, 6, 0) y C(0, 0, 6) V (OABC) = 1

6  

det( −→

OA, −−→

OB, −→

OC)    1

6      

6 0 0 0 6 0 0 0 6

      = 6 ³

6 = 36

Andr´es D´ıaz (IES ALPAJ´ES) Matem´aticas II 26 de enero de 2015 28 / 38

Lugares geom´etricos.Plano mediador

Plano mediador

Dados dos puntos A, B ∈ R ³ Definimos el plano mediador como el lugar geom´etrico de los puntos del espacio tridimensional que equidistan de A y B.

π = 

P ∈ R ³ /d(P, A) = d(P, B)

Ejemplo Escribir la ecuaci´on que deben verificar los puntos X(x, y, z) que equidistan de los puntos A(0, 1, 0) y B(1, 0, 1)

d(X, A) = d(X, B) =⇒ p

x ² + (y − 1) ² + z ² = p

(x − 1) ² + y ² + (z − 1) ² x ² + ✓ y ✓ ² − 2y + 1 + z ² = x ² − 2x + 1 + ^✓ y ^{✓ 2} + z ² − 2z + 1

π ≡ 2x − 2y + 2z − 1 = 0

Lugares geom´etricos.Plano bisector

Plano bisector

Dados dos planos π ¹ , π ² llamamos plano bisector π al conjunto de puntos del espacio tridimensional que equidistan de π ¹ y π ²

π = 

P ∈ R ³ /d(P, π ¹ ) = d(P, π ² )

Ejemplo Hallar los puntos del espacio que equidistan π ¹ ≡ x + z − 2 = 0 y π ² ≡ x − y − 1 = 0 Sea P (x, y, z) ∈ R ³ tal que

d(P, π ¹ ) = d(P, π ² ) =⇒ |x + z − 2|

√ 1 ² + 1 ² = p |x − y − 1|

1 + (−1) ²

|x + z − 2|

✚ √ ✚ ✚

2 = |x − y − 1|

✚ √ ✚ ✚

2 Dos planos bisectores

π ≡ ^{✚ ✚} x + z − 2 = ^{✚ ✚} x − y − 1 =⇒ π ≡ y + z − 1 = 0 π ^′ ≡ x + z − 2 = −(x − y − 1) =⇒ π ^′ ≡ 2x − y + z − 3 = 0

1

Los planos bisectores dividen a los ´angulos diedros que forman los planos en dos ´angulos iguales.

2

Los planos bisectores π π ^′ son perpendiculares.

Andr´es D´ıaz (IES ALPAJ´ES) Matem´aticas II 26 de enero de 2015 30 / 38

Esfera. Superficie esf´erica

Esfera. Superficie esf´erica

Definimos una superficie esf´erica o esfera como el lugar geom´etrico de los puntos del espacio R ³ que equidistan de un punto fijo C. Al punto C se le llama centro de la esfera y a la distancia de

cualquier punto de la esfera al centro se le llama radio S = 

P ∈ R ³ / d(P, C) = r

Sea C(a, b, c) y r ∈ R el centro y el radio de la esfera repectivamente, por tanto la ecuaci´on de la esfera

(x − a) ² + (y − b) ² + (z − c) ² = r ² Desarrollando los cuadrados tambi´en podemos obtener

x ² + y ² + z ² + Dx + Ey + F z + G = 0 Siendo

D = −2a E = −2b F = −2c G = a ² + b ² + c ² − r ² Ejemplo Hallar la ecuaci´on de la esfera de radio 3 y centro C(−1, 0, 2)

(x + 1) ² + y ² + (z − 2) ² = 9

Esfera

Ejemplo Hallar el centro y radio de la esfera de ecuaci´on

x ² + y ² + z ² − 2x − 4y + 2z − 3 = 0

−2a = −2 =⇒ a = 1 − 2b = −4 =⇒ b = 2 − 2c = 2 =⇒ c = −1 C(1, 2, −1)

1 ² + 2 ² + (−1) ² − r ² = −3 =⇒ 1 + 4 + 1 − r ² = −3 =⇒ −r ² = −9 r = 3

S ≡ (x − 1) ² + (y − 2) ² + (z + 1) ² = 9

Andr´es D´ıaz (IES ALPAJ´ES) Matem´aticas II 26 de enero de 2015 32 / 38

Esfera. Superficie esf´erica

Hallar la ecuaci´on del plano tangente a la superficie esf´erica:

x ² + y ² + z ² − 2x − 4y + 2z − 3 = 0 En el punto P (3, 4, 0).

Ya hemos hallado el centro de la esfera C(1, 2, −1) y el radio r = 3

Esfera. Superficie esf´erica

Hallar la ecuaci´on del plano tangente a la superficie esf´erica:

x ² + y ² + z ² − 2x − 4y + 2z − 3 = 0 En el punto P (3, 4, 0).

Ya hemos hallado el centro de la esfera C(1, 2, −1) y el radio r = 3

Sea π el plano tangente a S en el punto P , por tanto el vector −→ CP es perpendicular al plano π por tanto ~n ^π = −→ CP = (2, 2, 1)

π ≡ 2x + 2y + z + D = 0 =⇒ 2 · 3 + 2 · 4 + D = 0 =⇒ D = −14 π ≡ 2z + 2y + z − 14 = 0

Andr´es D´ıaz (IES ALPAJ´ES) Matem´aticas II 26 de enero de 2015 33 / 38

Esfera. Superficie esf´erica

Sea la superficie esf´erica de ecuaci´on x ² + y ² + z ² − 6x − 6y − 8z + 9 = 0

1

Determinar su centro y su radio.

2

Hallar la ecuaci´on de la recta que contiene al di´ametro paralelo al eje OY .

3

Obtener el centro y el radio de la circunferencia que resulta al cortar dicha esfera con el plano z = 0.

4

Hallar la ecuaci´on del plano tangente a la esfera en su punto del eje OX

Esfera. Superficie esf´erica

Sea la superficie esf´erica de ecuaci´on x ² + y ² + z ² − 6x − 6y − 8z + 9 = 0

1

Determinar su centro y su radio.

2

Hallar la ecuaci´on de la recta que contiene al di´ametro paralelo al eje OY .

3

Obtener el centro y el radio de la circunferencia que resulta al cortar dicha esfera con el plano z = 0.

4

Hallar la ecuaci´on del plano tangente a la esfera en su punto del eje OX

−2a = −6 =⇒ a = 3 − 2b = −6 =⇒ b = 3 − 2c = −8 =⇒ c = 4 C(3, 3, 4) 3 ² + 3 ² + 4 ² − r ² = 9 =⇒ −r ² = 9 − 25 =⇒ r = 5

Eje OY ≡

 x = 0

z = 0 =⇒

 



x = 0 y = λ z = 0 La recta que contiene al di´ametro

r ≡

 



x = 3 y = 3 + λ z = 4

Andr´es D´ıaz (IES ALPAJ´ES) Matem´aticas II 26 de enero de 2015 34 / 38

Esfera. Superficie esf´erica

Sea la superficie esf´erica de ecuaci´on x ² + y ² + z ² − 6x − 6y − 8z + 9 = 0

1

Determinar su centro y su radio.

2

Hallar la ecuaci´on de la recta que contiene al di´ametro paralelo al eje OY .

3

Obtener el centro y el radio de la circunferencia que resulta al cortar dicha esfera con el plano z = 0.

4

Hallar la ecuaci´on del plano tangente a la esfera en su punto del eje OX

Esfera. Superficie esf´erica

Sea la superficie esf´erica de ecuaci´on x ² + y ² + z ² − 6x − 6y − 8z + 9 = 0

1

Determinar su centro y su radio.

2

Hallar la ecuaci´on de la recta que contiene al di´ametro paralelo al eje OY .

3

Obtener el centro y el radio de la circunferencia que resulta al cortar dicha esfera con el plano z = 0.

4

Hallar la ecuaci´on del plano tangente a la esfera en su punto del eje OX La intersecci´on de S con el plano z = 0

x ² + y ² − 6x − 6y + 9 = 0 − 2a = −6 =⇒ a = 3 − 2b = −6 =⇒ b = 3 3 ² + 3 ² − r ² = 9 =⇒ −r ² = 9 − 18 =⇒ r = 3

Circunferencia de centro (3, 3, 0) y radio 3 Para el ´ ultimo apartado debemos hallar el punto de intersecci´on de la esfera S con el eje OX para ello

Eje OX ≡

 y = 0

z = 0 s ≡ (x − 3) ² + (y − 3) ² + (z − 4) ² = 25 =⇒

(x − 3) ² + (−3) ² + (−4) ² = 25 =⇒ (x − 3) ² + ^{✓ ✓} 9 + ^✚✚ 16 = ^✚✚ 25 =⇒ x = 3 =⇒ P (3, 0, 0) Hallamos el vector normal del plano tangente ~n ^π = −→

P C = (0, 3, 4) Por tanto 3y + 4z + D = 0 =⇒ D = 0 =⇒ π ≡ 3y + 4z = 0

Andr´es D´ıaz (IES ALPAJ´ES) Matem´aticas II 26 de enero de 2015 35 / 38

Esfera. Superficie esf´erica

Hallar los puntos de corte de la recta de direcci´on (2, 1, 1) y que pasa por el punto P (4, 6, 2) con la superficie esf´erica de centro (1, 2, −1)de radio √

26

Esfera. Superficie esf´erica

Hallar los puntos de corte de la recta de direcci´on (2, 1, 1) y que pasa por el punto P (4, 6, 2) con la superficie esf´erica de centro (1, 2, −1)de radio √

26

S ≡ (x − 1) ² + (y − 2) ² + (z + 1) ² = 26 r ≡

 



x = 4 + 2λ y = 6 + λ z = 2 + λ

R(4 + 2λ, 6 + λ, 2 + λ) ∈ r

Sustituimos el punto R en S por tanto

(4 + 2λ − 1) ² + (6 + λ − 2) ² + (2 + λ + 1) ² = 26 9 + 12λ + 4λ ² + 16 + 8λ + λ ² + 9 + 6λ + λ ² = 26

6λ ² + 26λ + 34 − 26 = 0 =⇒ 6λ ² + 36λ + 8 = 0 =⇒ 3λ ² + 13λ + 4 = 0 λ = −13 ± √

13 ² − 4 · 3 · 4

6 = −13 ± 11

6 =⇒ λ = − 1

3 λ = −4 R ¹

 10 3 , 17

3 , 5 3



R ² (−4, 2, −2)

Andr´es D´ıaz (IES ALPAJ´ES) Matem´aticas II 26 de enero de 2015 36 / 38

Esfera. Superficie esf´erica

Dados los puntos P (1, 2, −1) y el plano π ≡ x + 2y − 2z + 2 = 0, sea S la esfera tangente al plano π en un punto P ^′ de modo que el segmento P P ^′ es uno de sus di´ametros.

1

Hallar el punto de tangencia P ^′

2

Hallar la ecuaci´on de S

Esfera. Superficie esf´erica

Dados los puntos P (1, 2, −1) y el plano π ≡ x + 2y − 2z + 2 = 0, sea S la esfera tangente al plano π en un punto P ^′ de modo que el segmento P P ^′ es uno de sus di´ametros.

1

Hallar el punto de tangencia P ^′

2

Hallar la ecuaci´on de S

Sea r la recta que pasa por el punto P y perpendicular a π por tanto

~

n ^π = ~ u ^r = (1, 2, −2) =⇒ r ≡

 



x = 1 + λ y = 2 + 2λ z = −1 − 2λ

P ^′ = π ∩ r =⇒ 1 + λ + 2(2 + 2λ) − 2(−1 − 2λ) + 2 = 0 1 + λ + 4 + 4λ + 2 + 4λ + 2 = 0 =⇒ 9 + 9λ = 0 =⇒ λ = −1

P ^′ = (0, 0, 1)

El centro de la circunferencia ser´a el punto medio del segmento P P ^′ por tanto C = (1, 2, −1) + (0, 0, 1)

2 =

 1 2 , 1, 0



El radio ser´a igual a la mitad de la distancia de P a P ^′ por tanto r = d(P, P ^′ )

2 =

√ 1 + 4 + 4

2 = 3

2 La ecuaci´on de la esfera

S ≡



x − 1 2

 ²

+ (y − 1) ² + z ² = 9 4

Andr´es D´ıaz (IES ALPAJ´ES) Matem´aticas II 26 de enero de 2015 37 / 38

Esfera. Superficie esf´erica

Dados los puntos P ¹ (1, −1, 2), P ² (2, −3, 0) y P ³ (3, 1, 2), se pide:

1

Determinar la ecuaci´on del plano π que contiene los tres puntos.

2

Determinar la ecuaci´on de la recta r que pasa por P ¹ y es perpendicular a π.

3

Hallar la ecuaci´on de las dos superficies esf´ericas de radio √

17 que son tangentes al plano π en el

punto P ¹ .

Esfera. Superficie esf´erica

Dados los puntos P ¹ (1, −1, 2), P ² (2, −3, 0) y P ³ (3, 1, 2), se pide:

1

Determinar la ecuaci´on del plano π que contiene los tres puntos.

2

Determinar la ecuaci´on de la recta r que pasa por P ¹ y es perpendicular a π.

3

Hallar la ecuaci´on de las dos superficies esf´ericas de radio √

17 que son tangentes al plano π en el punto P ¹ .

−−→ P ¹ P ² = (2, −3, 0) − (1, −1, 2) = (1, −2, −2) −−→

P ¹ P ³ = (3, 1, 2) − (1, −1, 2) = (2, 2, 0) π ≡

x − 1 y + 1 z − 2

1 −2 −2

1 1 0

      = 0 π ≡ 2x − 2y + 3z − 10 = 0

r ≡

 



x = 1 + 2λ y = −1 − 2λ z = 2 + 3λ Sea R = (1 + 2λ, −1 − 2λ, 2 + 3λ) tal que P ¹ R = √

17 por tanto

−−→ P ¹ R = (2λ, −2λ, 3λ) =⇒ p

4λ ² + 4λ ² + 9λ ² = √ 17

17λ ² = 17 =⇒ λ ² = 1 =⇒ λ = 1 λ = −1

C ¹ = (3, −3, 5) =⇒ (x − 3) ² + (y + 3) ² + (z − 5) ² = 17 C ² = (−1, 1, −1) =⇒ (x + 1) ² + (y − 1) ² + (z + 1) ² = 17

Andr´es D´ıaz (IES ALPAJ´ES) Matem´aticas II 26 de enero de 2015 38 / 38