Topolog´ıa inducida por una m´ etrica (repaso)

Topolog´ıa inducida por una distancia (repaso)

Objetivos. Repasar las propiedades principales de bolas abiertas en un espacio m´etrico y recordar c´omo se construye una topolog´ıa a partir de una m´etrica.

Requisitos. Operaciones con conjuntos y sus propiedades, espacios m´etricos.

Espacios m´ etricos (repaso)

1. Definici´on (distancia o m´etrica). Sea X un conjunto. Una funci´on d : X² → [0, +∞) se llama distancia o m´etrica sobre X si se cumplen las siguientes condiciones (axiomas de m´etrica):

1. Desigualdad del tri´angulo:

∀a, b, c ∈ X d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b).

2. Propiedad sim´etrica:

∀a, b ∈ X d(a, b) = d(b, a).

3. Para todo a ∈ X, d(a, a) = 0.

4. Para todo a, b ∈ X, si d(a, b) = 0, entonces a = b.

2. Observaci´on. A menudo en vez de las condiciones 3 y 4 se escribe una sola condici´on:

∀a, b ∈ X d(a, b) = 0 ⇐⇒ a = b.

3. Definici´on (espacio m´etrico). Un par ordenado (X, d) se llama espacio m´etrico si X es un conjunto y d : X² → [0, +∞) es una m´etrica sobre X.

4. Desigualdad inversa del tri´angulo. Sea (X, d) un espacio m´etrico y sean a, b, c ∈ X.

Entonces

d(a, c) − d(b, c)

≤ d(a, b).

5. Ejemplo: distancia can´onica en R. Denotemos por d : R² → [0, +∞) a la funci´on d(x, y) := |x − y|.

Demuestre que d es una m´etrica en R.

6. Distancia generada por una norma. Sea E un espacio vectorial y sea k · k una norma en E. Demuestre que la funci´on d(a, b) := ka − bk es una m´etrica en E.

7. Normas k · k1, k · k2y k · k∞en Rⁿ y las distancias correspondientes. Recuerde la definici´on de las normas k · k_p en Rⁿ. Los casos m´as importantes son p = 1, p = 2 y p = +∞. Escriba en forma expl´ıcita f´ormulas para las distancias d_p correspondientes.

Topolog´ıa inducida por una distancia (repaso), p´agina 1 de 4

Bolas en espacios m´ etricos y sus propiedades principales (repaso)

8. Definici´on (bola en un espacio m´etrico). Sea (X, d) un espacio m´etrico, sea a ∈ X y sea r > 0. Entonces el siguiente conjunto se llama bola abierta (o simplemente bola) con centro a y radio r:

B(a, r) := {x ∈ X : d(a, x) < r}.

De manera similar, por medio de la condici´on d(a, x) ≤ r, se definen bolas cerradas, pero nosotros vamos a repasar aqu´ı solamente propiedades de las bolas abiertas.

9. Proposici´on sobre una bola contenida en la otra. Sea (X, d) un espacio m´etrico, sean a, b ∈ X y sean R, r > 0 tales que d(a, b) + r ≤ R. Entonces

B(b, r) ⊂ B(a, R).

10. Proposici´on sobre dos bolas ajenas. Sea (X, d) un espacio m´etrico, sean a₁, a₂ ∈ X y sean r₁, r₂ > 0 tales que r₁+ r₂ ≤ d(a₁, a₂). Entonces

B(a1, r1) ∩ B(a2, r2) = ∅.

11. Proposici´on sobre dos bolas conc´entricas. Sea (X, d) un espacio m´etrico, sea a ∈ X y sean r₁, r₂ > 0. Entonces

B(a, r₁) ∩ B(a, r₂) = B(a, min{r₁, r₂}).

Topolog´ıa inducida por una distancia (repaso), p´agina 2 de 4

Topolog´ıa inducida por una m´ etrica (repaso)

12. Definici´on (puntos interiores de un conjunto respecto a una m´etrica). Sea (X, d) un espacio m´etrico y sea A un subconjunto de X. Un punto a ∈ A se llama punto interior de A con respecto a la m´etrica d si existe un n´umero r > 0 tal que B(a, r) ⊂ A.

13. Notaci´on (conjunto de los puntos interiores de un conjunto respecto a una m´etrica). Denotemos por int_d(A) al conjunto de los puntos interiores de A respecto a la m´etrica d:

intd(A) := x ∈ X : ∃r > 0 B(a, r) ⊂ A}.

Explique por qu´e int_d(A) ⊂ A.

14. Definici´on (conjunto abierto respecto a una m´etrica). Sea (X, d) un espacio m´etrico y sea A ⊂ X. Se dice que A es abierto con respecto a la m´etrica d si todo punto del conjunto A es su punto interior respecto a la m´etrica d.

15. Notaci´on (conjunto de los conjuntos abiertos respecto a una m´etrica).

Denotemos por τ_d al conjunto de todos los conjuntos abiertos respecto a la m´etrica d:

τ_d :=A ⊂ X : int_d(A) = A .

16. Teorema sobre la topolog´ıa generada por una m´etrica. Sea X un conjunto y sea d un m´etrica sobre X. Entonces el conjunto τdde todos los subconjuntos de X abiertos con respecto a la m´etrica d es una topolog´ıa sobre X. Esto significa que se cumplen las siguientes condiciones:

1. Si (A_i)_i∈J es una familia de conjuntos pertenecientes a τ_d, entonces [

i∈J

A_i ∈ τ_d. 2. Si A₁, A₂ ∈ τ_d, entonces A₁∩ A₂ ∈ τ_d.

3. X ∈ τd.

Esta topolog´ıa se llama topolog´ıa inducida (o generada) por la m´etrica d.

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Concordancia de los conceptos: puntos interiores, bolas abiertas

En cualquier espacio topol´ogico existen conceptos de puntos interiores y conjuntos abier- tos. Mostremos el concepto del punto interior de un conjunto respecto a una m´etrica coincide con el concepto del punto interior respecto a la topolog´ıa inducida. Adem´as mostremos que las “bolas abiertas” son conjuntos abiertos en la topolog´ıa inducida por la m´etrica.

17. Proposici´on (sobre los puntos interiores). Sea (X, d) un espacio m´etrico, sea Y ⊂ X y sea x ∈ Y . Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) x es un punto interior de Y respecto a la m´etrica d, es decir existe un radio r > 0 tal que B(x, r) ⊂ Y .

(b) x es un punto interior de Y respecto a la topolog´ıa τ_d, es decir existe un conjunto A ∈ τ_d tal que x ∈ A y A ⊂ Y .

18. Proposici´on (bolas abiertas son abiertas en la topolog´ıa inducida). Sean (X, d) un espacio m´etrico, a ∈ X y r > 0. Entonces la bola B(a, r) es un conjunto abierto respecto a la m´etrica d, es decir B(a, r) ∈ τ_d.

Topolog´ıa inducida por una distancia (repaso), p´agina 4 de 4