Con el objetivo de generalizar la integral de Riemann, en el presente trabajo de investigación se presenta un nuevo enfoque de integración, que es el método dado por Jaroslav Kurzweil y posteriormente ampliado por Ralph Henstock. Para abordar qué es la integral de Riemann, observamos algunas de sus deficiencias al mostrar funciones que no puede integrar. Se desarrolla, tras demostrar el importante lema de Cousins, qué es la integral de Henstock-Kurzweil.
También se señala que sólo se hará una "ligera" modificación de la integral de Riemann para definir la integral de Henstock-Kurzweil. En conclusión, se verá que el método de integración de Henstock-Kurzweil mejora al método de Riemann al generalizarlo; además de ser igual de práctico. Este trabajo de investigación tiene como objetivo llamar la atención sobre el hecho de que la integral de Henstock-Kurzweil constituye una poderosa herramienta de integración más allá de eso.
INTRODUCCIÓN
Luego, Henri Leon Lebesgue, matemático francés, ya no ubicó la partición en el dominio, sino en el rango de valores y realizó la construcción utilizando la teoría de la medida, definió la integral; que resulta ser mucho mejor que el de Riemann y lo generaliza. Pero sin embargo, este nuevo método de integración también tiene limitaciones, que se solucionan en cierta medida con la integral de Henstock-Kurzweil, que por conveniencia en ocasiones llamaremos HKintegral y el conjunto de funciones HKintegrables en [𝑎, 𝑏] como HK ([ 𝑎, 𝑏]), que no necesita teoría de medidas. En este caso, 𝛿 ya no es una constante, sino una función estrictamente positiva que depende del comportamiento de la función a integrar.
El tercer capítulo trata de la integral de Riemann, las definiciones y sus propiedades que consideramos esenciales para el trabajo. En el último capítulo se desarrolla la integral de Henstock-Kurzweil y se demuestra el importante lema de Cousin. Finalmente, tocamos cuál es el Teorema Fundamental del Cálculo para la integración de Henstock-Kurzweil.
Planteamiento del problema
- Caracterización del problema
- Formulación del problema
- Problemas Específicos
- Objetivo
- Objetivo general
- Objetivos específicos
- Justificación de la investigación
5 En la partición del dominio de la función a integrar, Riemann utiliza a 𝛿 > 0; en cambio, Henstock y Kurzweil usan una función estrictamente positiva, 𝛿(t) > 0, donde t es una etiqueta y 𝛿 también depende de Ɛ de la definición de la integral de Riemann. Será posible generalizar la integral de Riemann utilizando el método de integración de Henstock-Kurzweil. Será posible explicar que el método de integración de Henstock-Kurzweil es más general y práctico que el método de integración de Riemann.
Será posible demostrar que una función que es integrable con el método de Henstock-Kurzweil no lo es con el método de Riemann. Explique que el método de integración de Henstock-Kurzweil es más general y práctico que el método de integración de Riemann. La motivación del tema de este trabajo es la observación de las limitaciones que tiene la integral de Riemann para integrar determinadas funciones y la importancia, dentro de las matemáticas, de encontrar nuevas formas de integración que, en la medida de lo posible, sean fáciles de manejar pero lo más robustas. como la integral de Lebesgue, o incluso mejor.
Marco teórico
Antecedentes de la investigación
Lebesgue y, en 1960, Kurzweil y Henstock, utilizando las ideas de Denjoy y Perrón, formularon un nuevo método de integración basado en la integración de Riemann, que se conoce como integral de Riemann generalizada o integral de Henstock-Kurzweil. La tesis demuestra que hacer un pequeño cambio en la integral de Riemann produce mejores resultados. Su propósito es demostrar que la integral de Henstock-Kurzweil tiene mejores ventajas que la integral de Riemann.
Asimismo, también muestra que cambiar una constante para una función en la integral de Riemann conduce a mejores resultados. Trabajo de investigación donde se da un criterio de integrabilidad comparando funciones integrables según Riemann, Lebesgue y Henstock-Kurzweil. Concluye que entre la integral de Riemann impropia y la integral de Lebesgue, ninguna es más general que la otra.
Metodología
Tipo de investigación
Esto es deseable en cualquier teoría de la integración, porque es tan poderosa como la de Lebesgue, pero no tan compleja.
Nivel de investigación
Generalidades
- Conjuntos finitos e infinitos
- Conjunto numerable
- Propiedad arquimediana
- Cuerpo
- Cuerpo ordenado
- Conjunto acotado
- Supremo
- Ínfimo
- Conjunto compacto
- Conjunto denso
- Función monótona
- Función acotada
- Conjunto medible
- Medida exterior de Lebesgue
- Conjunto de medida nula
- Cuando una función es continua en todo su dominio excepto en algunos puntos contables, se dice que la función es continua casi-siempre (c.c.s)
- Función de medida nula
- Convergencia puntual de funciones
- Convergencia uniforme de funciones
- Límite y continuidad de funciones
- Derivada de funciones reales
- Diferenciabilidad
- Espacio Métrico
- Funciones uniformemente continuas
- Función escalonada
- Función característica o indicador
- Conjunto de Cantor
- El conjunto de los números racionales es numerable
Un campo (K,+, .) es un campo ordenado si se define una relación ≤ sobre K que satisface los siguientes axiomas: reflexivo, antisimétrico, transitivo, orden total, compatibilidad de orden con suma, compatibilidad de orden con producto por no- elementos negativos. Si sumamos el axioma supremo, entonces 16 axiomas forman (ℝ,+, . , ≤) un campo conmutativo completamente ordenado. Nota: ℝ es un campo conmutativo completamente ordenado, lo que confirma el axioma supremo, como señalamos anteriormente.
Se dice que 𝐵 está acotado hacia arriba si existe un elemento 𝑥0 ∈𝑀 tal que ∀𝑎 ∈𝐵, 𝑎 ≤ 𝑥0 y 𝑥0 es una cota superior del conjunto 𝐵. b). Se dice que 𝐵 es una cota inferior si existe un elemento 𝑥0 ∈ 𝑀 tal que ∀𝑎 ∈𝐵 , 𝑥0 ≤ 𝑎 y 𝑥0 es una cota inferior del conjunto 𝐵. Definición 2.6. Diremos que 𝐵 es acotado si está acotado por arriba y por abajo. Se dice que un elemento 𝑥0 es supremo de 𝑥0, denotado por 𝑥0 = 𝑠𝑢𝑝𝐵, si 𝑥0 es el límite superior mínimo.
Se dice que un elemento 𝑥0 es el elemento más pequeño de 𝐵, denotado por 𝑥0 = 𝑖𝑛𝑓𝐵, si 𝑥0 es el mayor de los límites inferiores. Los conjuntos medibles son los elementos de 𝐴; es decir, los conjuntos de la familia los llamamos "A" y es un 𝜎 − á𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎. Se dice que un subconjunto A de ℝ tiene medida cero si para cada Ɛ > 0 existe una cobertura de A formada por una colección contable de intervalos abiertos cuya suma de medidas es menor que Ɛ.
Todo conjunto contable es un conjunto de medida cero; pero existen innumerables conjuntos de medidas cero; por ejemplo, la secuencia de Cantor. Si una función es continua en todo su dominio, excepto en algunos puntos numerados, se dice que la función es casi siempre continua (c.c.s). En este caso, decimos que 𝑑 es una métrica de X. También decimos que 𝑑 es una función de distancia.
Sea A⊂ ℝ un subconjunto no vacío y 𝑓 : A⊂ ℝ →ℝ sea una función real definida en A . Una función 𝑓 : [a, b] →ℝ definida en un intervalo compacto [a, b], se llama función escalonada si existe una partición p.
Integral de Riemann y el criterio de Darboux
- Integral de Newton
- Integral de Cauchy
- Particiones
- Etiquetas
- Criterio de Darboux
- Función de Dirichlet
Esta fórmula se llama fórmula de Newton-Leibniz, y el problema de recuperar la función original de una función derivada se llama "problema primitivo". Observa que la función 𝐹 no es la única primitiva, sino que 𝐹+c también es una primitiva, siendo "c" una constante. Sea 𝑓: [𝑎, 𝑏] →ℝ una función continua, la integral de 𝑓 se define como. 𝑥𝑘− 𝑥𝑘−1) se llama integral de Cauchy.
Para la integración de Riemann y Henstock-Kurzweil, primero necesitamos dividir el intervalo [𝑎, 𝑏] en subintervalos, llamados subintervalos de la partición de [𝑎, 𝑏]. Esto significa que la longitud de cada subintervalo de la partición etiquetada es siempre menor o igual a la longitud de (𝑡𝑖- 𝛿, 𝑡𝑖+ 𝛿. Una función ilimitada no es integrable de Riemann. i) El mínimo de 𝑓 en 𝑖 - el El intervalo de P se define como 𝑚𝑖=ínf 𝑓(𝑥) . 𝑥𝜖𝐼𝑖 . . ii) El supremo de 𝑓 en el intervalo 𝑖-ésimo de P se define como.
A veces es más práctico considerar las llamadas sumas de Darboux para evaluar si una función dada es integrable con Riemann o no. Sea A el conjunto de valores s(𝑓, P) para 𝑘 particiones cada vez más finas de P y sea B el conjunto de valores de S(𝑓, P) para las mismas particiones de P. Geométricamente, decimos que cuando 𝑓( 𝑥) ≥ 0 para todo 𝑥 ϵ [ 𝑎, 𝑏], la existencia de ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 implica que el área bajo la curva 𝑓 es mensurable; es decir, existe el área de esta región.
Y si la función 𝑓 es continua en todo su dominio, excepto algunos puntos (puntos de interrupción) cuya medida para el conjunto de estos puntos es cero, entonces la función sigue siendo integrable. En el caso general, tenemos el área exterior ⨛𝑓(𝑥)𝑥 y el área interior ⨜𝑓(𝑥)𝑑𝑥 que pueden ser diferentes. Supongamos que P es algún número de particiones de [𝑎, 𝑏]; entonces, para cada división hay un valor de s(𝑓, P) y otro de S(𝑓, P), respectivamente la suma inferior y superior.
Sea A el conjunto de valores de s(𝑓, P) producidos para cada partición, y B el de las sumas superiores S(f, P). Como 𝑓 no está acotado en [𝑎, 𝑏], entonces existe algún intervalo [𝑥𝑘−1, 𝑥𝑘] perteneciente a P tal que en él. Dado que │ 𝑥𝑘− 𝑥𝑘−1│ es el tamaño del intervalo donde 𝑓 no está acotado, entonces 𝑓(𝑡𝑘). 𝑥𝑘− 𝑥𝑘−1) I puede ser muy grande, así que elegimos para 𝑘 una etiqueta 𝑡𝑘 tal que:. 𝑒 𝑥 ∈ 𝕀 , se llama función de Dirichlet.
Integral de Henstock-Kurzweil
- Particiones etiquetadas
- La integral de Henstock-Kurzweil
- Función Gauge
- Unicidad de la integral de Henstock-Kurzweil
- El Teorema Fundamental del Cálculo
Para la definición de la integral de Henstock-Kurzweil, en lugar de que 𝛿 sea una constante, ahora será una función que a veces denotaremos por Ꝭ. Se dice que la función 𝛿 es estrictamente positiva, pero no se dice nada sobre su continuidad. También se puede considerar la función Ꝭ(𝑥) = cos 𝑥, que es una métrica en el intervalo [o, 𝜋/4], porque es estrictamente positiva en ese intervalo.
Ahora, si conectas las particiones etiquetadas y las llamas P = P1 ∪ P2, entonces la longitud de cada subintervalo es aún menor que el valor de Ꝭ en la etiqueta correspondiente, por lo que P es Ꝭ-fin. El siguiente lema es muy importante para lo que se desarrollará en este capítulo. 37 El núcleo o esencia de lo que nos dice el lema de Cousins, que corresponde al axioma superior y a la propiedad de Arquímedes, es que toma un subintervalo apropiado, o la partición completa de la definición de Riemann, y lo divide nuevamente para obtener un subintervalo , o subintervalos cuyo tamaño es menor que un número muy pequeño, que podemos llamar Ɛ; es decir, un subintervalo de longitud prácticamente nula.
Estos subintervalos, de longitud cero, se colocan como la vecindad de un punto donde la función 𝑓 a integrar no es continua ni acotada; es decir, en aquellos puntos donde la integral de Riemann tiene problemas o impedimentos para integrarse. Como la base del rectángulo que hemos formado, que tiene altura, el valor de la función en “a”, 𝑓(a), longitud (medida) es cero, entonces el producto altura y base vale cero; Aquí hay que tener en cuenta las otras sutilezas. En lugar de establecer la longitud de cada subintervalo [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] menor que una constante 𝛿 como en la definición de la integral de Riemann, usaremos una función de medida Ꝭ para comparar las longitudes.
Probamos que toda función integrable de Riemman es integrable mediante la integral de Henstock-Kurzweil. Sea 𝜏 el conjunto de todos los índices 𝑖 tales que hay etiquetas 𝑡𝑖∈A entre las que elegimos 𝑛𝑖 tal que 𝑡𝑖= 𝑎𝑛𝑖. Por otro lado, sea σ el conjunto de índices 𝑗 tales que 𝑡𝑗 ∉ A; pero se sabe que si tomamos la notación mencionada, entonces 𝑓 (𝑡𝑗) = 0, entonces,.
Lo que implica que las etiquetas que no están en A no contribuyen a 𝓢 (𝑓,P); por eso. Aquí hemos demostrado que la afirmación inversa es falsa al dar un ejemplo de una función que es integrable en HK, pero no integrable en Riemann. También es por esta razón que la gran mayoría de los estudiosos prefieren la integral de Lebesgue.
Conclusiones
Sugerencias
