La medida de Haar constituye un área importante de la Teoría de la Medida ya que es una generalización útil de la Teoría de la Integración de Lebesgue sobre el grupo Rn. Pero enfatizando los espacios topológicos localmente compactos, afirma el Teorema de Representación de Riesz, lo que nos permite combinar la Teoría de la Integración con el estudio de funcionales lineales en el espacio de funciones medibles.
Nociones B´ asicas de la Teor´ıa de Conjuntos
- Conjuntos
- Operaciones con Conjuntos
- Relaciones de Equivalencia
- Funciones
- Cardinalidad
- Conjuntos Finitos e Infinitos
Sea A un conjunto no vacío y sea R una relación binaria en A. iv) Res es una relación de equivalencia en ASi es reflexiva, simétrica y transitiva. Es decir, la propiedad de que A ≡ B sea equipotente es una relación de equivalencia en la clase de todos los conjuntos.
Topolog´ıa
Espacios Topol´ ogicos
Una familiaB⊆τ es una base para la topología de X para la función inf.
Espacios Compactos
Para cualquier a, b∈R con a < b, el intervalo [a, b] de R es compacto; pero R no lo es porque no está acotado. Sea {Wi} una cubierta abierta de f(A), ya que f es continua, {f−1(Wi)} es una cubierta abierta de A, y podemos extraer una subcubierta finita de A, que bajo f es una cubierta finita subcapa de f (A).
Espacios Localmente Compactos
Por tanto, un subconjunto A del espacio topológico A es localmente compacto.
Grupos Topol´ ogicos
Un grupo localmente compacto es un grupo topológico que es un espacio localmente compacto. Un grupo de Hausdorff es un grupo topológico que es un espacio de Hausdorff, al igual que los otros conceptos.
Ejemplos de Grupos Topol´ ogicos
Según el teorema de Ulam, si la función de longitud fuera una medida sobre R, entonces. Como hemos visto, la función `ong no es una medida en J, pero podemos extenderla a una función de conjuntos, es decir La forma moderna de hacerlo es mediante una extensión de la función 'ong.
Sim(E) =∞, procedemos como en el caso de la función de longitud, aprovechando el hecho de que la medida de Lebesgue es σ–finita. Esta función preserva uniones, intersecciones y complementos, razón por la cual si N es un álgebra σ–'sobre Y, también lo es la familia. Una función de suma importancia en la teoría de la integración, y de la que nos ocuparemos más adelante, es la función característica.
Si f : M → R es una función suave con soporte compacto, entonces la integral de f se define como:.
Medida y Medida Exterior
Es fácil concluir que cada medición preliminar y cada medición es monótona y que una medición es también una medición preliminar. Un espacio de medida es triple (X,A, µ), donde X es un conjunto, A es un álgebra σ–´en
Sea µ∗ una medida externa del conjunto no vacío X, se dice que un conjunto A⊆ X es µ∗–medible si. Si µ∗ es una medida externa en el conjunto no vacío X, entonces la familia:. es un álgebra σ–´en X y µ∗|M es una medida completa en Por lo tanto, µ∗ es contablemente aditiva en M, entonces µ∗|M es una medida en X. Finalmente, sólo necesitamos demostrar que µ∗| M es una medida entera.
Además, si µ0 es σ-finito, entonces µ es una extensión única de µ0 para medir con el dominio N.
La Medida de Lebesgue en R
Todo lo anterior nos permite resumir nuestra construcción de la medida de Lebesgue en un diagrama. Entonces f es integrable en E si y sólo si |f| es integrable en E. Tomemos ahora el caso en el que ]→R. En este caso, la integral de Lebesgue es una extensión de la integral de Riemann, en el siguiente sentido: Lamentablemente, para calcular la integral de una función sobre un grupo topológico no podemos seguir con el mismo procedimiento, de calcular
Si hacemos la analogía con la integral de Riemann, la función φ juega el papel de partición (como habíamos mencionado antes), el número Iφ(f) juega el papel de suma de Riemann superior. En este caso, cualquier función f :G→R es ν-medible y su integral de Haar con respecto a ν resulta. En este caso, la integral de Haar es independiente de la elección de la base ortonormal.
Entonces µ define una medida de Borel que es regular debido a la propiedad de la integral de Lebesgue.
Medida e Integral de Haar 85
Integraci´ on de Funciones
Para definir la integral de una función de la manera más general posible, debemos seguir un camino constructivo partiendo de la definición de la integral de funciones simples. Entonces φ se puede escribir en la forma Si E ∈A definimos la integral de Lebesgue de φ con respecto a μ sobre E como:. Obviamente, la definición de integral no depende de la representación de funciones simples.
Teniendo en cuenta el teorema de aproximación de funciones simples 3.1.17, podemos definir la integral para un caso más general de funciones, funciones positivas. Con la notación de la definición anterior. donde se considera el supremo sobre todas las funciones medibles simples φ tales que 0≤φ≤f. donde f+ y f− son las partes positiva y negativa de f respectivamente y ambas son medibles, podemos extender la definición de la integral de Lebesgue a una clase más general de funciones. i) Si al menos una de las integrales Z.f−dµ es finita, la integral de f en E con respecto a la medida µ se define como:. f−dµ son finitas, decimos que f es sumable o integrable de Lebesgue en E y la integral de f en E con respecto a la medida µ se define como:. f dµ “no está definida” si ambas integrales son Z. Sin embargo, existe una definición alternativa y es:. i) Decimos que f es integrable si al menos una de las integrales Z. f−dµ es finita, en cuyo caso la integral de f en E con respecto a la medida µ se define como:. f−dµ son finitas, decimos que f es sumable en E y la integral de f en E con respecto a la medida µ se define como:. f d µ “no está definida” si ambas integrales son Z. Naturalmente, este caso aditivo implica integrabilidad.
En la época de Lebesgue, hablar de funciones integrables era referirse a la integral de Riemann; Por esta razón, Lebesgue utiliza el término funciones sumables para distinguir.
Medidas Producto
Decimos que una propiedad P de los puntos de X se cumple para casi todos los x ∈ X o casi en todas partes, C.T.P.
Medidas en Espacios Localmente Compactos
- El Teorema de Representaci´ on de Riesz
Recuerde que en el espacio topológico se cumplen las siguientes condiciones: iii) para todo abierto se cumple U ⊆X. Usaremos el término medida de Borel regular para denotar una medida de Borel que es regular.
Entonces todo subconjunto abierto de X es Fσ, además, es una unión contable de conjuntos compactos. Sea U ⊆X abierto, según la Proposición 3.2.5 U es una unión contable de conjuntos compactos {Kn}, como la familia de conjuntos n. No es difícil demostrar que µ∗ es una medida exterior y, según el teorema 2.2.11 de Caratheodory, la restricción de µ∗ a conjuntos de Borel es una medida de µ.
Unicidad Supongamos que ν es otra medida regular de Borel en X tal que se cumple para f ∈K(X).
Medida e Integral de Haar
Upéicha avei, ja e f ha eha uniformemente continuo derecha gotyo opaite ε > 0 rehe oíramo petet barrio V e rehegua upéicha opaite x rehe, y ∈G xy−1 ∈V reheve osatisface |f(x)−f( y )|< ε. Tojekuaa G ha eha petet grupo localmente compacto ha f ∈K(G), upéicharamo f ha e uniformemente continuo mokôive izquierda ha derechape. Análogomente, ja e μ ha eha invariante oike μ(Ex) =μ(E) ramo opaite x∈G ha E ∈BG-pe guará.
Por ejemplo, el teorema 2.4.7 establece que la medida de Lebesgue enRes es invariante tanto hacia la izquierda como hacia la derecha. Una medida de Haar izquierda o derecha en G es una medida de Borel regular distinta de cero que es invariante hacia la izquierda y hacia la derecha, respectivamente. Y finalmente, según el teorema de representación 3.2.9 de Riesz, existe una medida regular de Borel µ en G tal que I(f) =R.
Por lo tanto, µ se deja invariante y por lo tanto µ es una medida de Haar izquierda.
Ejemplos de Medidas de Haar
- Integraci´ on en Grupos de Lie
Ejemplo 3.4.6 (Asimetría de las medidas de Haar izquierda y derecha) Consideremos el grupo topológico dado en el ejemplo 1.4.5 de matrices A 2×2 de la forma. La construcción del criterio de Haar es independiente de cualquier estructura diferencial, debido a que en los grupos topológicos este concepto no existe en primer plano. En general, la integral 3.5 depende de la elección de la letra, pero si M es orientable, se puede confirmar (ver pág.
Se puede demostrar que la integral así definida es independiente de la elección de la partición de la unidad tomada. Tenga en cuenta que, según la ecuación (3.6), cualquier otra forma n en G siempre se puede escribir como aω. Los resultados más importantes de la Teoría de la Integración en Grupos Topológicos son el descubrimiento de Haar de la existencia de una medida regular que es invariante bajo traducción y el resultado de Neumann que garantiza la unicidad de esa medida.
El descubrimiento de la integral de Haar nos permite estudiar los conjuntos mensurables en grupos topológicos.
