En este trabajo de investigación se presentan trayectorias federales que conducen a un conjunto de soluciones óptimas del problema de programación lineal. Los algoritmos iterativos para optimización no lineal generalmente se caracterizan por asignar un punto 𝑥 ∈ 𝑆 ⊂ 𝑅𝑛 (generalmente convexo) a un “siguiente punto” 𝑥′= 𝑓(𝑥)𝜖 𝑆. Si el algoritmo produce un punto 𝑥´ "cercano a" 𝑥, entonces la trayectoria puede ser una buena aproximación de la secuencia generada por el algoritmo.
Esto será cierto al menos durante las últimas etapas de ejecución si la secuencia converge a un punto de solución. Si, en cambio, el algoritmo toma pasos "largos" en las primeras etapas, entonces la ruta puede ser una mala aproximación. En este trabajo de investigación pretendemos estudiar los caminos o curvas de solución que surgen de la idea de relacionar el algoritmo iterativo con la programación lineal.
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
- Descripción de la realidad problemática
- Formulación del problema
- Problema General
- Problema Específico
- Objetivos
- Objetivo General
- Objetivo Específico
- Justificación
¿Cómo se pueden describir las rutas de solución de un problema de programación lineal? En este sentido, el desarrollo y ampliación de todo tipo de nuevos conocimientos en el campo de la Programación Lineal repercutirá en la mejora de las técnicas de aplicación en los distintos ámbitos mencionados anteriormente. Este trabajo de investigación tiene como objetivo contribuir y explorar nuevas ideas para obtener nuevas técnicas y/o métodos de solución.
El trabajo de investigación se limita a la teoría de los métodos de puntos interiores, es decir, la limitación teórica de nuestra investigación está dentro de los límites de aplicación de los métodos de puntos interiores aplicados a la Programación Lineal, funciones de restricción y funciones convexas diferenciables. El tipo de investigación es básica, también llamada investigación pura, teórica o dogmática, por ello no está sujeta al factor tiempo, menos puede intervenir como variable durante la investigación. El tipo de investigación es básica, también llamada investigación pura, teórica o dogmática, por ello no está sujeta al factor de espacio o lugar, menos puede intervenir como variable durante la investigación.
EL MARCO TEORICO
Antecedentes
- Internacionales
- Nacionales
Marco .1 Teórico
- Conceptual
En el cual todas las funciones involucradas son funciones convexas y la clave para resolver dicho problema es la aplicación de las condiciones conocidas o teorema de Karush-Khun-Tucker (Gill). Este resultado asocia un programa convexo con un sistema de ecuaciones y desigualdades algebraicas que a menudo se puede usar para desarrollar procedimientos efectivos para calcular mínimos, y también se puede usar para obtener información adicional sobre la sensibilidad del valor mínimo del programa convexo para cambios en Las restricciones. La función de barrera logarítmica, comúnmente utilizada en optimización con restricciones no lineales, se puede aplicar al problema de Programación Lineal Estándar, lo que da lugar al siguiente problema.
A partir de estos problemas y aplicando las condiciones de Karush-Khunn-Tucker, se pretende obtener un sistema de ecuaciones no lineales que permita caracterizar trayectorias de solución. Debe entenderse que las trayectorias de solución son esenciales para el diseño y análisis de algoritmos de optimización, y la descripción de trayectorias para problemas de Programación Lineal en forma estándar nos permitirá crear e imaginar nuevas formas de soluciones. Esperamos encontrar las condiciones necesarias para caracterizar las trayectorias de solución a través del sistema no lineal que surge cuando se aplican las condiciones de Karush-Khunn-Tucker.
Definición de términos básicos
Frish [7])
Método de Barrera (Gill [3])
Fiacco [6])
Programación Convexa: Teorema de Karush – Kuhn-Tucker
Si (P) es un programa convexo y P(z) es la perturbación de (P) para 𝑧 ∈ ℝ𝑚, entonces la función 𝑀𝑃(𝑧) es convexa y su dominio es un subconjunto convexo de ℝ𝑚. Se derivan del Lema 6. ii) Si 𝑀𝑃(𝑧0) es finito en el interior del dominio de 𝑀𝑃(𝑧), entonces 𝑀𝑃(𝑧) es finito en todo su dominio. Entonces ⋋ se llama vector sensible para (P) y el teorema (7) simplemente garantiza que los programas convexos superconsistentes siempre tienen vectores sensibles.
Si (P) es un programa convexo superconsistente tal que 𝑀𝑃 es finito, el Teorema 7 implica que existe un vector sensible ⋋ para (P) y se satisface la tesis del Teorema 8. Tenga en cuenta que si (P) es un programa convexo superconsistente tal que 𝑀𝑃 es finito, entonces el vector sensible ⋋ y existe.
Karush – Kuhn – Tucker en Forma de punto silla)
Esto muestra que si (𝑥∗,⋋∗) es un punto silla del Langrangeano de un programa convexo (P); entonces:. 1) 𝑀𝑃 es finito y 𝑥∗ es solución de (P) (2) Las condiciones de complementariedad.
HIPOTESIS Y VARIABLES
- Hipótesis
- Hipótesis general
- Hipótesis específica
- Definición conceptual de las variables
- OPERACIONALIZACIÓN DE LAS VARIABLES
Y el sistema de ecuaciones no lineal que define el camino de solución, entonces el conjunto de soluciones de dicho sistema no lineal proporciona las propiedades de los caminos de solución.
DISEÑO METODOLÓGICO
- Tipo y diseño de la investigación
- Método de Investigación
- Población y muestra
- Técnicas e instrumentos de Recolección de la Información
- Análisis y procesamiento de datos
- Aspecto Etico de Investigación
Ambientes de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas de la UNAC, precisando que gran parte del trabajo se realizará en casa debido a la situación sanitaria que atraviesa el país. Debido a la naturaleza de la investigación, no utilizamos ninguna técnica de recopilación de datos como observación, experimentación o encuesta. Porque es un trabajo claramente “matemático” (Teórico - abstracto); No se requieren procedimientos especiales para la recopilación de información.
Lo que se realiza es una búsqueda y revisión bibliográfica: (libros especiales, páginas web, artículos, revistas especializadas, etc.), también mediante el uso de técnicas de análisis - síntesis, inductivo-deductivo, nos irán conduciendo paulatinamente a la solución de el problema planteado. El análisis de la información sobre el problema de programación lineal determinará la necesidad de obtener información para su respectivo análisis y su incorporación al estudio para la solución del problema de barrera mediante la aplicación de la función de barrera adecuada. De acuerdo con el Código de Ética en Investigación de la UNAC, esta investigación ha cumplido con la normativa universitaria.
Esto significa que los datos o resultados no han sido total o parcialmente falsificados o inventados, ni han sido plagiados los datos, resultados, tablas, tablas de otros autores o investigadores.
Trayectorias que conduce al Conjunto Optimal en Programación Lineal
Introducción
Definiciones Previas
- Las Condiciones de Karush Khunn Tucker (KKT
Método de Barrera
Las funciones de barrera se definen de la siguiente manera
43 Los mínimos cuadrados es una técnica de análisis numérico adaptada dentro de la optimización matemática en la que, dado un conjunto de pares ordenados: variables independientes, variables dependientes y una familia de funciones, se intenta encontrar la función de continua, dentro de la mencionada familia, cual es el mejor. cerca de los datos (un mejor ajuste). Por lo tanto, dado que el dominio es poligonal, el radio de la función ∅(𝑥) está acotado por debajo. Observa que en lugar de (𝑃𝑢) podemos trabajar con un problema de la forma.
Si 𝐿(𝑡) no está acotado, habrá un radio con un “límite inferior” a medida que se aleja del límite, a lo largo de una de las variables que tiende al infinito, mientras que el otro radio acotado está lejos de cero. Para simplificar la notación, podemos escribir (𝑥, 𝑦) para el vector columna obtenido al caracterizar dos vectores columna 𝑥 y 𝑦. Supongamos que tiene un algoritmo para optimización ilimitada y comienza dentro de la región factible y repite la búsqueda en línea recta desde el punto actual.
La barrera "impide" que los puntos replicados se acerquen al límite, lo que significa que permanecen dentro de la región factible. El método de la función de barrera logarítmica con pesos uniformes se denota mediante las ecuaciones. En busca de una forma natural, función de barrera o penalización, consideremos el siguiente problema de manera general.
Ya que estamos interesados en funciones 𝑓(𝜉) donde la solución óptima del problema dual aproximado da los multiplicadores de Lagrange que caracterizan la solución óptima de la aproximación prima, y viceversa. Además, llegamos a la única condición de barrera o restricción de penalización que es primal-dual de tal manera que 𝑓(𝜉) = 𝐾𝐿𝑛((𝜉)), donde 𝑘 es constante. Lo obtenido es la parte del camino de acceso correspondiente al problema de minimización, mientras que el intervalo de 𝜋.
Confirmamos que los caminos de solución convergen a los puntos en el interior relativo de las caras óptimas de los problemas primario y dual. De ello se deduce que, siempre que se pueda continuar el camino, se puede extender mediante la disposición del hiperplano de modo que en cada celda se mueva (monótonamente en términos de 𝐶𝑇𝑥) desde un mínimo de celdas hasta un máximo de celdas, ya que también tiene una mínimo es. de una celda adyacente, y así sucesivamente. Aquí el gradiente es el mismo vector 𝑥´ de medias geométricas y es la proyección ortogonal de 𝐷𝑣1/2𝐷𝑥1/2𝑒 en el espacio nulo de la matriz 𝐴𝐷𝑣−1/2𝐷𝑥1/2.
Propiedades diferenciales de las trayectorias solución
Cuando “𝑎” es un vector, denotamos por: ∆(𝑎) = 𝐷𝑎 la matriz diagonal cuyos elementos diagonales son los componentes de “𝑎”. Se puede demostrar que para cualquier valor de 𝐾, el valor de la derivada 𝑘-ésima 𝑧(𝑘) se puede obtener resolviendo un sistema lineal, donde la matriz de coeficientes es la misma matriz 𝑄, y el vector de la derecha -el lado derecho es un polinomio en términos de 1. Es útil en esta sección considerar el problema de programación en forma estándar, es decir
Suponiendo que el primal y el dual tienen regiones factibles de dimensión completa, entonces la trayectoria se define siempre que la solución factible interior del problema primal y dual esté bien definida, es decir, tenemos el par inicial 𝑥0, 𝑦0 tal que, se satisface 𝑥0 ∈ ℝ𝑛 tal que 𝐴𝑥0 = 𝑏 y 𝑥0 > 0 y sea 𝑦0 ∈ ℝ𝑚 tal que 𝐴𝑡𝑦0 ≥ 𝑐. 81 Está claro que, para cualquier punto de la trayectoria, si partimos de acuerdo con esta definición, nada cambia mientras el producto de las variables complementarias permanezca en la misma proporción. Entonces, suponiendo que 𝐵−1𝑏 > 0, entonces esta es la solución óptima primaria y es única y 𝐵− .
En otras palabras, si comenzamos lo suficientemente cerca de una solución óptima, entonces la trayectoria nos lleva aproximadamente en línea recta hasta la solución óptima. Es decir, esta es la diferencia con respecto a los algoritmos de reescalado lineal, donde todas las rutas tienden a una única dirección de aproximación a la solución óptima [16]. Bajo la condición de que los límites de 𝑥 = 𝑥(𝜇) 𝑦 = 𝑦(𝜇) existen cuando 𝜇 tiende a cero, y lo denotamos por 𝑥̅ y 𝑦̅.
𝑥´ de las medias geométricas es la proyección ortogonal de 𝐷𝑣1/2𝐷𝑥1/2𝑒 sobre el espacio nulo de la matriz 𝐴𝐷𝑣−1/2𝐷𝑥1/2.
DISCUSIÓN DE RESULTADOS
- Contrastación de la Hipótesis
- Responsabilidad Ética
CONCLUSIONES
RECOMENDACIONES
Murty (1985), A new interior variant of the gradient projection method for linear programming, Technical Paper 85-18, Department of Industrial and Operations Engineering, University of Michigan, Ann Arbor.
ANEXOS
