Problemas de
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS
Ingeniería Industrial. Curso 2003-2004.
Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla.
Tema 11: Series.
Problema 11.1 Halle la representación en serie de McLaurin de las siguientes funciones:
1. z2cosh(z2).
2. z−1(ez −1).
3. z(z4+ 9)−1. 4. Log(1 +z2).
Problema 11.2 Usando la representación en serie de McLaurin def(z) = sen(z2),pruebe que f4n)(0) =f2n+1)(0) = 0, n= 0,1,2, ...
Problema 11.3 Desarrolle 1
1−z en serie de Taylor centrada enz =i.
Problema 11.4 Derivando el desarrollo en serie de McLaurin de 1
1−z, obtenga el desarrollo de McLaurin de la función 2
(1−z)3.
Problema 11.5 Integrando la función 1
1 +z2,obtenga la serie de McLaurin de la rama principal de la funciónarctanz.
Problema 11.6 Desarrolle las funciones f(z) = cosz
z2 , g(z) = 1
z2(z−1), h(z) =e1/z2 en serie de Laurent alrededor del origen.
Problema 11.7 Desarrolle en serie de Laurent las siguientes funciones en los dominios que se indi- can
1. 1
en0<|z|<1y|z|>1.
Tema 11 Series.
1. z−1
z+ 1, z= 1/2.
2. z2
(z−1)2(z−2), z= 1.
3. sen(z)
(z−2π)2, z= 2π.
Problema 11.9 Halle la parte principal del desarrollo en serie de Laurent de la función 8z3
(z+ 1)(z−1)2 en el puntoz = +1.
Problema 11.10 Obtenga los tres primeros términos significativos de la serie de Laurent de ez z(z2+ 1) en0<|z|<1.
Problemas de
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS
Ingeniería Industrial. Curso 2003-2004.
Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla.
Tema 12: Residuos.
12.1Ceros y polos. Singularidades aisladas.
Problema 12.1 Determine el orden de los ceros de las siguientes funciones 1. zsenz.
2. z2−9.
3. exp(z−1)−1.
4. 1−cosz.
Problema 12.2 Clasifique las singularidades aisladas de las siguientes funciones 1. (exp(z2)−1)−1.
2. exp(z+ (1/z)).
3. ez−1 z(z−1). 4. cos(1/z2) z2 . 5. 1
z2 + z5 z3+z.
12.2El teorema de los residuos.
Problema 12.3 Calcule la integral def(z)a lo largo de los contornos que se indican, positivamente orientados
1. f(z) = z
senz(1−cosz) en C(0,5).
Tema 12 Residuos. Sección 12.2 El teorema de los residuos.
Problema 12.4 Sea la función
f(z) = Log(1−z2) z(ez−1) .
1. Clasifique las singularidades def y obtenga los residuos de las singularidades aisladas.
2. Determine los dos primeros términos significativos de la representación def en serie de Laurent en el dominio0<|z|<1.
3. Calcule Z
C
f(z) z dz,
dondeCdenota la circunferencia de centro el origen y radio 1/2, orientada positivamente.
Problema 12.5 Sea la función
f(z) = 1
Log(z2+ 4) sen (πz)
1. Estudie el dominio de analiticidad def y determine aquellas singularidades cuyos residuos valen (πlog(20))−1.
2. Obtenga los tres primeros términos significativos de los desarrollos de Laurent de la función
g(z) = 1
z2(1−z)2 en los dominios0<|z|<1y1<|z|<∞.
3. Calcule el valor de la integral de g/f sobre la circunferencia de centro 1 y radio 1/2 orientada positivamente.
Problema 12.6 Sea la función
f(z) = cot(πz) z2 .
1. Estudie las singularidades aisladas def,determinando los residuos de los polos.
2. Halle la parte principal del desarrollo en serie de Laurent def alrededor del origen.
3. Calcule Z
Cn
f(z)dz,
dondeCnes el contorno, orientado positivamente, del cuadrado cuyos vértices son (n+ 1/2)(±1±i).
4. Deduzca que
X∞
n=1
1 n2 = π2
6 .
Tema 12 Residuos. Sección 12.3 Aplicacion al cálculo de integrales reales.
12.3Aplicacion al cálculo de integrales reales.
Problema 12.7 Calcule el valor de la integral Z ∞
0
dx
1 +xn, n ≥2,
integrando sobre la frontera del sector circular de radioR >1y argumento0≤θ ≤2π/n.
Problema 12.8 Calcule el valor de cada una de las integrales reales que siguen integrando, en cada caso, una función compleja de variable compleja adecuada, a lo largo de la frontera de un recinto adecuado:
1.
Z ∞
0
dx
(1 +x2)n, n∈N. 2.
Z ∞
−∞
dx
(x2 + 4x+ 5)2. 3.
Z ∞
0
x2+ 1 x4+ 1dx.
4.
Z ∞
−∞
x2
(x2 +a2)2 dx, a >0.
5.
Z π
−π
dt 1 + sen2t. 6.
Z 2π 0
sen(3t) 5−3 costdt.
7.
Z 2π 0
dt
a2cos2t+b2sen2t, a, b >0.
8.
Z π 0
cos(2t)
1−2acost+a2 dt, −1< a <1, a6= 0.
12.4Algunos problemas de exámenes
Problema 12.9 (Junio 2001) Dada la función f(z) = coshz
senhz, z ∈C, se pide:
Tema 12 Residuos. Sección 12.4 Algunos problemas de exámenes Problema 12.10 (Septiembre 2001) Probar razonadamente que
Z +∞
−∞
x2
(x2 + 1)2(x2+ 2x+ 2)dx= 7π 50. Problema 12.11 (Junio 2002)
1. Utilizando el teorema de los residuos calcule la siguiente integral Z ∞
0
dx 1 +x2. 2. Considere la función de variable compleja
f(z) = log(z) 1 +z2 dondelog(z) = ln(|z|) +iθ, conθ ∈
µ
−π 2,3π
2
¸
.Determine, clasifique y calcule el residuo de todas las singularidades def(z)en el semiplano superior (Im(z)>0).
3. Considere el contorno cerrado de lafigura 1 y demuestre que las integrales de la funciónf(z)sobre las curvasCρyCRse anulan cuando tomamos los límitesρ→0yR→ ∞,respectivamente.
4. Empleando los apartados anteriores calcule la siguiente integral Z ∞
0
log(x) 1 +x2dx.
Problema 12.12 (Septiembre 2002)
1. Considere la función de variable compleja
f(z) = 1 z3 + 1.
Calcule el residuo def en las singularidades situadas en el primer cuadrante(x >0, y >0).
2. Integrando la funciónf(z)sobre el contorno de lafigura 2, calcule la siguiente integral real Z∞
0
dx x3+ 1. CR
R
-R −ρ ρ
Cρ
Figura 1
x y
0 C1
C2 C3
Rexp(i 2π/3)
R
Figura 2
Tema 12 Residuos. Sección 12.4 Algunos problemas de exámenes Problema 12.13 (Segundo parcial 2002-03)
1. Calcular el valor de la integral
Z∞
0
1
(1 +x2)2dx.
2. Demostrar que
Z∞
0
lnx
(1 +x2)2dx=−π 4, usando la rama de la función logarítmica dada por
log(z) = ln|z|+iarg(z) con − π
2 <arg(z)≤ 3π 2 . Problema 12.14 (Final 2003) Calcular el valor de la integral
Z∞
0
cos(ax)
(x2+b2)2dx cona >0, b >0.
Problema 12.15 (Septiembre 2003) Considerar la función complejaf(z) = Log(1−z)
z(1 +z) .Se pide:
1. Hallar el dominio de analiticidad def(z).
2. Estudiar las singularidades aisladas de dicha función y obtener el valor del residuo def(z)en cada una de ellas.
3. Evaluar las integrales Z
C+
f(z)dz, dondeC = {z ∈C:|z|= 1/2}, Z
C+e
f(z)dz, dondeCe = {z ∈C:|z+ 1|= 1/2}. 4. Obtener el desarrollo de McLaurin def(z)en el dominio|z|<1.
5. Considerar la serie numérica real dada por X
n≥0
bn
2n donde, para cadan, bn= (−1)n+1 Xn k=0
(−1)k k+ 1.
Analizar si es convergente o no dicha serie haciendo uso de algún criterio de convergencia para series numéricas reales. En caso afirmativo, ¿a qué valor converge?.
Problema 12.16 (Febrero 2004) Resolver aplicando el Teorema de los Residuos:
Z ∞ dx
