Problemas resueltos de integrales dobles Matemáticas I Curso 2012-2013

Problemas resueltos de integrales dobles Matemáticas I Curso 2012-2013

1

18. Calcular, mediante coordenadas cartesianas, las siguientes integrales:

𝒂 𝒅𝒙𝒅𝒚

𝑫

𝒔𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝑫 = 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ

≤ 𝒙 ≤ 𝟏

𝟐 , 𝒚 + 𝒙 ≤ 𝟏, 𝒚 ≥ 𝟎

Escribimos el recinto de la siguiente forma:

𝐷 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ² 0 ≤ 𝑥 ≤1

2 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 − 𝑥 Así nuestra integral resulta:

𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷 = 𝑑𝑦

1−𝑥

0 1−𝑥 12

0 𝑑𝑥 = (1 − 𝑥)

12

0 𝑑𝑥 = 𝑥 −𝑥² 2 ₀

1 2=

=1 2−1

8=3 8

Este valor coincide además con el área del recinto (puedes calcularla con las fórmulas básicas de cálculo de áreas de figuras regulares, pues el recinto es un trapecio); porque el área de un recinto 𝐷 es precisamente 𝑑𝑥𝑑𝑦_𝐷

𝒃 𝒙

𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚

𝑫

𝒔𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝑫 = 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ

/𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏

𝟐 , 𝒚 + 𝒙 ≤ 𝟏, 𝒚 ≥ 𝟎

El recinto es el mismo del apartado (a), (sólo cambia el integrando) 𝑥³𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷 = 𝑥³𝑦 𝑑𝑦

1−𝑥 0 12

0 𝑑𝑥 = 𝑥³ 𝑦 𝑑𝑦

1−𝑥

0 𝐼 12

0 𝑑𝑥

𝐼 = 𝑦 𝑑𝑦

1−𝑥

0

= 𝑦² 2 ₀

1−𝑥

=(1 − 𝑥)²

2 𝑉𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒:

𝑥³𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷

= 𝑥³(1 − 𝑥)² 2

1 2 0

𝑑𝑥 =1

2 𝑥³(1 − 𝑥)²

1 2 0

𝑑𝑥 =1 2 (𝑥³

1 2 0

− 2𝑥⁴+ 𝑥⁵)𝑑𝑥 =

= 𝑥⁴ 8 −𝑥⁵

5 +𝑥⁶ 12 ₀

1 2= 1

2⁴ 8− 1

2⁵ 5+ 1

2⁶12= 11

2⁸ 15= 11 3840

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2

𝒄 𝒙

𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚 𝒔𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐

𝑫

𝑫 = 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ

/𝒙𝒚 ≤ 𝟏𝟔, 𝒙 ≥ 𝒚, 𝒙 − 𝟔 ≤ 𝒚, 𝒙 ≥ 𝟎, 𝒚 ≥ 𝟏

En esta ocasión hemos dividido el recinto en dos como se ve en el dibujo para tomar con referencia fija la variable 𝑦, quedando la variable 𝑥 acotada entre dos funciones de 𝑦. Así resultan integrales que se pueden resolver. Si hubiésemos invertido los papeles de las variables (la 𝑥 entre valores fijos y la variable 𝑦 acotada entre funciones de 𝑥, necesitamos 3 recintos diferentes y las integrales resultantes tienen un poco más de dificultad, pero también salen).

Los recintos son:

𝐷₁= 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ² 1≤ 𝑦 ≤ 2 𝑦 ≤ 𝑥 ≤ 𝑦 + 6

𝐷₂= 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ² 2≤ 𝑦 ≤ 4 𝑦 ≤ 𝑥 ≤16 𝑦 Así nuestra integral queda:

𝑥 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷1

+ 𝑥

𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 1

𝑦 𝑥 𝑑𝑥

𝑦+6

𝑦 𝐼1 2

1

𝑑𝑦

𝐷2

+ 1

𝑦 𝑥 𝑑𝑥

16𝑦

𝑦 𝐼₂ 4

2

𝑑𝑦

Hacemos aparte las integrales 𝐼₁ 𝑒 𝐼₂ 𝐼₁= 𝑥 𝑑𝑥

𝑦+6

𝑦 = 𝑥² 2 _𝑦

𝑦+6

= 𝑦 + 6 ²− 𝑦²

2 =𝑦²+ 12𝑦 + 36 − 𝑦²

2 =12𝑦 + 36

2 = 6𝑦 + 18

𝐼₂ = 𝑥 𝑑𝑥

16 𝑦 𝑦

= 𝑥² 2 _𝑦

16𝑦

= 16𝑦

2− 𝑦²

2 =256 − 𝑦⁴ 2𝑦²

Volviendo a nuestras integrales dobles:

𝑥 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷1

+ 𝑥

𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 1 𝑦

2

1

6𝑦 + 18 𝑑𝑦

𝐷2

+ 1 𝑦

256 − 𝑦⁴ 2𝑦²

4

2

𝑑𝑦 =

= 6 +18 𝑦

2

1

𝑑𝑦 + 128 𝑦³ −𝑦

2 𝑑𝑦 =

4

2

6𝑦 + 18 ln 𝑦 2 1

+ 128

−2𝑦²−𝑦² 4 4

2 =

= 12 + 18𝐿𝑛 2 − 6 + −4 − 4 + 16 + 1 = 15 + 18 𝐿𝑛 2

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3

𝒅 𝒙𝒚𝒆

𝒅𝒙𝒅𝒚 𝒔𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝑫 = 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ

/𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐, 𝟎 ≤ 𝒚, 𝒚

≤ 𝒙

𝑫

𝐷 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ

1 ≤ 𝑥 ≤ 2 0 ≤ 𝑦 ≤ + 𝑥

𝐼 = ^{+ 𝑥}𝑥𝑦𝑒^−𝑦2

0 𝑑𝑦

2

1 𝑑𝑥 = 𝑥 ^{+ 𝑥}𝑦𝑒^−𝑦2

0 𝑑𝑦

𝐼₁ 2

1 𝑑𝑥

𝐼₁ = ^{+ 𝑥}𝑦𝑒^−𝑦2

0 𝑑𝑦 = −1

2 ^{+ 𝑥}(−2)𝑦𝑒^−𝑦2

0 𝑑𝑦 = −1

2 𝑒^−𝑦2 ₀^{+ 𝑥} =

= −1

2 𝑒^−𝑥 − 1 𝑉𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒:

𝐼 = −1

2 𝑥 𝑒^−𝑥− 1

2

1 𝑑𝑥 = −1

2 𝑥𝑒^−𝑥𝑑𝑥 +1

2 𝑥 𝑑𝑥²

1 2

1 = −1

2 𝑥𝑒^−𝑥𝑑𝑥

2

1 +

𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 3 2𝑒²−1

𝑒

1

2 𝑥 𝑑𝑥² 1

34

=

𝑒

+

𝒆 (𝟐𝒙 − 𝟏)𝒆

𝒅𝒙𝒅𝒚

𝑫

𝒔𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝑫 = 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ

/ 𝒙 + 𝒚 ≥ 𝟏, 𝒙 ≥ 𝟏

𝟐 , 𝒚 + 𝒙

≤ 𝟏

𝐷 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ²

1

2 ≤ 𝑥 ≤ 1 1 − 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 1 − 𝑥

𝐼 = (2𝑥 − 1)𝑒^𝑥2+𝑦

1−𝑥²

1−𝑥 𝑑𝑦

1 12

𝑑𝑥 =

= (2𝑥 − 1)𝑒^𝑥2 𝑒^𝑦

1−𝑥²

1−𝑥 𝑑𝑦

𝐼1 1

12

𝑑𝑥

𝐼₁ = 𝑒^𝑦

1−𝑥²

1−𝑥

𝑑𝑦 = 𝑒^𝑦 1 − 𝑥² 1 − 𝑥

= 𝑒^1−𝑥2− 𝑒^1−𝑥

𝑉𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒:

𝐼 = (2𝑥 − 1)𝑒^𝑥2

1 12

𝑒^1−𝑥2 − 𝑒^1−𝑥 𝑑𝑥 = (2𝑥 − 1)𝑒^{1 𝑥2}

12

𝑒^1−𝑥2𝑑𝑥 − (2𝑥 − 1)𝑒^𝑥2

1 12

𝑒^1−𝑥𝑑𝑥 =

= (2𝑥 − 1)𝑒^{𝑥2+1−𝑥2}

1 12

𝑑𝑥 − (2𝑥 − 1)𝑒^{𝑥2+1−𝑥}

1 12

𝑑𝑥 = (2𝑥 − 1)𝑒

1 12

𝑑𝑥 − (2𝑥 − 1)𝑒^{𝑥2+1−𝑥}

1 12

𝑑𝑥 =

= 𝑒 (2𝑥 − 1)

1 12

𝑑𝑥 − (2𝑥 − 1)𝑒^{𝑥2+1−𝑥}

1 12

𝑑𝑥 = 𝑒 (𝑥²− 𝑥) 1 2

1− 𝑒^{𝑥2+1−𝑥} 1 2

1 =−3𝑒 4 + 𝑒³⁴

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4

𝒇 𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚

𝑫

𝒔𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝑫 = 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ

/𝒚 ≥ 𝟎, 𝒙 − 𝟏

+ 𝒚

≤ 𝟏, 𝒙 − 𝟐

+ 𝒚

≤ 𝟏

Dividimos el recinto en dos:

𝐷₁= 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ²

1 ≤ 𝑥 ≤ 3

2 0 ≤ 𝑦 ≤ + 1 − (𝑥 − 2)

𝐷₁= 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ²

3

2 ≤ 𝑥 ≤ 2 0 ≤ 𝑦 ≤ + 1 − (𝑥 − 1)

𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷1

+ 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑦 𝑑𝑦

+ 1−(𝑥−2)²

0 𝑦²

2 ₀

+ 1−(𝑥−2)2 3

2 1

𝑑𝑥

𝐷2

+ 𝑦 𝑑𝑦

+ 1−(𝑥−1)²

0 𝑦²

2 ₀

+ 1−(𝑥−1)2 2

32

𝑑𝑥 =

= 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 =1

2 −3 − 𝑥²+ 4𝑥 + 𝑑𝑥

32

1 +1

2 −𝑥²+ 2𝑥 𝑑𝑥

2 32

=1

2 (−3𝑥 −𝑥³

3 + 2𝑥²)

1 32

+1 2 (−𝑥³

3 + 𝑥²)

1 32

= ⋯