Alemania: Hilbert, Zermelo, Haussdor↵

Este apartado se centrar´a en determinar la cercan´ıa de Zermelo y Haussdor↵ a los tres enfoques planteados, sabiendo que varios otros autores alemanes contempor´aneos a ellos pueden entrar a ser referenciados, sin embargo estos dos representan de muy buena forma las tradiciones o tendencias principales que predominaron en Alemania los primeros a˜nos del Siglo XX respecto a teor´ıa de conjuntos.

Como se plante´o en el apartado 3.2, Hilbert no es reconocido en teor´ıa de conjuntos por su aportes y resultados directos sino por el est´ımulo e impul- so que dio a matem´aticos j´ovenes para investigar en este nuevo campo, es as´ı como por ejemplo en el primer congreso internacional de matem´aticas en 1897, el alem´an German Hurwitz, cercano al c´ırculo de Hilbert y Klein di´o una charla plenaria en la que se enfatizaba la importancia de la teor´ıa de conjuntos en el an´alisis, concretamente, sugiri´o una clasificaci´on de fun- ciones anal´ıticas basadas en el correspondiente conjunto de singularidades, en el que las nociones de conjunto numerable, cerrado y perfecto ten´ıan gran importancia [Ferreir´os, 1999, p. 300].

As´ı mismo, Ernst Zermelo quien realiz´o sus estudios en Berl´ın, logrando una buena reputaci´on en matem´aticas aplicadas y f´ısica te´orica, en 1897 fue a Gotinga y bajo la influencia de Hilbert se interes´o en los problemas funda- mentales de la teor´ıa de conjuntos, teniendo as´ı un cambio en su campo de actividad. Cabe decir que Zermelo se dedica a problemas abiertos, y no pu- blica libros, s´olo art´ıculos.

En Gotinga Zermelo imparte el que parece ser el primer curso en teor´ıa de conjuntos [Peckhaus, 1990, p. 77↵] 27 _{en 1900/01, gui´andose por los}

Beitr¨age de Cantor, y donde descubri´o al mismo tiempo que Russell, pe- ro de forma independiente, las paradojas conjuntistas que llevan el nombre de ´este ´ultimo. Luego en el semestre siguiente, y en Leipzig, Felix Hauss- dor↵28 _{imparti´o otro curso en el que, siguiendo una corrspondencia de Can-}

tor, mostr´o que el conjunto de todos los tipos de orden numerables tiene la

27_{Citado en [Ferreir´os, 1999, p. 317] pie de p´agina 1. Cabe decir que Cantor ni Dedekind} dictaron lecciones sobre teor´ıa de conjuntos.

28_{Haussdor↵ naci´o en Breslavia en 1868 y pudo haber muerto en Bonn en 1942} [Purkert, 2001].

potencia del continuo (llamado posteriormente como teorema de Dedekind - Bernstein).[Purkert, 2001, p. 21].

La referenciada lecci´on sobre teor´ıa de conjuntos impartida por Zermelo da una muestra que su primer acercamiento a esta teor´ıa fue a trav´es del enfoque de la segunda etapa de Cantor, sin embargo ´el, es reconocido por los aportes en axiomatizaci´on y fundamentaci´on, quiz´as no tanto de las matem´aticas sino de la teor´ıa de conjuntos, pero su enfoque sobre la teor´ıa de conjuntos queda plasmada en la primera frase del art´ıculo de 1908 [Zermelo, 1908], que dice: “La teor´ıa de conjuntos es aquella rama de las matem´aticas cuya tarea es investigar matem´aticamente las nociones fundamentales de n´umero, orden y funci´on, tom´andolas en su forma m´as simple para desarrollar los fundamentos de la aritm´etica y el an´alisis”, claramente se observa el enfoque de Dedekind de usar la teor´ıa de conjuntos como fundamentadora de las matem´aticas. Los t´ıtulos de sus publicaciones de Zermelo son:

1. de 1901: Addition transfiniter Cardinalzahlen, NG. 29

2. de 1904: Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann (Aus einem an Herrn Hilbert gerichteten Briefe), MA.30

3. de 1908: Neuer Beweis f¨ur die M¨oglichkeit einer Wohlordnung, MA. 31

4. de 1908: Untersuchungen ¨uber die Grundlagen der Mengenlehre, I, MA.32

5. de 1909: Sur les ensembles finis et le principe de l’ induction compl`ete, AM.

6. de 1909: Uber die Grundlagen der Arithmetik, V Congreso¨ internacional de matem´aticas, Roma. 33

7. de 1914: ¨Uber ganze transzendente Zahlen, MA.34

29_{Adici´on de cardinales transfinitos.}

30_{Demostraci´on de que cada conjunto puede ser bien ordenado.} 31_{Nueva demostraci´on de la posibilidad de un buen orden.} 32_{Investigaciones sobre los fundamentos de la teor´ıa de conjuntos.} 33_{Sobre los fundamentos de la aritm´etica.}

Cap´ıtulo 3. Expansi ´on y enfoques de la teor´ıa de conjuntos

8. 1929: ¨Uber den Begri↵ der Definitheit in der Axiomatik, FM.35

9. de 1930: ¨Uber Grenzzahlen und Mengenbereiche. Neue Untersuchungen ¨

uber die Grundlagen der Mengenlehre, FM.36

10. de 1932: ¨Uber Stufen der Quantifikation und die Logik des Unendlichen, DMV.37

11. de 1935: Grundlagen einer allgemeinen Theorie der mathematischen Satzsysteme, FM. 38

Su art´ıculo de 1904, La prueba de que todo conjunto puede ser bien ordenado, tuvo un impacto inmediato en los c´ırculos matem´aticos tanto de aprobaci´on como de rechazo, debido al uso del axioma de elecci´on, ocasionando debates de alto contenido filos´ofico como el que se present´o en Francia entre Hada- mard de un lado, y del otro Borel, Baire y Lebesgue.39 _{En este art´ıculo se}

evidencia mayor recepci´on de las ideas de Cantor que de las de Dedekind, ya que en la demostraci´on hace uso de la noci´on de cubrimiento.40 _Posterior

a esa publicaci´on, se interes´o en los fundamentos de los n´umeros estudiando en detalle a Dedekind,41 _{lo que se reflej´o en sus art´ıculos de 1908, en lo que}

emplea nociones y resultados de Dedekind,42_{, tanto as´ı que en el Untersu-}

chungen de 1908, dice que intenta mostrar que la teor´ıa creada por G. Cantor y R. Dedekind se puede reducir a unas pocas definiciones y siete principios o axiomas, aparentemente independientes entre si.[Ferreir´os, 1999, p. 320].43

35_{Sobre el concepto de bien definido en la axiom´atica.}

36_{Sobre los n´umeros l´ımite y los dominios de conjuntos. Nuevas investigaciones sobre} los fundamentos de la teor´ıa de conjuntos.

37_{Sobre los niveles de cuantificaci´on y la l´ogica del infinito.}

38_{Fundamentos de la teor´ıa general de los sistemas de proposiciones matem´aticas.} 39_{Hadamard defend´ıa la postura de Zermelo, mientras que Borel , Baire y Lebesgue} la rechazaban. Este debate fue publicado bajo el t´ıtulo “Cinq lettres sur la th´eorie des ensembles”. Ver [Baire et al., 1905].

40_{De alto sentido en la teor´ıa de conjuntos de puntos, con la que se relaciona a la primera} etapa de Cantor.

41_{Se detalla en [Peckhaus, 1991, pp. 90-97].}

42_{Es especialmente importante en la segunda prueba del buen ordenamiento (“Neuer} Beweis f¨ur die M¨oglichkeit einer Wohlordnung”) la teor´ıa de cadenas de Dedekind, que fue usada por Zermelo como modelo para esta demostraci´on.

43_{[Ferreir´os, 1999, p. 225] dice que Zermelo estableci´o una conexi´on entre la teor´ıa de} conjuntos transfinitos de Cantor y la teor´ıa de conjuntos, aplicaciones y cadenas presentada por Dedekind en su Zahlen, pero se˜nala tambi´en la inquietud de que el mismo Dedekind pudo conocer previamente esta conexi´on.

De otro lado, en Felix Haussdor↵ se evidencia la recepci´on de las ideas de Cantor, de hecho ellos ten´ıan bastante contacto, ya que entre otras cosas Leipzig y Halle son ciudades cercanas.44 _{La cercan´ıa y/o admiraci´on de}

Haussdor↵ hacia Cantor era tal que la dedicatoria de su libro Grundz¨uge der Mengenlehre de 1914, es a ´este, donde adem´as lo reconoce como el creador de la teor´ıa de conjuntos. Este libro, Grundz¨uge ha sido el primer manual de amplia repercusi´on en teor´ıa de conjuntos, permitiendo a Haussdor↵ consolidarse como como una autoridad en el campo. El impacto de este libro fue tal que por ejemplo, desde el primer volumen de la revista polaca Fundamenta Mathematicae el Grundz¨uge de Haussdor↵ fue citado frecuentemente,45 _{en los primeros veinte vol´umenes de la revista, que se}

publicaron entre 1920 y 1933, de los 588 art´ıculos publicados (excluyendo los tres de Haussdor↵) no menos de 88 referenciaron esta obra [Purkert, 2001, pp. 34-35]. El libro contiene los siguientes cap´ıtulos:

1. Operaciones entre conjuntos 2. Operaciones entre funciones 3. Cardinales

4. Conjuntos ordenados. Tipos de orden

5. Conjuntos bien ordenados. N´umeros ordinales

6. Relaciones entre conjuntos ordenados y bien ordenados 7. Conjuntos de puntos en espacios generales

8. Conjuntos de puntos en espacios especiales 9. Ejemplos de funciones

10. Contenido de conjuntos de puntos

44_{Hausdor↵ fue profesor en las universidades de Leipzig (1902-1910), Greifswald (1913-} 1921) y Bonn (1910-1913 y 1921-1935). Mientras Hausdor↵ estaba en la Universidad de Leipzig, Cantor era profesor en la Universidad de Halle. En [Purkert, 2001, p.21] se dice que organizaban encuentros juntos cada semestre a veces en Halle y otras en Leipzig y que Cantor lleg´o a invitar a todo el grupo a su casa.

Cap´ıtulo 3. Expansi ´on y enfoques de la teor´ıa de conjuntos

Los seis primeros cap´ıtulos corresponden a teor´ıa de conjuntos transfinitos (al rededor de doscientas p´aginas) mientras que los cuatro cap´ıtulo finales (alrededor de doscientas cincuenta p´aginas) a teor´ıa de conjuntos de puntos y teor´ıa de funciones. Lo que da una clara muestra del enfoque que le da a la teor´ıa de conjuntos, en la que no le interesa los fundamentos de ´esta46 _pero

hereda las tem´aticas de intereses de Cantor, tanto de la primera como de la segunda etapa.

En 1927 Haussdor↵ public´o el libro titulado Mengenlehre, que ha sido decla- rada como la segunda edici´on del Grundz¨uge de 1914. Aunque por contenido se puede decir que es un libro nuevo. Para aparecer en la serie de G¨oschen, era necesario dar una presentaci´on mucho m´as restringida que en el Grundz¨uge. As´ı, gran parte de la teor´ıa de conjuntos ordenados y las secciones sobre teor´ıa de la medida y la integraci´on se elimin´o del nuevo libro. Por ejemplo en la edici´on de 14 el cap´ıtulo correspondiente a los conjuntos de puntos en espacios generales lo hace a trav´es de los espacios topol´ogicos, mientras que en el 27 es atrav´es de espacios m´etricos. Los dos primeros cap´ıtulos del 14 se combinan y aparecen en el primer cap´ıtulo de la edici´on del 27. La primera edici´on es mucho m´as detallada, estudia m´as los conjuntos ordenados ya que en el segundo s´olo estudia los n´umeros ordinales y en el segundo desaparece el cap´ıtulo de relaciones entre conjuntos bien ordenados y conjuntos ordena- dos.47

De Haussdor↵ es importante anotar que tuvo gran repercusi´on en la es- cuela topol´ogica rusa iniciada por Pavel Alexandro↵ y Pavel Urysohn ([Purkert, 2001, p. 35]), y que en 1916 Haussdor↵ y Alexandro↵ resolvie- ron (cada cual por su parte) el problema del continuo para los conjuntos borelianos.

Otro punto para tener en cuenta en Alemania es que la Sociedad Matem´atica Alemana puso en marcha la Encyklop¨adie der mathematischen Wissenschaften (Enciclopedia de ciencias amtem´aticas), que apareci´o en 1898 y en la que Sch¨onflies escribi´o un apartado sobre Mengenlehre. Esta enciclopedia se dividi´o en seis partes, y Mengenlehre hizo parte de la primera

46_{En las p´aginas 1 y 2 de su libro de 1914, [Hausdor↵, 1914], dice que no le interesa los} fundamentos y remite al lector interesado en ello a leer a Zermelo y el art´ıculo de ´este de 1908.

que se denominaba: aritm´etica y ´algebra. La tem´atica que trat´o Sch¨oenflies se reparti´o entre aritm´etica transfinita y topolog´ıa de conjuntos de puntos.48