Fraenkel, G¨odel, Von Neumann, Bernays

Aunque Fraenkel, G¨odel, Bernays y Von Neumann no fuesen propiamente alemanes,53 _{parte importante de sus aportes en teor´ıa de conjuntos se deben}

52_{Jourdain tambi´en realiz´o una publicaci´on en historia de la teor´ıa de conjuntos en 1906.} 53_{Fraenkel era israel´ı pero nacido en Alemania, G¨odel naci´o en Brno (actualmente} Rep´ublica Checa) pero era austriaco-estadounidense, Von Neumann h´ungaro y Bernays suizo.

Cap´ıtulo 3. Expansi ´on y enfoques de la teor´ıa de conjuntos

a la influencia de la tradici´on de Gotinga.

La relaci´on de estos autores con la teor´ıa de conjuntos es a partir de los fundamentos de ´esta, de hecho el cap´ıtulo XI de [Ferreir´os, 1999] llamado Consolidation of Axiomatic Set Theory, se centra en estos cuatro autores, lo que claramente da una idea de la cercan´ıa con el enfoque de Dedekind.

El primero que surgi´o de estos autores fue Abraham Fraenkel, quien desa- rroll´o sus estudios de matem´aticas en varias universidades alemanas: M´unich, Berl´ın, Marburgo y Breslavia, dict´o clases en Marburgo desde 1916 y en 1922 tuvo una plaza como profesor en la misma universidad. Luego en 1928 di´o cla- ses en la Universidad de Kiel y en 1929 se traslad´o a la Universidad Hebrea de Jerusal´en donde sigui´o el resto de su carrera.

Fraenkel es normalmente asociado al sistema axiom´atico de teoria de con- juntos m´as reconocido, el sistema Zermelo-Fraenkel (ZF). Y su nombre fue vinculado a este sistema debido a la sugerencia que hizo, en un art´ıculo en 1922, de que el sistema axiom´atico de Zermelo pudiera ser complementado por el axioma de reemplazo, aunque Miriano↵ en 1917 y Skolem en 1922 ya lo hab´ıan hecho [Ferreir´os, 1999, p. 366]. La relevancia de Fraenkel est´a en la difusi´on de la teor´ıa de conjuntos a trav´es de las tres ediciones de su libro Einleitung in die Mengenlehre54_{, libro que tuvo muy buena recepci´on, como}

lo evidencia el hecho de que en cinco a˜nos tuviera tres ediciones, y en el cual sigui´o una presentaci´on axiom´atica, a manera distinta de otro influyente texto como lo fue el Grundz¨uge de Haussdor↵ de 1914.

El resultado m´as importante de Fraenkel fue el que el axioma de elecci´on es independiente de los otros postulados, resultado que public´o en un art´ıculo de 1922 55_{, de donde se desprendi´o la necesidad de clarificar la noci´on de}

Zermelo de propiedad definida.

John von Neumann naci´o en 1903. En 1926 obtuvo su doctorado en matem´ati- cas en la Universidad de Budapest (su ciudad natal) con una importante tesis en teor´ıa de conjuntos, adem´as recibi´o un diploma en ingenier´ıa qu´ımica en Zurich en 1925. Asisti´o a clases en Berl´ın y a algunos seminarios en Gotin-

54_{Las tres ediciones son de los a˜nos 1923, 1927 y 1928}

ga. En 1929 estuvo durante un semestre en Princeton, los a˜nos siguientes altern´o su estancia entre Alemania y Estados Unidos y en 1933 se radic´o de- finitivamente en Pricenton.

El sistema ZFE56 _{era una soluci´on satisfactoria para el problema de una}

axiomatizaci´on de la teor´ıa de conjuntos de la ´epoca, sin embargo no serv´ıa para excluir la posibilidad de la existencia de conjuntos que pertenecieran a s´ı mismos. En su tesis doctoral en 1925, titulada Eine Axiomatisierung der Mengenlehre (Una axiomatizaci´on de la teor´ıa de conjuntos), von Neuman present´o un sistema axiom´atico distinto al de Zermelo, que ha derivado en las versiones axiom´aticas modernas y donde demostr´o c´omo excluir la po- sibilidad de conjuntos pertenecientes a si mismos utilizando el axioma de fundaci´on y la noci´on de clase.

El axioma de fundaci´on plantea que cada conjunto puede ser construido en orden ascendente y a trav´es de una sucesi´on ordenada de pasos ordenada usando los principios de Zermelo y Fraenkel, de tal forma que si un conjunto pertenece a otro, el primero debe necesariamente, ir antes del segundo en la sucesi´on, excluyendo as´ı que un conjunto pueda pertenecer a s´ı mismo.

La noci´on de clase es m´as amplia que la de conjunto, en ese sentido se en- tiende un conjunto como una clase que pertenece a otras clases, mientras una clase de propiedad es definida como una clase que no pertenece a otras clases. As´ı, mientras en ZFE no se puede construir el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a s´ı mismo, en el sistema axiom´atico de von Neumann es v´alido hablar de la clase de todos los conjuntos que no perte- necen a s´ı mismos, de la cual hay que aclarar que no puede ser identificada como un conjunto.

En dos de sus art´ıculos sobre teor´ıa de conjuntos 1923 Zur Einf¨uhrung der transfiniten Zahlen (Sobre la introducci´on de n´umeros transfinitos) de 1923 y ¨Uber die Definition durch transfinite Induktion und verwandte Fragen der allgemeinen Mengenlehre (Sobre definiciones por inducci´on transfinita y cuestiones relacionadas con teor´ıa de conjuntos) de 1928, von Neumann plantea que si se da por sentada la inducci´on transfinita, se podr´ıa expresar la noci´on de ordinal como el conjunto de todos los ordinales que lo preceden;

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en ese sentido introdujo los ordinales a trav´es de la serie: ;, {;}, {;, {;}} , {;, {;} , {;, {;}}} , ... {;, {;} , {;, {;}} , {;, {;} , {;, {;}}} , ...}, ...

De otro lado, en el Congreso internacional de matem´aticas de K¨onigsberg de 1930, Kurt G¨odel anunci´o que los sistemas axiom´aticos usuales son incomple- tos, lo cual significa que no pueden probar todas las proposiciones verdaderas que se puedan expresar en su lenguaje. Von Neumann, obtuvo una interesante consecuencia de su teorema: los sistemas axiom´aticos usuales son incapaces de demostrar su propia consistencia. Aquellos dos resultados fueron publica- dos por G¨odel en 1931 en “ ¨Uber formal unentscheidbare S¨atze der Principia Mathematica und verwandter Systeme”(“Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados), y son cono- cidos como los teoremas de incompletitud de G¨odel, lo que signific´o el punto final de medio siglo de intentos por encontrar un conjunto de axiomas sufi- ciente para toda la matem´atica.

Lo anterior se refiere a parte de los aportes de G¨odel en fundamentos de las matem´aticas, lugar donde goza de gran reconocimiento y que corresponde a una etapa previa a sus aportes en teor´ıa de conjuntos. Sin embargo, las con- tribuciones de G¨odel en teor´ıa de conjuntos han sido variadas e importantes. Durante las d´ecadas del 30 y del 40 est´a la llamada concepci´on iterativa de los conjuntos, idea que lleva a justificar axiomas habituales del sistema de Zermelo - Fraenkel, y adem´as aclara por qu´e las paradojas no afectan a la teor´ıa axiom´atica de conjuntos.

Sobre las contribuciones t´ecnicas que G¨odel realiz´o hacia 1940, est´an los in- tentos para aplicar los m´etodos de la l´ogica matem´atica al estudio metate´orico del sistema axiom´atico de Zermelo-Fraenkel (y otros sistemas alternativos de teor´ıa de conjuntos).

Respecto a la discusi´on sobre el axioma de elecci´on, G¨odel demostr´o en 1939 que, si la teor´ıa de Zermelo-Fraenkel (sin Axioma de Elecci´on) es consistente,

entonces tambi´en lo es la teor´ıa ZFE, por ello, la prevenci´on contra el Axioma de Elecci´on perdi´o base.

G¨odel tambi´en demostr´o, en 193857_{que la Hip´otesis del Continuo de Cantor}

puede a˜nadirse a la teor´ıa ZFE sin afectar su consistencia.

Pasando ahora a Paul Bernays, cabe decir que el no hizo publicaciones en teor´ıa de conjuntos antes de 1930, pero tuvo contacto directo con Zerme- lo y Hilbert. En 1912 Bernays obtuvo su doctorado bajo la direcci´on de E. Landau, en la cual su tesis era sobre teor´ıa de n´umeros anal´ıticos de formas cuadr´aticas binarias. El mismo a˜no obtuvo su habilitaci´on en Zurich, donde Zermelo era profesor, e hizo su habilitaci´on sobre el teorema de Picard en teor´ıa de funciones. En 1917, a ra´ız de su lectura en Zurich fue invitado por Hilbert para trabajar como asistente de investigaciones en fundamentos de aritm´etica en Gotinga.

Bernays y G¨odel introdujeron algunos cambios que simplificaron a la axiom´atica de von Neumann, de hecho el sistema de axiomas se conoce co- mo NBG (von Neumann, Bernays, G¨odel). En primera instancia Bernays incluy´o concepto de l´ogica y teor´ıa de conjuntos de Schr¨oder y de Principia Mathematica que lo acercaban a la estructura del sistema original de Zermelo.

Entre las contribuciones de Bernays al sistema axiom´atico de von Neumann est´an algunos axiomas para construcci´on de clases (en 1937), y la obtenci´on de un poderoso aparato que permiti´o recuperar un an´alogo al principio de comprensi´on.

El sistema NBG tuvo gran aceptaci´on a finales de la d´ecada de 1930, y una gran diferencia que ´este ten´ıa con ZFE, es que era finitamente axiomatizable.

Los cuatro autores tratados en este apartado: Fraenkel, von Neumann, Ber- nays y G¨odel est´an en la l´ınea de Hilbert y Zermelo, tratando los fundamentos de las matem´aticas y los axiomas de la teor´ıa conjuntos, sin tener cercan´ıa a la concepci´on de la teor´ıa de conjuntos al servicio de otras ramas como la topolog´ıa o la teor´ıa de funciones, como en autores de otras escuelas. De

57_{“The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum} Hypothesis.”

Cap´ıtulo 3. Expansi ´on y enfoques de la teor´ıa de conjuntos

hecho son m´as cercanos a la l´ogica que a las aplicaciones anteriores.