Algunos art´ıculos en FM hasta 1939

“Sur les lignes de Jordan”. Por Mazurkiewicz. FM 1 (1920). pp. 166-209.

Marczewski en [Hartman et al., 1974] (tomo II pp. 18) dice que esta memoria y al igual que el art´ıculo [Sierpi´nski, 1920a]25 _{en 1920 en el}

primer volumen de FM contribuyeron al ´exito de esta revista.

Esta memoria, de contenido topol´ogico, contiene una exposici´on sistem´atica de resultados de Mazurkiewicz, de los cuales la mayor´ıa fueron publicados en tres notas presentadas a la Sociedad de Ciencias de Varsovia. Contiene siete apartados que se titulan:

1. Di´ametro de un conjunto de puntos. 2. Distancia relativa 3. G´enero de un punto. 4. L´ıneas de Jordan. 5. L´ıneas de Jordan generalizadas. 6. Un teorema sobre los conjuntos saturados. 7. L´ıneas de Jordan y continuos irreducibles.

“Une m´ethode d’ elimination des nombres transfinis des raisonnements math´ematiques”. Por Kuratowski. FM 3 (1922). pp. 76-108.

Este es un art´ıculo que propone un m´etodo basado en el concepto de cadena de Dedekind, con el que se puede prescindir de los n´umeros transfinitos para algunos razonamientos matem´aticos. Aunque el m´eto- do propuesto corresponde a teor´ıa general de conjuntos, las aplicacio- nes que nombra Kuratowski a lo largo del art´ıculo abarcan distintas ramas de las matem´aticas, tal como lo hac´ıa Sierpi´nski con sus investi- gaciones sobre hip´otesis del continuo y sobre el axioma de Zermelo en [Sierpi´nski, 1924b] y [Sierpi´nski, 1918a] respectivamente.

El art´ıculo tiene dos partes, la primera es en la que que explica el m´etodo de eliminaci´on de los transfinitos al identificar unos procedimientos representados por ciertos esquemas y reemplazar ciertas

definiciones de estos esquemas. La segunda parte es de aplicaciones y consta de diez apartados que se denominan: 1. Teorema de Zermelo. 2. Conjuntos saturados e irreducibles. Teorema de Brouwer. 3. Clases abstractas de Fr´echet. 4. Derivadas y coherencias. 5. Conjuntos ralos y teorema de Cantor-Bendixson. 6. Residuos y conjuntos que son a la vez F y G . 7. Clases de Borel. 8. Funciones de Baire. 9. Problema de Baire y problema auxiliar de M. de la Vall´ee Poussin. 10. Los conjuntos (A) de Suslin.

“Sur les op´erations dans les ensembles abstraits et leur application aux ´equations int´egrales”. Por Banach. FM 3 (1922). pp. 133-181.

Corresponde a la tesis de Banach presentada en la Universidad de Le´opolis, en la que se axiomatiza una nueva clase de espacios llamados posteriormente como espacios de Banach que se caracterizan por ser espacios vectoriales completos y dotados de una norma.

Esta publicaci´on da nacimiento a una nueva rama de las matem´aticas que se denomina an´alisis funcional. Y entre los campos funcionales que se trabajan en esta publicaci´on est´an el conjunto de funciones continuas, el conjunto de funciones sumables (o Lebesgue integrables), el conjunto de funciones integrables con la r-´esima potencia, el conjunto de funciones medibles y acotadas, el conjunto de uniones duhamelianas acotadas, el conjunto de funciones con la (p-1)-´esima derivada absolutamente continua (y la primera derivada, o continua, o Lebesgue integrable o con la r-´esima potencia Lebesgue integrable, o acotada, o duhameliana).

“Sur la d´ecomposition des ensembles de points en parties respective- ment congruentes”. Por Banach y Tarski. FM 6 (1924). pp. 244-277.

Se prueba que dados dos conjuntos acotados enRn_{(n 3) con interio-}

res no vac´ıos son equivalentes bajo descomposici´on finita. Posteriormen- te, y a partir de este resultado se le llam´o la paradoja de Banach-Tarski al siguiente enunciado: la esfera unidad puede descomponerse en finitas partes y juntarse en dos esferas unidad.

Cap´ıtulo 5. Algunos art´ıculos relevantes

Esta paradoja se apoya en el axioma de Zermelo para realizar una can- tidad no numerable de elecciones arbitrarias.

Un resultado parcial y fundamental para este enunciado se hab´ıa planteado en el libro [Hausdor↵, 1914],26 _{sin embargo fue a trav´es de}

este art´ıculo que esta paradoja adquiere reconocimiento.

“M´emoire sur les multiplicit´es Cantoriennes”. Por Urysohn. FM 7 (1925). p. 30-137 y FM 8 (1926). pp. 225-351.

Corresponde a dos publicaciones p´ostumas de Urysohn, en las que se inicia la investigaci´on en teor´ıa de dimensi´on basada en el concepto de dimensi´on inductiva peque˜na, presentando todos los resultados funda- mentales de la teor´ıa de la medida.

En esencia, Uryshon explora las definiciones de curva y de superficie, investigando tambi´en las definiciones de variedad cantoriana de n dimensiones, centrando su atenci´on en el concepto de dimensi´on. “Sur les ensembles analytiques”. Por Luzin. FM 10 1927. pp. 1-95.

En esta memoria, Luzin recoge sus investigaciones sobre los conjuntos anal´ıticos. Difiere de la presentaci´on de su posterior libro [Luzin, 1930],27 _{en el orden de presentaci´on, presentando tres}

cap´ıtulos que se denominan: 1. La construcci´on de Lebesgue y sus generalizaciones, en el que presenta la construcci´on que Lebesgue hizo de un conjunto que escapa a toda representaci´on anal´ıtica (pero que el franc´es no estudi´o sus propiedades), generaliza la operaci´on criba a varias dimensiones, e introduce la operaci´on proyecci´on. 2. La B medida, donde aborda dos propiedades inductivas: la analiticidad y la unicidad, luego introduce la B separabilidad, la construcci´on efectiva de todo conjunto de unicidad y las funciones impl´ıcitas. 3. El conjunto anal´ıtico m´as general, en el que trata el criterio de la B medida, lo transfinito (incluyendo el axioma de elecci´on y el axioma del conjunto

26_{Para profundizar m´as, ver el libro [Wagon, 1993].} 27_{Del cual se profundiza algo m´as en el apartado 6.1.2.}

potencia)28_{y finalmente unas pocas p´aginas para abordar los conjuntos}

proyectivos.

“Les op´erations logiques et les ensembles projectifs”. Por Kuratowski y Tarski. FM 17 (1931). pp. 240-248.

Kuratowski y Tarski escribieron sobre el uso de operaciones l´ogicas en la teor´ıa descriptiva de conjuntos, en particular para la jerarqu´ıa de conjuntos proyectivos. En esencia, se plantea que la jerarqu´ıa proyectiva se puede obtener a trav´es de la combinaci´on de los siguientes cinco operadores l´ogicos: ¬, que corresponde a la operaci´on complemento; 9, que corresponde a la proyecci´on; 8, que se puede ver como la composici´on _{¬8 m´as la negaci´on de la proposici´on; y _ y ^ que} corresponden a uni´on e intersecci´on respectivamente. Estos operadores l´ogicos se aplican sobre la clase de las funciones proposicionales. “Th´eorie g´en´erale de l’ homologie dans un espace quelconque”. Por

ˇ

Cech. FM 19 (1932). pp. 149-183.

Se propone ˇCech en este trabajo mostrar como se llega a una teor´ıa de la homolog´ıa en un espacio cualquiera, lo cual implica unir conceptos de la topolog´ıa de puntos y la topolog´ıa algebraica. En este trabajo se generaliza la teor´ıa de la homolog´ıa ya que anteriormente se desarrolla- ba la teor´ıa de la homolog´ıa solo para espaci´os m´etricos y compactos. En [Eilenberg y Steenrod, 1952] dice que esta publicaci´on es el inicio de la teor´ıa de homolog´ıa y cohomolog´ıa de ˇCech.

Esta publicaci´on se divide en cinco cap´ıtulos. El primero nombra (sin demostrar) algunas propiedades de m´odulos. En el segundo cap´ıtulo se expone una teor´ıa general de homolog´ıa de forma m´as abstracta, sin suponer nada sobre la naturaleza del espacio sobre el que se trabaja. En el tercer cap´ıtulo se considera el caso especial donde el espacio a trabajar es topol´ogico, es decir donde la familia fundamental

28_{Interesante la inclusi´on de esta dos axiomas, ya que se relacionan a trav´es del} argumento de Ren´e Baire para no aceptar la primera demostraci´on del buen orden realizada por Zermelo en 1904. El argumento de Baire se centra en que la demostraci´on se basa en axioma del conjunto potencia.

Cap´ıtulo 5. Algunos art´ıculos relevantes

est´a conformada por redes abiertas. En el cuarto cap´ıtulo se aborda una aplicaci´on, en la que se generaliza un teorema sobre las homolog´ıas en la suma de dos espacios topol´ogicos normados y cerrados para la suma. En el quinto cap´ıtulo se aborda la teor´ıa de ciclos con coeficientes racionales.

El volumen 25 de FM, en 1935, se public´o como un volumen especial, con 47 publicaciones de 45 autores de doce pa´ıses, entre ellos: Lebesgue, Borel, Luzin, Alexandro↵, Hardy, Littlewood, Hopf, Hausdor↵, Von Neumann, Banach, Tarski, Kuratowski, Zygmund y Sierpi´nski. De esta forma ya no hab´ıa duda sobre el reconocimiento internacional que ten´ıa FM. En [Tamarkin, 1936], con motivo de este volumen especial de esta revista, se escribi´o lo siguiente: “el volumen 25 de FM representa un evento notable en la vida matem´atica del mundo entero”.

5.3.

Conclusiones y comentarios

1. Sierpi´nski no se posicionaba filos´oficamente respecto a la aceptaci´on o no de la hip´otesis del continuo y del axioma de elecci´on, tomando siem- pre una posici´on neutral, no se preocupa por dar la respuesta definitiva si la raz´on est´a del lado de Zermelo o de quienes se oponen a la acep- taci´on de demostraciones o procedimientos matem´aticos en los que se involucre este axioma (igul con la hip´otesis del continuo). Sin embargo no fue ajeno a la discusi´on y explor´o como quiz´as ning´un otro de los matem´aticos de su ´epoca las consecuencias de la aplicaci´on de ´estos. En ese sentido, en sus publicaciones es recurrente que diga expl´ıcitamente si usa o no el axioma de elecci´on o la hip´otesis de continuo. As´ı, Sier- pi´nski puede verse como un prototipo de matem´atico que se inmiscuye en la discusi´on filos´ofica pero que es conciente de su labor de explorar a profundidad las consecuencias de asumir una u otra hip´otesis.

Sobre el axioma de elecci´on hay muchas referencias a Sierpi´nski, de hecho [Moore, 1982], que es el texto m´as completo sobre historia e in- fluencia de este axioma dedica un cap´ıtulo a la escuela de Varsovia y rese˜na 43 publicaciones de Sierpi´nski en su bibliograf´ıa. La bibliograf´ıa de este libro, que se ubica por autores en orden cronol´ogico, ubica como primer publicaci´on de Sierpi´nski a [Sierpi´nski, 1916a], que es un abre-

bocas de [Sierpi´nski, 1918a] (el primer art´ıculo de Sierpi´nski presentado en el apartado 5.2).

En [Moore, 1982, p. 289] se plantea que hasta 1938 no hubo cambio en las posiciones sobre el axioma de elecci´on, lo cual se corrobor´o en la reuni´on que se denomin´o Las Entretiens de Zurich que tuvo lugar en la ´Ecole Polythechnique F´ed´erale de Zurich del 6 al 9 de diciembre de 1938. Entre los participantes en esta conferencia, dedicada a los funda- mentos de las matem´aticas, hab´ıa matem´aticos, l´ogicos y fil´osofos como Gonseth, Skolem, Fr´echet, Lukasiewicz, Lebesgue, Polya, Sierpi´nski y Bernays. Lebesgue y Sierpi´nski se hicieron eco de lo que hab´ıan escrito en a˜nos anteriores sobre el axioma de elecci´on.

En su conferencia, Lebesgue elogia Sierpi´nski como “el hombre que mejor ha sabido utilizar el axioma de elecci´on”. La conferencia de Sier- pi´nski resum´ıa principalmente la investigaci´on sobre el axioma de la escuela de Varsovia. En esta, dijo no estar ni a favor ni en contra del axioma, sin embargo consideraba artificial aceptar s´olo la versi´on nu- merable del axioma,29 _{ya que no hab´ıa ninguna raz´on sustancial para}

hacer una divisi´on del axioma para esta cardinalidad.

Por otro lado, Bernays, quien no pod´ıa creer que el axioma fuese me- ramente una hip´otesis en lugar de verdadero o falso, sospechaba que la investigaci´on intensiva sobre el axioma de los miembros de la Escuela de Varsovia, como Sierpi´nski, era un intento de derivar una paradoja desde el axioma.

De otro lado, Sierpi´nski en gran parte es un autor de reacci´on a partir de investigaciones de otros de sus contempor´aneos. [Sierpi´nski, 1918a], que es el art´ıculo de mayor impacto de Sierpi´nski, es un ejemplo claro de ello, sin embargo en este art´ıculo hay todo un estado del arte de la discusi´on sobre el axioma de elecci´on y los distintos resultados del an´alisis y de la teor´ıa de conjuntos donde se ha usado, lo cual muestra que la relevancia de una publicaci´on en fundamentos de las matem´aticas no est´a ligada necesariamente a un resultado

Cap´ıtulo 5. Algunos art´ıculos relevantes

absolutamente novedoso (como podr´ıa ocurrir con una publicaci´on de otra rama de las matem´aticas) ya que como en el caso de la publicaci´on en cuesti´on, la novedad y el aporte est´an en la investigaci´on exhaustiva del entramado deductivo en que se inserta un axioma.

2. Algunas citas en las que se intenta caracterizar la matem´atica polaca del periodo Entreguerras se recogen a continuaci´on:

Jean-Pierre Kahane expres´o que el rasgo caracter´ıstico era un uso libre del axioma de elecci´on en las demostraciones no constructivas de existencia, y de acuerdo a ello el libre uso de otro m´etodos no medibles, basados por ejemplo en la teor´ıa de Baire o en la probabilidad (equivalentemente, medida de Lebesgue)[Duda, 2004, p. 297].

En [Kuratowski, 1980, p. 78] se plantea lo siguiente:

Las principales contribuciones de los matem´aticos polacos en el periodo Entreguerras tienen que ver con an´alisis funcional y topolog´ıa. En an´alisis funcional, principalmente en Le´opolis, tuvo un papel protag´onico al introducir y desarrollar m´etodos fundamentales, nociones y teoremas.

En el campo de la topolog´ıa, los matem´aticos polacos jugaron un papel fundamental al desarrollar los m´etodos conjuntistas y vincular sus diferentes partes en un solo sistema.

Adem´as de estas dos ramas de las matem´aticas, cuyo surgimiento y desarrollo son, en cierta medida, debido a los matem´aticos polacos, tambi´en se ha contribuido al desarrollo de la teor´ıa de funciones reales (sobre todo en los campos de la teor´ıa de las series trigonom´etricas, la teor´ıa de la medida y la teor´ıa descriptiva de conjuntos). Los matem´aticos polacos han contribuido mucho al desarrollo de la teor´ıa de conjuntos y l´ogica matem´atica (la elucidaci´on del papel de axioma de Zermelo y la hip´otesis del continuo, las contribuciones a la teor´ıa de la deducci´on y la iniciaci´on de la investigaci´on en general en los sistemas matem´aticos).

Estas citas se refieren a la matem´atica polaca, que no es necesariamente lo mismo que la matem´atica en Sierpi´nski, o la matem´atica en la escuela de Varsovia o la matem´atica en FM. Sin embargo en 1920, Sierpi´nski, la escuela de Varsovia y la matem´atica polaca compart´ıan el enfoque sobre la teor´ıa de conjuntos de la primera etapa de Cantor,30 _{que se}

caracterizaba por usar los desarrollos conjuntistas para la soluci´on de problemas del an´alisis o de la topolog´ıa o de la teor´ıa de funciones.

Como fundadores de la escuela de Varsovia de matem´aticas Sierpi´nski, Mazurkiewicz y Janiszewski marcaron unas l´ıneas de investigaci´on que se enmarcaban en el enfoque de la primera etapa de Cantor. El libro [Hausdor↵, 1914] fue muy importante para que entre los matem´aticos de Varsovia se acogiera este enfoque.31_{Respecto a Haussdor↵, Arboleda}

plantea que al introducir el primer par´agrafo sobre “Vecindades”, ´este aclara uno de los rasgos caracter´ısticos de la formalizaci´on de las estructuras topol´ogicas, el hecho de fundamentarse en lenguaje conjuntista, y recoge una cita de [Hausdor↵, 1914, p. 209]:

La teor´ıa de conjuntos ha celebrado su m´as bello triunfo en la aplicaci´on a los conjuntos de puntos de los espacios, en la clarificaci´on y la consolidaci´on de los fundamentos geom´etricos [Arboleda, 2012, p. 38].

Arboleda plantea que las investigaciones de Baire y el impacto que tuvieron en Sierpi´nski y los matem´aticos sovi´eticos y polacos en los a˜nos 1920 dan un buen indicio de que para ellos la teor´ıa de conjun- tos abstractos estaba al servicio de la soluci´on de problemas, no solo del an´alisis de variable real, sino del an´alisis general, es decir la teor´ıa de funciones generalizadas definidas sobre un espacio abstracto y, en particular, las funcionales. Este punto de vista lo resume Fr´echet de la siguiente manera en la Introducci´on de su obra sobre los “Espacios Abstractos”: “Un estudio preliminar de los espacios abstractos32_{es m´as}

importante para el desarrollo del an´alisis funcional que para la teor´ıa

30_{Ver el cap´ıtulo 3.}

31_{Recu´erdese la influencia que ejerci´o [Hausdor↵, 1914] en FM planteada en la p´agina 70} y la visi´on de este autor sobre la teor´ıa de conjuntos descrita en el cap´ıtulo 3 (y corresponde a las dos etapas de Cantor).

Cap´ıtulo 5. Algunos art´ıculos relevantes

cl´asica de funciones”. Lo cual apunta m´as a la especializaci´on de la escuela de Le´opolis con Banach a la cabeza, que a los intereses m´as va- riados entre los matem´aticos de Varsovia (particularmente Sierpi´nski).

Sin embargo, se puede ver en los principales art´ıculos de Sierpi´nski (el de axioma de elecci´on y de hip´otesis del continuo), que aunque en pri- mera instancia se asocian m´as a la teor´ıa general de conjuntos que a las otras ramas de la teor´ıa de conjuntos, la investigaci´on se relacio- naba con los resultados de otras ramas de las matem´aticas donde se usa ´estos. El art´ıculo [Kuratowski, 1922],33_{es una muestra m´as de esta}

visi´on de Sierpi´nski, en la que una investigaci´on que se enmarcar´ıa ini- cialmente en una tem´atica de la teor´ıa general de conjuntos (como lo es los n´umeros transfinitos), abarca una serie de aplicaciones a varias ramas de las matem´aticas.34

Para finalizar, la cita de Kuratowski aporta varios datos importantes, as´ı como una ´optica de un representante id´oneo de la escuela de Varsovia. Por ejemplo se entiende que la teor´ıa descriptiva de conjuntos se relacionaba m´as con la teor´ıa de funciones que con la teor´ıa de conjuntos y que las tem´aticas de inter´es de Sierpi´nski en la teor´ıa general de conjuntos, como el axioma de elecci´on y la hip´otesis del continuo, marcaron una l´ınea de acci´on para la escuela de Varsovia (Kuratowski dice que es para los polacos en general).

33_{Que se presenta en la p´agina 177.}

34_{Aunque Tarski y Mostowski son un buen ejemplo de la influencia de Hilbert Zermelo, y} la visi´on conjuntista de Dedekind, la que les ha llegado por el lado de la tendencia logicista de Varsovia representada por Lukasiewicz y Le´sniewski.

Cap´ıtulo 6

Sobre la teor´ıa descriptiva de

conjuntos

De los campos de trabajo de Sierpi´nski en teor´ıa de conjuntos, que se des- tacan en el cap´ıtulo 5, se ha considerado interesante encuadrar lo estudiado sobre este autor con el desarrollo hist´orico de la teor´ıa descriptiva de con- juntos, que en el cap´ıtulo mencionado se denota como conjuntos anal´ıticos y proyectivos en el apartado 5.1.2. Este es uno de los campos en los que Sierpi´nski presenta resultados propios, lo que diferencia con sus aportes por ejemplo en teor´ıa general de conjuntos, donde normalmente divulga, hace demostraciones novedosas, o hasta presenta las consecuencias de usar o no axiomas o hip´otesis controversiales. La topolog´ıa, que es otro campo de ac- ci´on de Sierpi´nski, ha sido suficientemente estudiada e investigada desde lo hist´orico en libros como [Aull y Lowen, 1997] y [James, 1999], y la teor´ıa de funciones de variable real se estanc´o en un punto en el que ahora no es una rama de inter´es en las matem´aticas, y gran parte de ´esta (en especial la desa-