Par´ıs: Borel, Baire, Lebesgue

Los trabajos de esta escuela, representada por Borel, Lebesgue y Baire, se catalogan principalmente en teor´ıa de funciones, y m´as que ocuparse de la cuesti´on de la teor´ıa de conjuntos como fundamento de las matem´aticas, la usaron como herramienta para desarrollar la la teor´ıa de funciones, as´ı mis- mo llegaron a sostener posturas filos´oficas relativas al uso de los transfinitos cantorianos y al axioma de elecci´on.

En su art´ıculo [Gispert, 1995] muestra como los c´ırculos matem´aticos france- ses, anteriores a 1905, adoptaron los nuevos m´etodos de la teor´ıa de conjuntos, pasando por Darboux, Jordan, Tannery, Hadamard, Borel, Lebesgue y Baire. Los tres ´ultimos son los autores centrales de la teor´ıa de funciones en Francia

y en quienes m´as enfatiza el art´ıculo de Gispert como el tercer cap´ıtulo del libro [Graham y Kantor, 2009].

Camille Jordan introdujo la teor´ıa de conjuntos en Francia en un cap´ıtulo suplementario de la segunda edici´on del curso de an´alisis de la ´Ecole Poly- technique en 1893. El primer cap´ıtulo lo dedica a la construcci´on de los reales y a proposiciones sobre l´ımites; el segundo cap´ıtulo se titula “Ensembles”, y se dedica a las nociones de conjunto derivado, perfecto, acotado, de un solo trazo y a los medibles; en el tercer cap´ıtulo usa los resultados sobre los conjuntos introducidos en el cap´ıtulo anterior para introducir las funciones acotadas y las funciones integrables. En este tercer cap´ıtulo se propone estu- diar la importancia del dominio de integraci´on sobre la integral, y a diferencia de Darboux quien en investigaciones precedentes se ha interesado en el rol de la funci´on en la integraci´on, Jordan necesita de la teor´ıa de conjuntos para ello. En los cuatro cap´ıtulos siguientes se aborda las funciones continuas, las funciones de variaci´on acotada, las derivadas e integrales de funciones de una variable.

Paul Tannery en su cr´ıtica de 1893 al libro de Jordan en el Bulletin des sciences math´ematiques, plantea que ´este se limita a lo estrictamente necesario para la sucesi´on de proposiciones, as´ı, Jordan no expone ni la noci´on de conjunto denso ni la de potencia, pero plantea que en los primeros cap´ıtulos se exponen los principios de la forma m´as s´olida de manera que parece ser definitiva. As´ı, se tiene que la teor´ıa de conjuntos se instauraba en Francia, a trav´es de Jordan como una rama de utilidad para el an´alisis, y en palabras de Lebesgue:

Al atreverse a incorporar partes de la teor´ıa de conjuntos en sus cursos en la Escuela Polit´ecnica, Jordain reivindic´o de alguna manera esta teor´ıa,23_{´el confirm´o que se trata de una rama ´util de}

las matem´aticas. El hace algo m´as que afirmarlo, lo prueba para sus investigaciones [...] que han influenciado ciertos trabajos, los m´ıos en particular.24

23_{Esta referencia se hace para Francia, porque como se ha visto, ya en Italia Peano en} 1884 hab´ıa incorporado la teor´ıa de conjuntos como base para sus desarrollos en el c´alculo. 24_{En [Gispert, 1995, p. 50] citando: Notice sur les travaux scientifiques, Oeuvres I , de} Lebesgue en 1922.

Cap´ıtulo 3. Expansi ´on y enfoques de la teor´ıa de conjuntos

[Gispert, 1995, p. 52] enuncia los t´ıtulos de los cursos dictados por Borel, Lebesgue y Baire en teor´ıa de funciones en l’ ´Ecole Normale ou au Coll`ege de France. Durante los primeros diez a˜nos hay seis de Borel: Le¸cons sur la th`eorie des fonctions, de 1898; Le¸cons sur les fonctions enti`eres, de 1900; Le¸cons sur les s´eries divergentes, de 1901; Le¸cons sur les s´eries `a termes positifs, de 1903; Le¸cons sur les fonctions m´eromorphes, de 1905 y Le¸cons sur les fon- ctions de variables r´eelles et les d´eveloppements en s´eries de polynˆomes, de 1906. Hay dos de Lebesgue, que se titulan Le¸cons sur l´ıntegration et la recher- che des fonctions primitives de 1904 y Le¸cons sur les s´eries trigonom´etriques de 1906, y parece uno de Baire Le¸cons sur les fonctions discontinues de 1905.

Lo anterior muestra el gran inter´es que hab´ıa en la teor´ıa de funciones, de la cual Lebesgue dice en 1906:“la teor´ıa moderna de las funciones [. . .] con su lenguaje flexible y preciso se debe a la introducci´on sistem´atica de la noci´on de conjunto [Gispert, 1995, p. 52]”.

Le¸cons sur la th`eorie des fonctions,([Borel, 1898]) es una publicaci´on de los resultados de la tesis que Borel hizo en teor´ıa de funciones. En el texto se presenta una detallada descripci´on de la teor´ıa de conjuntos y las nuevas no- ciones sobre medida. Borel se sinti´o atra´ıdo a “aterrizar”problemas como la medida de la longitud de la circunferencia, donde entre otras cosas defini´o la clase de conjuntos medibles (Borelianos). En el prefacio de este libro, Borel plantea que el libro se dedica a teor´ıa de conjuntos, sin embargo, el t´ıtulo se debe a que al hablar de conjuntos, Borel no perd´ıa de vista las aplicaciones. Este libro es igualmente famoso porque en ´el aparece la prueba del teorema de Cantor - Bernstein.

El contenido del libro es el siguiente:

1. Nociones generales sobre los conjuntos.

La noci´on de conjunto, La noci´on de potencia, Los conjuntos numerables, Comparaci´on de conjuntos numerables con los otros conjuntos, Los conjuntos que tienen la potencia del continuo.

2. Los n´umeros algebraicos y la aproximaci´on de los inconmen- surables.

Generalidades sobre los n´umeros algebraicos, El conjunto de los n´umeros algebraicos es numerable, Las investigaciones de Liouville, La

aproximaci´on de los n´umeros inconmesurables.

3. Los conjuntos perfectos y los conjuntos medibles.

Los conjuntos cerrados y los conjuntos perfectos, Los conjuntos perfectos que no son densos en ning´un intervalo, Los conjuntos medibles.

4. La extensi´on anal´ıtica.

La definici´on de extensi´on anal´ıtica, Un teorema de Poincar´e y Volterra, Nota de Weierstrass sobre las series de funciones uniformes.

5. Sobre la convergencia de algunas funciones reales.

Definici´on de las series estudiadas, Series de una sola variable, Series de dos variables, Curvas de convergencia uniforme.

6. La noci´on de funci´on de una variable compleja.

Funciones anal´ıticas y expresiones anal´ıticas, El teorema de Mitag - Le✏er, Las representaciones anal´ıticas conocidas, Notas sobre las series de fracciones racionales, Estudio de algunas series de fracciones simples, Propiedades esenciales de las series estudiadas. - Conclusi´on.

El contenido de este libro se puede dividir en dos partes, la primera correspon- diente a teor´ıa de conjuntos de puntos, la segunda parte a teor´ıa de funciones. N´otese que en el primer cap´ıtulo la noci´on de potencia se centra ´unicamente en los conjuntos numerables y en los equipotentes con el continuo, asumiendo as´ı solo una peque˜na parte de la teor´ıa cantoriana de conjuntos. As´ı mismo es notoria la ausencia de la concepci´on de ordinal.

Borel se aproxima a la idea de conjunto como una colecci´on de un n´umero finito o infinito de objetos cualesquiera, sin embargo no propone una defin- ci´on de conjunto ya que “al parecer es una noci´on suficientemente primitiva, por lo que una definici´on ser´ıa, a lo menos, innecesaria”[Borel, 1898, p. 1]. En ese sentido, propone ejemplos de lo que es conjunto y de lo que no es, exponiendo como ejemplos el conjunto de los n´umeros racionales, el conjun- to de n´umeros positivos, el conjunto de funciones continuas de una variable real, el conjunto de puntos sobre una circunferencia dada donde los senos son inconmesurables, etc.

Cap´ıtulo 3. Expansi ´on y enfoques de la teor´ıa de conjuntos

Lo anterior sirve para reforzar la idea de que sus intereses en teor´ıa de conjuntos no apuntan hacia su fundamentaci´on, sino que ve a ´esta como una herramienta para sus desarrollos anal´ıticos en la teor´ıa de funciones. Sin embargo, Borel no deja de reconocer el atractivo de esta teor´ıa, quiz´as de la parte que no se aplicaba a la teor´ıa de funciones (como la de las cardinalidades mayores) al plantear la siguiente cita:

Al igual que a muchos matem´aticos j´ovenes, la teor´ıa de conjuntos me ha cautivado inmediatamente; y no me arrepiento de ´esto en lo m´as m´ınimo porque es un ejercicio mental que abre la mente[Graham y Kantor, 2009, p. 40].

De otro lado, el tr´ıo franc´es, como Graham y Kantor llaman a Borel, Baire y Lebesgue, es reconocido por rechazar el uso del axioma de Zermelo en las matem´aticas, sin embargo, hay diferencias sutiles entre si en la aceptaci´on de los ordinales de la segunda clase. Borel y Baire no se refieren a cardinales, pero se entiende que no aceptan !1. Los ordinales transfinitos los usan s´olo

como plantilla (o como especie de contador cuando se agota N), pero no los conciben con car´acter n´um´erico. La gran diferencia de estos dos con Lebesgue es que el ´ultimo si acepta el l´ımite !1. Relativo a ello se puede hablar de dos

tipos de existencia:

- La existencia constructiva de Baire: se presenta al describir objetos me- diante procesos en los cuales se utilicen ´unicamente los ordinales de primera o segunda clase (sin admitirlos como una totalidad) de la teor´ıa cantoriana de conjuntos.

- La existencia constructiva de Lebesgue: los objetos se describen a trav´es de procesos que hacen uso de la totalidad de los ordinales de segunda clase.

En este sentido se est´a reeditando una antigua discusi´on entre Dedekind, Kronecker y Cantor, acerca del problema de la existencia de objetos ma- tem´aticos.25

25_{Para ampliar sobre esta discusi´on ver [Dedekind, 1888, p. 105] y [Ferreir´os, 2006, pp.} 38-40 y 105-108] en donde se hace referencia a las restricciones de Kronecker a la libre construcci´on de objetos matem´aticos y a la respuesta de Cantor a estas objeciones.

Este es s´olo un aparte del problema de existencia, en el cual la m´as intere- sante discusi´on se da entorno al axioma de elecci´on, en el que es famoso el intercambio de estos tres con Hadamard. Baire, Borel y Lebesgue se oponen a las demostraciones en las que interviene el axioma de elecci´on, Hadamard lo ve plausible.

As´ı, Borel, Baire y Lebesgue, fueron receptores moderados de las nociones sobre transfinitos de Cantor, ellos hacen uso s´olo de los ordinales transfinitos de hasta segunda clase, no como n´umeros, pero si como ´ındices cuando la plantilla de los n´umeros naturales no era suficiente. A pesar de ello, el pro- pio Ren´e Baire en su tesis doctoral de 1899 en la que propone y aborda un problema concerniente a la teor´ıa de funciones, prev´e que la soluci´on de este problema est´a en los desarrollos de la teor´ıa de conjuntos.

Para cerrar este apartado, se puede resumir planteando que la teor´ıa de conjuntos se retroalimentaba de la teor´ıa de funciones, adquiriendo una mayor acogida en la Escuela de Par´ıs, especialmente con los trabajos de Baire, Borel y Lebesgue, tanto as´ı que el primero de estos planteaba que la teor´ıa de funciones pod´ıa desplegar sus mejores problemas s´olo con los avances en teor´ıa de conjuntos de puntos, que representa la primera etapa de Cantor:

La teor´ıa de conjuntos de puntos juega un papel muy importante en estos m´etodos;26 _{se puede as´ı mismo decir que, en el orden de}

ideas en que nosotros nos hemos movido, todo problema relativo a la teor´ıa de funciones conduce a ciertas cuestiones relativas a la teor´ıa de conjuntos; y en la medida en que estas ´ultimas cuestiones est´en avanzadas, puede que sea posible resolver m´as o menos el problema planteado [Baire, 1899].

As´ı, de los tres enfoques sobre la teor´ıa de conjuntos planteadas en el apartado 3.1, se puede asociar a Baire, Borel y Lebesgue con la primera etapa de Cantor, en la que se concibe a la teor´ıa de conjuntos como una herramienta de la teor´ıa de funciones, que es el ´area central de inter´es de los tres franceses.

26_{En concreto, Baire se refiere a los m´etodos usados para demostrar la existencia de} funciones de cada una de las clases de su jerarqu´ıa definida en su tesis de 1899.

Cap´ıtulo 3. Expansi ´on y enfoques de la teor´ıa de conjuntos