Algunas aplicaciones

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Ejemplo 1

Cotización futura de las UDIS

Suponiendo que las unidades de inversión,UDIS, aumentan su cotización en 475 millonésimas

de pesos por día, ¿qué día estarán a $4.203193, si el primer día del mes valieron $4.191318?

Para encontrar el número de días, n, en la ecuación del teorema 2.1 se reemplazan: a₁por 4.191318, a_npor 4.203193 y d, la diferencia común, por 0.000475.

4.203193 = 4.191318 + (n − 1)(0.000475) a_n= a₁+ (n−1)d

de donde con algunos pasos algebraicos queda

25 = n − 1 25 + 1 = n es decir el 26º día 4.203193 4.191318 0.000475 1 − _{= −} n CⴝⲐx 789 4 ⴚ ⴙ 56 123 0 .ⴝ

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Ejemplo 2

Devaluación de la moneda nacional

Si la moneda se devalúa 2 milésimas de peso por día, ¿cuánto se devaluará en 6 meses? Si el 10 de enero la paridad fue de $11.37 por dólar, ¿cuál será para el 15 de mayo siguiente?

a) La devaluación que se alcanza en 6 meses (180 días) es simplemente la multiplicación del

número de días por la devaluación diaria en pesos.

180(0.002) = $0.36 o 36 centavos

b) Con ayuda de un calendario o de la tabla 1 del apéndice (véase pearsoneducacion.net/

villalobos), notamos que el 15 de mayo corresponde al 136º día del año. Si a₁es la pari- dad del 10 de enero, entonces la del 15 de mayo será a₁₂₆. La diferencia común en pesos es d = 0.002, por lo que

a_l26= a_l+ (126 − l)d 136 − 10 = 126 días

a_l26= 11.37 + 125(0.002) y, finalmente,

a_l26= 11.62 será el valor de cada dólar el 15 de mayo

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Ejemplo 3

Fondo de ahorro con renta creciente

¿Cuánto acumulará el señor Hernández si realiza depósitos semanales durante 12 meses, sin incluir intereses, comenzando con $260 e incrementando los siguientes depósitos en $20 cada 4 semanas? ¿Por qué cantidad será el último pago?

a) En 12 meses, es decir, en un año, se tienen 52 semanas y si los pagos crecen cada 4, en-

tonces tenemos 13 grupos de 4, donde cada uno forma una progresión aritmética con:

a₁= 260, el primer término, el primer depósito d = 20, la diferencia común

n = 13, el número de términos

La suma de los 13, según la ecuación del teorema 2.2, es, entonces,

S₁₃= (13/2)[2(260) + (13 − 1)20] S_n= (n/2)[2a₁+(n−1)d] S₁₃= (13/2)(760) o S₁₃= 4,940

El total que se invierte en las 52 semanas es igual a 4 veces este resultado: 4(4,940) = $19,760

b) El último pago es igual al término decimotercero de la sucesión: 260, 280, 300, ... y es-

tá determinado por:

a₁₃= 260 + (13 − 1)20 o a₁₃= $500

Puesto que el primer término es a₁= 260 y la diferencia es d = 20.

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Ejemplo 4

Utilidades y capital reinvertido por una constructora

En 2002 las utilidades de la compañía constructora VIPAR, S.A., fueron de 18 millones de pesos. En 2005 fueron de 20.25 millones. Suponiendo que el incremento se sostiene de ma- nera geométrica, determine:

a) La tasa de incremento anual en las utilidades. b) Las utilidades que se estima tendrá en el año 2014.

c) La reinversión total entre 2002 y 2014 inclusive, si la empresa reinvierte el 45% de sus

ganancias.

a) Si las utilidades de 2002 son U₁, las de 2003 son U₂= U₁+ U₁(v) o U₂= U₁(1+ v) Donde v es la tasa de crecimiento. Las de 2004 y 2005 son, respectivamente,

U₃= U₁(1+ v)2 _{y U}

4= U1(1+ v)3

Dado que U₁= 18 y U₄= 20.25 millones, al sustituir en la última de estas igualdades, quedará: 20.25 = 18(1 + v)3 _{ya que a} 4= a1r n−1 de donde 20.25/18 = (1 + v)3 1.125 = (1 + v)3 1 + v = 1 + v = 1.040041912 v = 1.040041912 − 1, por lo tanto, v = 0.040041912

Significa que el incremento anual en las utilidades fue del 4% aproximadamente.

1 125

3 _.

b) Las utilidades del 2014 tendrán 12 incrementos respecto de las de 2002, por esto serán U₁₃= 18(1.040041912)12

U₁₃= 18(1.601806649)

U₁₃= 28.83251968 millones de pesos

c) Para hallar el capital que se reinvierte es necesario sumar las utilidades de los 13 años, las

cuales conforman una serie geométrica con:

a_l= 18 millones, el primer término r = 1.040041912, la razón constante n = 13, el número de términos

La suma, tal como se estudió en la sección 2.3, es: ya que S_n= 18(16.63122505) S_n= 299.3620509 De esto, el 45% se reinvierte: 0.45(299.3620509) = 134.7129229 o $ 134’712,922.90 S a r r n n = 1 1 1 − − Sn = 18 1 1 040041912 1 1 040041912 13 −

(

)

−

(

)

. .

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Ejemplo 5

Precio futuro de un bien con devaluación

¿Dentro de dos años cuál será el precio en moneda nacional de una impresora digital, cuyo pre- cio actual es de US$9,750, mismo que se incrementa un 1.8% cada semestre? Considere que la moneda se devalúa un 0.5% cada mes y el tipo de cambio actual es $11.21 por cada dólar.

Para calcular el valor del dólar al cabo de 2 años, suponga que P₀es el tipo de cambio ac- tual, por lo que dentro de 1 mes éste será:

P₁= P₀+ 0.005P₀ P₁= (1.005)P₀

Al final del segundo mes, será un 0.5% mayor:

P₂= P₁+ 0.005P₁ P₂= (1.005)P₁

P₂= (1.005)(1.005)P₀ porque P₁= 1.005P₀

P₂= (1.005)2_P

0 ya que a(a) = a2

Continuando de forma semejante, se llegará a que al finalizar el vigésimo cuarto mes, el tipo de cambio será: CⴝⲐx 789 4 ⴚ ⴙ 56 123 0 .ⴝ

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P₂₄= (1.005)24_P

0= (1.127159776)(11.21) ya que P0= 11.21

o P₂₄ = $12.63546109

De manera semejante, el precio de la impresora en dólares dentro de 4 semestres será:

C= 9,750(1.018)4

C= 10,471.18247 US dólares

y en moneda nacional será:

C = 10,471.18247(12.63546109)

o C = $132,308.22

Observe usted que si el tipo de cambio actual es P₁, en vez de P₀, entonces al término del 24º mes será P₂₅y P₂₅= P₁(1.005)24_{porque P}

n= P1(r)n−1según el teorema 2.3, y lo mismo puede decirse de C.

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Ejemplo 6

Monto en el fondo de ahorro para el retiro

¿Qué cantidad, sin contar intereses ni descuentos por comisiones, tendrá en su fondo de aho- rro para el retiro dentro de 10 años, un trabajador que ahora gana 35 mil pesos anuales. La aportación anual que hace a su Afore es del 6.5% de su salario y éste crece a razón del 4.5% por año? Considere que la primera aportación es en este año.

La aportación en el primer año es un 6.5% de su salario:

A₁= 35,000(0.065) = 2,275.00

En el segundo, es un 4.5% mayor, ya que así es como aumenta su salario:

A₂= 2,275 + 0.045(2,275) A₂= 2,275 (1.045) x + xa = x(1 + a) A₂= 2,377.38 En el tercero es: A₃= ((2,275(1.045))(1.045) A₃= 2,275(1.045)2_{= 2,484.36}

Es posible apreciar que las 10 aportaciones anuales constituyen una serie geométrica, cuya razón es 1.045; por lo tanto, la suma es

S₁₀= 2,275(12.28820938) S₁₀= $27,955.68 S a r r m m = − − 1 1 1 S₁₀ = 2, 275 1 1 045 1 1 045 10 − − ( . ) .

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Ejemplo 7

Pérdida del poder adquisitivo

Considerando que el poder adquisitivo de la moneda se pierde en un 5.2% anual, determinar:

a) ¿En qué porcentaje se reduce el poder de compra en 5 años? b) ¿Cuál es la pérdida mensual en porcentaje?

c) ¿De qué porcentaje deberá ser el incremento salarial anual para recuperar el poder de

compra original?

a) Si a₁es lo que ahora se compra, digamos, con mil pesos, en un año se comprará un 5.2% menos, es decir,

a₂= a₁− (0.052)a₁

a₂= a₁(1 − 0.052) o a₂= a₁(0.948) En dos años se pierde otro 5.2% y, por eso,

a₃= a₂− (0.052)a₂

a₃= a₂(1 − 0.052) o a₃= a₂(0.948)

a₃= [a₁(0.948)](0.948) ya que a₂ = a₁(0.948)

a₃ = a₁(0.948)2 _{a(a) = a}2

Se aprecia que estos valores forman una progresión geométrica, donde la razón es r= 0.948 y, por lo tanto, la capacidad de compra al final del quinto año, cinco años después de ahora será:

a₆ = a₁(0.948)5_{o a}

6 = a1(0.765670098).

Esto quiere decir que, al cabo de 5 años, se comprará solamente el 76.567% de lo que se compra ahora.

Puesto que 0.765670098 puede escribirse como 1 − 0.23432992, a₆es expresable como:

a₆= a₁(1 − 0.23432992)

Esto significa que la pérdida del poder adquisitivo será del 23.432992%, que, claro, también se obtiene con la diferencia

100 − 76.5670098 Pérdida del poder adquisitivo

La devaluación de la moneda, la inflación, el desempleo y otros factores son la causa de que la moneda de un país pierda su capacidad para adquirir bienes y servicios, con el paso del tiempo.

Aunque esta pérdida podría darse y comportarse de varios modos, a continuación analiza- mos uno donde se supone que la tasa de variación se mantiene fija y de forma geométrica.

b) Si v es la pérdida mensual, entonces el poder de compra es 1 − v y en los 12 meses será

(1 − v)12_{que, a la vez, debe ser igual al poder de adquisición dado por año: 1 − 0.052 o} 0.948, esto es,

(1 − v)12_{= 0.948} de donde 1 − v =

1 − v = 0.995559822 o v= 0.004440178

Y esto se interpreta como el 0.444% mensual, aproximadamente, suponiendo, claro, que la tasa se mantiene fija durante los meses del año.

c) Si con mil pesos al comenzar el año se compraban 10 kilogramos de frijol, digamos, al

final se pueden comprar solamente 9.48 kilogramos. ¿Por qué? Por lo tanto, deberá cum- plirse que 9.48 + (9.48)x = 10, donde x es el incremento en el salario para recuperar el po- der de adquisición original. Para despejar x, se factoriza el 9.48, se pasa dividiendo y al final se resta la unidad, es decir,

9.48(1 + x) = 10 1 + x = 10/9.48

x= 0.054852321 o 5.485%, aproximadamente

Es importante señalar que siempre que cualquier cantidad se reduzca con una tasa fija, se puede proceder como en este ejemplo. Resolvamos otro para confirmar lo anterior.

0 948

12 _.

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Ejemplo 8

Reducción de la deuda externa del país

Si la deuda externa de un país se reduce anualmente un 2.75%, ¿cuánto se reduce en un pe- riodo presidencial de seis años?

Se designa con D₀la deuda original, es decir, la del primer año. Puesto que la deuda se re- duce 2.75% en cada año, en el sexto será:

D₆= (1 − 0.0275)6_D 0

D₆= (0.845936297)D₀

D₆= (1 − 0.154063703)D₀entonces,

D₆= D₀ − 0.154063703 D₀

Esto quiere decir que se reduce 15.41%, aproximadamente, en el sexenio.

Note que la reducción total no es igual a la multiplicación de la anual por el número de años, sino menor. ¿Por qué?

Ejercicios 2.4

1. ¿Cuánto costará el litro de gasolina en el mes de noviembre, si en mayo del año anterior cos- taba $6.57 y aumenta 4 centavos por mes?

2. El 28 de julio de 2004 las denominadas unidades de inversión (UDIS) se cotizaron en $3.4183.

In document Matemáticas Financieras - Villalobos - 3edi (página 96-103)