Amortización con interés simple

Definición 3.6

Amortizar es el proceso de cancelar una deuda y sus intereses mediante pagos periódicos.

Cuando el número de pagos es relativamente corto, el problema se resuelve considerando pago tras pago como en los ejemplos que preceden; pero si son muchos, resulta poco práctico hacerlo de esta manera y entonces se utilizan fórmulas que luego se justifican.

También es cierto que existen, por lo menos, tres maneras diferentes de considerar los car- gos por intereses al amortizar un crédito:

Con interés global. Con interés simple. Con interés compuesto.

En el capítulo 5 se estudiarán las amortizaciones de renta fija con interés compuesto. Amortización de renta fija

En la amortización con interés global, los pagos son todos iguales, ya que el interés total se di- vide entre el número de pagos y el resultado se suma al pago a capital, llamado amortización. Es importante y oportuno señalar que abono y amortización son diferentes, ya que una par- te de cada abono es para cubrir los intereses del periodo, y la otra, es decir, la amortización, se destina al capital que se adeuda haciendo que con cada pago se reduzca; esto es:

ABONO = INTERESES + AMORTIZACIÓN,

tal como se aprecia en el ejemplo.

Ejemplo 1

Amortización de un crédito con pagos fijos

¿Cuál es el abono mensual con el que se amortiza un préstamo de $90,450 en año y medio, si se cargan intereses del 3.5% simple, es decir, global mensual?

CⴝⲐx 789 4 ⴚ ⴙ 56 123 0 .ⴝ

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solución

Los intereses a pagar en cada mes están dados por I= C (i) donde

C= 90,000, el valor de la deuda i= 0.015, la tasa de interés mensual y I= 90,000(0.015) o I = $1,350.00

Por otro lado, la amortización es igual al cociente de la deuda, entre el número de pagos:

A= 90,000/18 o A= 5,000

y cada pago, intereses y amortización, es, por lo tanto,

R= 1,350 + 5,000 o R= $6,350

Por supuesto que este resultado también puede obtenerse con la fórmula del interés simple:

M= 90,000[1 + (0.015)18] M= C(1 + in) M= 114,300

Por lo que cada pago es:

R= 114,300/18 o R= $6,350

que es igual al anterior.

Note usted que esta forma de amortizar una deuda es muy injusta e ilegal, porque, por ejem- plo, al hacer el último abono, puesto que lo que se debe son solamente $5,000 de los cuales se están cargando $1,350 de intereses, resultan intereses del 27% mensual, porque

1,350/5,000 = 0.27 i= I/C

Estos $5,000 que se deben al efectuar el último abono y los $10,000 que se deben al hacer el penúltimo y los restantes, sin contar intereses, claro, se conoce como capital vivo de la deuda, deuda viva, remanente o más comúnmente como saldo insoluto, y lo más justo se- rá que los intereses se calculen sobre este valor, que en general es lo que se debe del crédito original, al hacer un pago cualquiera sin incluir intereses.

Ejemplo 2

Crédito que se amortiza con pagos semanales fijos

¿De qué tamaño es el crédito que se amortiza con 13 pagos semanales de $2,500 con interés global anual del 7.54%?

Amortización de renta variable

Que los intereses en cada pago se calculan sobre el saldo insoluto, sobre la deuda viva, dará co- mo resultado que cada abono sea menor que el anterior, ya que los intereses bajan si se reduce la deuda, aunque también pueden prorratearse para que todos sean iguales, como se verá en el ejemplo 5 y los que le siguen.

solución

Si C es el crédito, entonces la amortización semanal es A= C/13 y los intereses de cada pe- riodo semanal son I= (0.0754/52)C o I = 0.00145C, entonces, cada abono debe ser igual a $2,500, o sea:

C/13 + 0.00145C = 2,500

de donde C(1/13 + 0.0145) = 2,500 se factoriza C

C(0.078373077) = 2,500

C= 2,500/0.078373077 o C= $31,898.71

Se deja como ejercicio comprobar este resultado, procediendo como en el ejemplo 1.

solución

Ejemplo 3

Amortización de un crédito con renta variable

Usted compra un televisor de $6,500 con un pago inicial del 20%, y después 8 abonos men- suales con cargos del 12% simple anual sobre saldos insolutos. Hallar los pagos y los inte- reses.

a) Luego de dar el anticipo, y hasta el final del primer mes, cuando se hace el primer abo-

no, la deuda es del 80% del precio:

C= 0.80(6,500) o C= $5,200

La amortización, es decir, el abono al capital en cada pago, es:

A= 5,200/8 o A= 650

Los intereses al efectuar el primer abono son:

I₁= 5,200(0.12/12)

I₁= 5,200(0.01) o I₁= $52

Los intereses para el segundo abono, puesto que la deuda ya se redujo en $650, son

I₂= 4,550(0.01) o I₂= 45.50

Para el tercer pago, la deuda se redujo en otros $650 y los intereses son:

I₃= 3,900(0.01) o I₃= 39.00

Continuando de esta manera se llegará hasta el último pago, donde la deuda viva, dado que se han realizado 7 abonos de $650 al capital, es

5,200 − 7(650) = 650

Esto, como era de esperarse, es igual a la amortización. Los intereses son ahora

I₈= 650(0.01) o I₈= $6.50

Y los 8 abonos, incluyendo intereses, son los siguientes, que se obtienen sumando a ca- da amortización de $650.00 los intereses del periodo, es decir,

R₁= 650.00 + 52.00 o R₁= 702.00 R₂= 650.00 + 45.50 o R₂= 695.50 R₃= 650.00 + 39.00 o R₃= 689.00

y así sucesivamente, hasta

R₈= 650.00 + 6.50 o R₈= 656.50

b) El total que se carga por intereses es la suma de los intereses en cada abono, esto es, I= 52.00 + 45.50 + 39.00 + . . . + 6.50

que constituye una serie aritmética con:

a₁= 52.00, el primer término d= −6.50, la diferencia común y n= 8, el número de términos

entonces, la suma, es decir, el total de intereses es

I= (8/2)[2(52) + (7)(−6.50)] S_n= (n/2)[2a₁+ (n − 1)d] I= 4(58.50) o I= $234.00

que puede comprobarse sumándolos uno por uno.

Ejemplo 4

Crédito con intereses sobre saldo

El último de 15 abonos quincenales que amortizan un crédito es de $3,016.50. ¿Por qué can- tidad es el crédito, si se consideran intereses del 13.20% sobre saldos insolutos?, ¿y de cuán- to es cada pago? CⴝⲐx 789 4 ⴚ ⴙ 56 123 0 .ⴝ

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Intereses sobre saldos insolutos (renta fija)

En los ejemplos 3 y 4 los intereses y los pagos son variables, y se reducen conforme transcu- rre el tiempo. Ahora consideramos el caso en que la totalidad de intereses se divide entre el nú- mero de abonos y, en consecuencia, todos resultan iguales, por lo que el acreedor recibirá can-

solución

a) Si C es el capital, es decir, el crédito, la amortización quincenal es A= C/15, porque son

15 abonos. Los intereses del último pago son

I₁₅= (C/15)(0.132/24) I= Ai

o I₁₅= C(0.000366667)

El último pago es, entonces,

R₁₅= C/15 + C(0.000366667) Amortización + intereses o R₁₅= (0.067033333)C Se factoriza C Por lo tanto, (0.067033333)C= 3,016.50 de donde C= 3,016.50/0.067033335 o C = $45,000.00 b) Los intereses del primer abono son, entonces,

I= 45,000(0.132/24) o I= 247.50

y la amortización constante es

A= 45,000/15 o A= 3,000

Entonces, el primer pago es

R₁= 3,000.00 + 247.50 o R₁= $3,247.50

Los intereses del segundo, puesto que ya se redujo la deuda en 3,000, son

I₂= 42,000(0.132/24) I₂= 231.00

Por lo que el segundo es

R₂= 3,000 + 231 o R₂= $3,231

El tercero y los demás se obtienen restando sucesivamente la diferencia entre los dos abonos: 3,247.50 − 3,231.00 = $16.50

diferencia que es equivalente a los intereses del último pago. ¿Por qué? Entonces,

R₃= 3,231.00 − 16.50 o R₃= $3,214.50

R₄= 3,214.50 − 16.50 o R₄= $3,198.00 etcétera

tidades menores en la primera parte del plazo, y mayores en la segunda, comparando, claro, con lo que recibiría con rentas que decrecen.

Esta opción es más equitativa que cuando los intereses se cobran y se cargan de manera glo- bal sin considerar que la deuda se reduce en cada amortización. Se trata de una equidad que se desvanece cuando la inflación es considerablemente alta o la operación es a largo plazo.

Procediendo como en los dos ejemplos que preceden, se obtiene una fórmula que se formu- la en el teorema 3.4

solución

Ejemplo 5

Fórmula general

Suponga que se compran computadoras con un crédito de $27,000, que se liquidan con 9 abonos mensuales con cargos del 12% simple anual sobre saldos insolutos. Hallar el tamaño de cada abono, suponiendo que son iguales, y los intereses.

La amortización, es decir, el abono que se hace al capital con cada pago es un valor constan- te y está dado por:

A= 27,000/9 o A= 3,000

que en general estará dada por A= C/n, donde n es el número de pagos y C la deuda original. Los intereses del último abono, como se observa en los ejemplos 3 y 4, están dados por

I= 3,000(0.12/12) o I= 30

que se generaliza como I= (A)(i), donde i es la tasa de interés por periodo o tiempo entre un pago y otro. Este interés coincide siempre con la diferencia entre los intereses, es decir, es el valor en que se reducen los intereses de un abono al que le sigue.

Los intereses del primer periodo mensual son

I₁= 27,000(0.12/12) o I₁= $270

Luego de hacer el primer pago, la deuda viva es

27,000 − 3,000 = 24,000 y los intereses ahora son

I₂= 24,000(0.01) o I= $240

Como se dijo, la diferencia con los primeros es de $30. El total que se carga por intereses es igual a la serie aritmética:

I= 270 + 240 + . . . + 60 + 30

o I= 30 + 60 + . . . + 240 + 270, ya que a+ b = b + a

La suma, por lo tanto, se evalúa con la fórmula del teorema 2.2, donde n= 9, el número de términos, es decir, de pagos. El primer término es a₁= 30 y a₁= A(i) y esto es igual a d, la diferencia común, por lo tanto:

Note que:

El saldo insoluto se mantiene fijo desde que se hace un pago hasta inmediatamente antes de hacer el siguiente, es decir, los intereses se vuelven efectivos hasta que se realiza el pago. Esta fórmula es útil para relacionar un capital C, no necesariamente una deuda, al inicio del plazo con n pagos, que se hacen al final de cada periodo devengando un interés simple so-

bre saldos insolutos.

Es aproximada porque se distribuyeron los intereses de manera uniforme, y en realidad son mayores en la primera parte del plazo.

S₉= (9/2)[2(30) + (8)(30)] S_n= (n/2)[2a₁+ (n − 1)d] S₉= (9/2)(300) o S₉= 1,350

Al dividir entre 9, el número de pagos, se obtienen los intereses de cada uno I= 1,350/9 o I= 150, que al sumarse con cada amortización la renta o el pago mensual resulta:

R= 3,000 + 150 o R= $3,150

Teorema 3.4

Una deuda C se amortiza con n pagos periódicos iguales, según la ecuación:

R= (C/2n)[(n + 1)i + 2]

donde:

i es la tasa de interés simple por periodo sobre saldos insolutos, y R es el abono periódico, la renta,

Note que la suma de intereses en general es:

S_n= I = (n/2)[2(Ai) + (n − 1)Ai] a₁= Ai = d I= (n/2)Ai[2 + n − 1] se factoriza Ai

I= (n/2)(C/n)i(n + 1) A= C/n

I= (Ci/2)(n + 1) se cancela n

Para los intereses de cada periodo, este resultado se divide entre n, el número de pagos, luego se suma la amortización C/n y se obtiene el valor de cada pago, esto es

C/n= 2C/2n

Se factoriza C/2n y se obtiene la fórmula del siguiente.

R Ci n n C n = ( + +1) 2 2 2 R Ci n n C n =( / )(2 + +1)

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solución

Ejemplo 6

Compruebe el ejemplo 5 con la fórmula del teorema 3.4.

Los valores a sustituir en la fórmula R= (C/2n)[(n + 1)i + 2] son

C= 27,000, la deuda inicial

n= 9, el número de pagos mensuales i= 0.01, la tasa de interés simple mensual

Entonces,

R= (27,000/18)[(9 + 1)(0.01) + 2] 2n = 2(9) = 18 R= (1,500)(0.1 + 2)

R= (1,500)(2.1) o R= $3,150

que es igual al que se obtuvo en el ejemplo 5.

solución

Ejemplo 7

Amortización de un crédito con intereses sobre saldos insolutos Un crédito se amortiza con 20 abonos semanales fijos de $3,750 e intereses del 0.0325% simple diario. Determine:

a) El valor del crédito, es decir, el capital. b) El total que se paga por intereses.

Para obtener el valor del crédito en la ecuación 3.5 se reemplazan:

R por 3,750, la renta o pago semanal n por 20, el número de abonos

i= 0.000325(7) o i = 0.002275, la tasa de interés semanal

Entonces:

3,750 = (C/40)[(20 + 1)(0.002275) + 2] 3,750(40) = C(0.047775 + 2)

150,000 = C(2.047775)

de donde: C= 150,000/2.047775 o C = $73,250.24

b) Los intereses son la diferencia entre el capital recibido en el crédito y el total que se pa-

gó en los 20 abonos. I= 20(3,750) − 73,250.24 o I= $1,749.76 CⴝⲐx 789 4 ⴚ ⴙ 56 123 0 .ⴝ

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Relación entre interés simple e interés global

Si en el ejemplo 7 los intereses se dividen entre el crédito, se obtiene la tasa de interés global total g:

g= 1,749.76/73,250.24

g= 0.02388743 o 2.388743%, aproximadamente

y al dividir esto entre los 20 periodos semanales, se obtiene la tasa de interés global semanal: 0.02388743/20 = 0.001194372 o 0.1194372%

De aquí que para obtener una fórmula genérica para relacionar las tasas de interés global y sim- ple en amortización con interés simple, se observa lo siguiente

La tasa global es g= I/C donde los intereses son I = nR − C; esto es, el total que se paga en los n abonos, menos el capital que originalmente se debe, y por eso al sustituir queda:

g= (nR − C)/C g= I/C

g= nR/C − C/C o g= (n/C)R − 1 C/C= 1

Pero la renta, según el teorema 3.4, está dada por:

R= (C/2n)[(n + 1)i + 2] por lo tanto, al sustituir queda

g= (n/C)(C/2n)[(n + 1)i + 2] − 1

g= (1/2)[(n + 1)i + 2] − 1 se cancelan n y C

g= (1/2)(n + 1)i + (1/2)2 − 1 a(b+ c) = ab + ac

g= (n + 1)(i/2) (1/2)i= i/2 y se cancela el 1 que se formula en el siguiente. . .

Teorema 3.5

La tasa de interés global total g en amortizaciones con interés simple y pagos iguales es:

g= (n + 1)(i/2)

donde i la tasa de interés simple por periodo y n es el número de pagos o periodos.

Ejemplo 8

Interés global en la amortización de un crédito En el ejemplo 7, la tasa de interés global total, según el teorema 3.5, es:

g= (20 + 1)(0.002275/2)

g= 0.0238875 o 2.3887%, igual a la que se obtuvo antes.

Saldo insoluto

Para liquidar de inmediato una deuda o para refinanciarla completamente antes de amortizarla, es necesario conocer el saldo insoluto al efectuar un pago cualquiera.

Este saldo es igual a la multiplicación de una amortización C/n por el número de abonos que faltan al efectuar el pago k-ésimo y si n es el total de pagos, entonces n− k son los que faltan. Entonces:

solución

Ejemplo 9

Comparación de tasas al comprar un automóvil

A Juan le ofrecen un automóvil a crédito con 30 mensualidades e interés global total del 15%, y en otra agencia se lo venden con el 12% de interés simple anual, ¿qué le conviene más?

La tasa por periodo mensual en la segunda opción es i= 0.12/12 o i = 0.01, y el número de pagos es 30, entonces la tasa global total equivalente, según el teorema 3.5, es:

g= (30 + 1)(0.01/2) g= (n + 1)(i/2) g= 0.155 o 15.5%

Como éste es mayor que el 15% de la primera opción, ahí compra el automovil. Note usted que no importan la magnitud de los pagos ni el precio del automóvil.

Teorema 3.6

En la amortización de una deuda con interés simple, luego de hacer el k-ésimo abono, el saldo insoluto está dado por:

S= (n − k)(C/n)

donde

n es el número de pagos y C es la deuda original

Ejemplo 10

Saldo insoluto, tasa de interés simple

La compañía Empaques del Norte, S. A. de C. V., adquiere una póliza de seguro contra incendio a un precio de $79,800, pagaderos en 12 abonos quincenales vencidos de $7,000 cada uno. ¿Con cuánto la liquidará al realizar el quinto pago? ¿y cuál es la tasa de interés simple anual?

CⴝⲐx 789 4 ⴚ ⴙ 56 123 0 .ⴝ

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solución

En el teorema 3.6 se reemplazan:

a) n por 12, el número de abonos quincenales; k por 5 y C por $79,800, el precio de la pó-

liza. El saldo insoluto es entonces:

S= (12 − 5)(79,800/12) S= 7(6,650) o S = 46,550

El quinto pago, incluidos los intereses, es de $7,000; entonces, para cancelar la deuda al efectuar este abono se pagarán

46,550 + 7,000 = $53,550

b) La tasa de interés simple anual se obtiene con la fórmula del teorema 3.6; sin embargo,

se encuentran antes los intereses y la tasa global. Los intereses son la diferencia entre el total que se pagará y el costo de la póliza:

I= 12(7,000) − 79,800 o I = $4,200

La tasa global total es

g= 4,200/79,800 o g= 0.052631579

y la de interés simple i por quincena es i de la siguiente ecuación 0.052631579 = (12 + 1)(i/2) g= (n + 1)(i/2) de donde (0.052631579) (2/13) = i o i= 0.008097166 o 0.8097166% por quincena La anual es 0.008097166(24) = 0.194331984 o 19.4332% aproximadamente Ejercicios 3.6

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