Ej 6.2.2 Encontrar la solución de xt+1= 12xt− 1, con condición inicial x0= 1.En este caso, a = 12
y b =−1, de manera que (6.6) nos da la solución como xt=−2 + 3 1 2 t . ♦♦♦♦♦♦♦♦♦
Dado el sistema dinámico descrito por (6.3) la pregunta obligada es: ¿cómo evoluciona el sistema cuando t→ ∞? Esto se puede contestar fácilmente observando la forma de la solución dada en (6.6).
Notemos que lim
t→∞xtexiste si y sólo si limt→∞a
texiste, y esto último sucede si y sólo si|a| < 1. En
este caso se tiene que lim
t→∞a
t= 0y por lo tanto lim t→∞xt=
b
1−a = x∗; es decir, el sistema converge a su punto fijo. Obsérvese que esta convergencia puede ser monótona, cuando 0 < a < 1, o bien alternante, si−1 < a < 0. Las figuras 6.1 a 6.4 nos muestran los diversos casos para a = 0.5, −0.5, 2, −2, b = −1 y x0= 0.25.Los puntos se han unido para mayor claridad, sin embargo, se debe recordar que estas líneas no son parte de la gráfica.
2 4 6 8 10 12 t
-2 -1 1
x(t)
Figura 6.1: Valores de x(t) para a = 0.5, b =−1 y x0= 0.25.
§6.3 Análisis cualitativo
En muchas ocasiones, tenemos sistemas discretos autónomos del tipo xt+1 = f (xt)que no pueden
resolverse de forma explícita. Al igual que en el caso continuo, el análisis cualitativo nos da una idea de la evolución del sistema y de la estabilidad de los puntos fijos, que en este caso identificamos con los puntos de equilibrio. En el ámbito discreto, existen resultados análogos a los estudiados en el caso continuo. Por ejemplo, se tiene una definición equivalente a 2.2.2 para sistemas discretos.
138 Conceptos básicos de dinámica discreta 2 4 6 8 10 t -1 x(t) -2/3 0
Figura 6.2: Valores de x(t) para a =−0.5, b = −1 y condición inicial x0= 0.25.
2 4 8 10 t -800 -600 -400 -200 100 x(t)
Figura 6.3: Valores de x(t) para a = 2, b =−1 y condición inicial x0= 0.25.
Definición 6.3.1 Supongamos que el punto fijo x∗ de un sistema dinámico discreto dado por xt+1 = f (xt)satisface la siguiente condición: existe un número δ > 0 tal que se cumple
|x0− x∗| < δ ⇒ limt→∞xt= x∗,
es decir, la solución converge al equilibrio cuando t→ ∞ siempre y cuando el valor inicial esté suficientemente cerca de x∗.Se dice entonces que el equilibrio es asintóticamente estable.
De manera análoga, se puede definir inestabilidad para un punto fijo.
Definición 6.3.2 Supongamos que el punto fijo x∗ de un sistema dinámico discreto dado por xt+1 = f (xt)satisface la siguiente condición: para todo δ > 0 existen un punto x1y un número natural n0tales que
|x0− x∗| < δ y
|xt− x∗| ≥ δ
para todo t≥ n0.Es decir, todos los puntos cercanos a x∗se alejan de x∗. Se dice, entonces, que el equilibrio es inestable.
§ 6.3 Análisis cualitativo 139 2 4 6 8 10 t -300 300 600 x(t)
Figura 6.4: Valores de x(t) para a =−2, b = −1 y condición inicial x0= 0.25.
Nótese que existen puntos fijos que no son asintóticamente estable ni inestables.
Ejemplo
Ej 6.3.1 Sea f :R → R el sistema dinámico dado por f(x) = x + x2,es decir, xt+1 = xt+ x2t.El
punto x∗= 0es un punto de equilibrio que no es asintóticamente estable ni inestable. ♦♦♦♦♦♦♦♦♦
A los puntos de equilibrio que no satisfacen ninguna de las condiciones dadas en las anteriores defi- niciones se les llama puntos degenerados.
Con objeto de determinar la estabilidad de un punto fijo, se puede utilizar un método gráfico. Éste consiste en lo siguiente. En el plano XtXt+1graficamos la función xt+1= f (xt). Si trazamos la recta de
45◦, xt+1= xt,observamos que los puntos fijos o equilibrios del sistema, si existen, están dados por las
intersecciones de la gráfica de f con dicha recta, ya que son puntos para los que se cumple x∗= f (x∗). Por analogía con el caso continuo llamamos diagrama de fase a este tipo de herramienta gráfica.
La estabilidad, o su ausencia, de acuerdo con la definición 6.3.1 puede encontrarse considerando un punto inicial x0 alrededor de x∗ y analizando la evolución del sistema con la sucesión de puntos {x0, x1, x2. . .}. El equilibrio es asintóticamente estable si y sólo si ésta converge a x∗.
Tomemos x0 suficientemente cerca de x∗,de manera que la aproximación lineal de Taylor sea una buena aproximación a la función, es decir,
f (x0) f(x∗) + f(x∗)(x0− x∗). Reescribimos esta expresión como
140 Conceptos básicos de dinámica discreta
Nótese que podemos seguir aplicando este procedimiento para x1, x2, . . .si y sólo si|f(x∗)| < 1 (así el error en la aproximación lineal cada vez es más pequeño). Procediendo de esta forma se tiene
f (x1)− f(x∗) f(x∗)(x1− x∗) = [f(x∗)]2(x0− x∗), por lo que x2− x∗ [f(x∗)]2(x0− x∗)
.. .
xt− x∗ [f(x∗)]t(x0− x∗), con lo cual vemos que
lim
t→∞xt= x ∗.
De este modo, hemos llegado a un resultado de estabilidad basado en la derivada, tal como lo teníamos para el caso continuo. Es necesario, sin embargo, ser más cuidadosos en cuanto a las aproximaciones anteriores. El siguiente teorema es una expresión formal de lo anterior y es equivalente al teorema 3.3.1.
Teorema 6.3.3
Seaf una función diferenciable. Seax∗un punto fijo del sistemaxt+1 = f (xt)tal que|f(x∗)| = 1.
Entonces se cumple
a) Si|f(x∗)| < 1,entoncesx∗es asintóticamente estable. b) Si|f(x∗)| > 1,entoncesx∗es inestable.
Demostración
Se deja como ejercicio para el lector. El ejercicio 6.18 propone los pasos a seguir en la demostración de la parte a.
Definición 6.3.4 Dados el sistema dinámico discreto xt+1 = f (xt)y un valor inicial x0,la órbita de x0es el conjunto de puntos
orb(x0) ={x0, x1, . . .}
Las figuras 6.5 y 6.6 ilustran el teorema 6.3.3, mostrando dos puntos de equilibrio: uno de ellos asintóticamente estable y el otro inestable, junto con las órbitas que se obtienen del proceso de iteración.
Ejemplo
Ej 6.3.2 (La telaraña) Supongamos que St, Dty ptdenotan la oferta la demanda y el precio del maíz
en el periodo t. El precio inicial p0es conocido. Se tienen las siguientes relaciones: Dt=−apt+ b,
§ 6.3 Análisis cualitativo 141 x1 x0 2 x
x(t 1)
x(t)
0
Figura 6.5: Punto fijo estable.
x1 0
x x2 x(t)
x(t 1)
0
142 Conceptos básicos de dinámica discreta
en donde todos los coeficientes son positivos y cumplen a > c y b > d. Notemos que la oferta de maíz en el periodo t depende del precio en el periodo inmediato anterior. En cada periodo se tiene que Dt= St,
por lo que el precio del maíz evoluciona de acuerdo con la ecuación pt= −c a pt−1+b− da , para t = 1, 2 . . .
Por (6.6) sabemos que la solución está dada explícitamente por pt= p0−b− d a + c −c a t +b− d a + c
y, dado que a > c, ésta converge a su punto fijo p∗= ba−d+c.En el diagrama de fase que se muestra en la figura 6.7 queda claro el porqué del nombre de “telaraña” para este tipo de diagramas.
P(t+1)
P(t)
0 x
0
Figura 6.7: Diagrama de telaraña.
En este caso, los granjeros deciden la cantidad de maíz que se va a plantar en t = 0 de acuerdo con precio inicial; esta cantidad es la oferta en el periodo siguiente. Si ésta excede la demanda, entonces en t = 1el precio cae y los granjeros disminuyen la oferta para t = 2. Ahora existe un exceso de demanda y el precio aumenta en t = 2. Los granjeros aumentan la oferta para t = 3, etc. El proceso continua así y converge a p∗.Nótese que la convergencia se da siempre que la pendiente de la recta de demanda sea mayor (en valor absoluto) que la de la oferta. Esto se observa en el diagrama 6.8, en donde se grafican cantidades y precios para cada periodo.
♦♦♦♦♦♦♦♦♦
Definición 6.3.5 Dados el sistema dinámico discreto xt+1 = f (xt)y un valor inicial x0, decimos que la órbita de x0 tiene periodo n, si n es el número más pequeño para el cual se cumple f (xn−1) = x0 o,
§ 6.3 Análisis cualitativo 143 p(t) D(t) S(t) Oferta Demanda p(0) S(1) p(1) S(2) p(2) p(3) S(3) S(4)
Figura 6.8: Ajuste de la oferta y demanda para el ejemplo 6.3.2.
equivalentemente, fn(x0) = x0. En particular, si orb(x0)tiene periodo n, la órbita es un conjunto finito con cardinalidad n. Si x0tiene una órbita de periodo n, decimos que x0es un punto periódico de periodo n y que el sistema posee n-ciclos.
La definición implica que una condición necesaria, mas no suficiente, para que x0tenga periodo n es que sea un punto fijo de fn.Es claro, también, que si x
n−k ∈ orb(x0), entonces xn−ktambién tiene
periodo n y por lo tanto es un punto fijo de fn.Dado que se tienen puntos de equilibrio, se puede definir la estabilidad de la órbita a partir de lo que ya se sabe para puntos fijos.
Definición 6.3.6 Sea x∗un punto de periodo n del sistema xt+1 = f (xt). Decimos que x∗es asintóti-
camente estable si es estable como punto fijo de fn.Equivalentemente, se dice que orb(x
0)es asintóticamente estable, ya que cualquier elemento de la órbita es asintóticamente estable como punto fijo de fn.
También se tiene lo equivalente para el concepto de inestabilidad.
Definición 6.3.7 Sea x∗un punto de periodo n del sistema xt+1 = f (xt), decimos que x∗es inestable
si es inestable como punto fijo de fn.Equivalentemente se dice que orb(x
0)es inestable ya que cualquier elemento de la órbita es inestable como punto fijo de fn.
En otro contexto, a las órbitas asintóticamente estables se las llama órbitas atractoras y a las inestables
repulsoras. Cabe la aclaración de que una órbita periódica puede no ser atractora ni repulsora como se
144 Conceptos básicos de dinámica discreta
Ejemplo
Ej 6.3.3 Sea f :R → R el sistema dinámico dado por xt+1= f (xt) = x3t− 2xt.El 2-ciclo{−1, 1}
no es asintóticamente estable ni inestable. La demostración de este resultado se deja como ejercicio para el lector (véase ejercicio 6.7).
♦♦♦♦♦♦♦♦♦
La siguiente proposición nos da un método para clasificar la estabilidad de los puntos de periodo n.
Proposición 6.3.8 Sea x∗= x0un punto de periodo n del sistema xt+1= f (xt)tal que&&&df
n(x
0)
dx
&& & = 1. Entonces, orb(x0)es estable si y sólo si
|f(x
0)f(x1)f(x2) . . . f(xn−1)| < 1.
Al producto|f(x0)f(x1)f(x2) . . . f(xn−1)| se lo llama multiplicador de la órbita y lo denotamos por
Λ.
Demostración
La demostración se sigue del teorema 6.3.3, ya que orb(x0)es estable si y sólo si &&&df
n(x
0)
dx
&& & < 1 y utilizando la regla de la cadena tenemos que
&&
&&dfn(x0) dx
&&
&& =&&f(fn−1(x0))f(fn−2(x0)) . . . f(f (x0))f(x0)&& =|f(x0)f(x1)f(x2) . . . f(xn−1)| ,
con lo cual concluimos la demostración.
Ejemplos
Ej 6.3.4 En particular, si el sistema tiene un punto fijo entonces posee un 1-ciclo ya que un punto fijo tiene periodo 1.
Ej 6.3.5 Por definición, f tiene un 2-ciclo si cumple con x1= f (x0), x0= f (x1),
y x0= x1.Notemos que en este caso se tiene que x0= x2= x2ky x1= x3= x2k+1para k = 0, 1, . . . Observemos también que f2(x0) = x0y f2(x1) = x1.
Ej 6.3.6 Supongamos que se tiene un sistema de la forma xt+1=−xt+ a.