3.4 Expectativas y estabilidad: un modelo monetario
3.4.2 Expectativas racionales
En este modelo todo es igual que en el anterior, excepto que ahora los individuos tienen expectativas racionales con previsión perfecta y por lo tanto el valor de la inflación esperada siempre coincide con el de la inflación real. De esta forma se tiene que πe = πy ˙πe = 0, por lo que el modelo anterior se
transforma en
˙ p = 1
λ(p− m).
Realizando el mismo análisis que en la sección anterior y denotando por m la oferta monetaria constante, notamos que ahora la recta tiene pendiente positiva y el equilibrio en p = m es inestable.
Si la autoridad monetaria aumenta sorpresivamente la oferta de dinero a un nivelm > m, ¿cómo se puede llegar al nuevo nivel de equilibrio p =m? La única posibilidad es que p(t) tenga una discontinui-
§ 3.4 Expectativas y estabilidad: un modelo monetario 59
dad en el momento del cambio y tome su nuevo valor de manera instantánea; es decir, no hay dinámica. La ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes se resuelve fácilmente para obtener
p(t) = (p0− m)eλt +m.
El nivel de precios diverge, a menos que p0=m. La figura 3.9 muestra las consideraciones anteriores.
p.
p m
~ m_
Figura 3.9: Aumento en la oferta monetaria (expectativas racionales)
En este caso, dado que el nivel de precios se ajusta en forma instantánea, no existe ningún efecto real sobre la economía: los cambios son simplemente nominales. Podemos concluir que en un mundo con individuos racionales y previsión perfecta, la política monetaria, por lo menos en este modelo, es totalmente intrascendente para la economía real.
60 Ejercicios
Ejercicios
3.1 Resolver las siguientes ecuaciones con la condición inicial x(1) = 1: a) ˙x = xt33. b) ˙x =x3 t3. c) ˙x = x2. d) ˙x = 1 + x2.
e) ˙x =√xt+12 , con condición inicial x(0) = 53.
3.2 Resolver:
a) y(x2+ 1) cos y =−x sin y con y(1) =π2.
b) yy(x + 4) + y + 2 = 0con y(−3) = −1. (Sugerencia: expresar la solución en forma implícita.)
c) 2y ˙y− y2= e3t,con y(0) =−1.
3.3 En un pueblito del estado de Cuévano se ini- cia un rumor. La población total del pueblito es de N∗ personas. La tasa de cambio en el número de personas N que ha oído el rumor es proporcional al número de personas que no lo ha oído. Un modelo razonable para esta situación es ˙N = kN (N∗−N) en donde k > 0.
a) Resolver el problema de valores iniciales con
N (0) = N0.
b) ¿Qué predice el modelo que sucederá en el
futuro?
c) ¿Cuál es el nombre del pueblito?
3.4 Resolver la ecuación diferencial (3.8) del modelo de Solow, si se supone que la función de producción es del tipo Cobb-Douglas y está dada por F (K, L) = KαL1−α,y por lo tanto f (k) = kα,con 0 < α < 1. Encontrar lim
t→∞k(t).
3.5 El siguiente es el modelo de empleo de Haa- velmo.3 Sea K el nivel de capital en una industria y L el nivel de empleo. Supongamos que se tiene una función de producción Y = KγL1−γ,con
0 < γ < 1. Se supone, además, que el crecimiento en el cambio en la tasa de empleo está dado por
˙ L L = α− β L Y = α− β 1 Y /L,
donde α, β > 0. Esto es, el cambio en la tasa de empleo crece cuando la producción per cápita cre- ce. El nivel de capital se supone constante.
a) Demostrar que, bajo las hipótesis anteriores,
la ecuación para el empleo se puede escribir como
˙
L = αL− βL1+γ Kγ .
b) Resolver la ecuación anterior si se supone que
en un principio se tiene L(0) = L0.
c) Encontrar lim
t→∞L(t).
3.6 En este problema resolveremos la ecuación logística con emigración dada por
˙ P = rP 1−P C − E con P (0) = P0,
donde se supone que E, r, C > 0 y que C > 4E/r.En este caso E representa un coeficiente de emigración constante. a) Se definen L = 12 C +C2− 4EC/r y α =r2− 4Er/C. Sea y = r
C(P− L). Demostrar que la ecua- ción diferencial en términos de y es de la for- ma ˙y + αy =−y2.(Sugerencia: nótese que L = 12C +Cαr .)
Ejercicios 61 b) Resolver la ecuación anterior para y(t).
Encontrar la solución correspondiente para P (t).
c) Encontrar lim
t→∞P (t),si se supone que P0=
C− L.
3.7 Resolver las siguientes ecuaciones:
a) ˙x + 2tx2= x.
b) ˙x + x = x7con condición inicial x(0) = 1.
c) t2˙x − 11tx = x5 con condición inicial x(1) = 1.
d) 4t2y − ty = y3, con condición inicial y(1) = 1.
e) y+ y = xy3.
f ) y−yx = −yx2.
g) xy+ y =−2x6y4.
3.8 Realizar el diagrama de fase para cada una de las siguientes ecuaciones, identificar los puntos de equilibrio y decir si son estables e inestables:
a) ˙x =−4x2+ 8x.
b) ˙x = x3− 15x2+ 36x.
c) ˙x = exsin x.
d) ˙x = 2x lnK
x con x > 0 y K > 0. Este sis-
tema se conoce como modelo de crecimien-
to de Gompertz, en donde x representa una
población.
3.9 Realizar el diagrama de fase para cada una de las siguientes ecuaciones, identificar los puntos de equilibrio y analizar cómo se comporta el siste- ma alrededor de éstos. ¿Qué tienen de particular estos ejemplos?
a) ˙x = (x− 2)2.
b) ˙x = x2(1− x).
c) ˙x = 2+xx22.
3.10 (Funciones HARA) Sea w la riqueza. Considérese una función de utilidad u(w) triple- mente diferenciable, con u> 0, u< 0tal que se cumple, u u u u = k, es deciruu
(u)2 = k,en donde k es una constante.
a) Probar que se cumple
−u(w)
u(w) =
1 A + (k− 1)w con A una constante. Debido a esta propie- dad, estas funciones se conocen como fun- ciones de utilidad con aversión absoluta al
riesgo hiperbólica (o bien funciones HA- RA, por sus siglas en inglés). Comparar con las funciones CARA vistas en la sección 2.3.5.
b) Caracterizar a las funciones de utilidad tipo
HARA y dar condiciones sobre los paráme- tros para que estén bien definidas y cumplan con las propiedades dadas.
c) Probar que si k = 0 se obtiene una función
de utilidad cuadrática, si k = 1 una función CARA y las funciones CRRA cumplen con k > 1.
3.11 Resolver los modelos de la sección 3.4 su- poniendo que la autoridad monetaria tiene como política mantener una tasa constante de crecimien- to para la base monetaria, es decir, ˙m = µes cons- tante.
3.12 En el ejercicio 2.15 del capítulo anterior, se estudió la evolución del precio real y del precio es- perado de un activo. La ecuación (2.29), dice sim- plemente que los agentes forman sus expectativas acerca del precio de forma adaptativa.
62 Ejercicios
a) Suponer ahora que existe un impuesto τ so-
bre los dividendos, de manera que éstos se transforman en (1− τ)d. Reescribir (2.28) y (2.29) en este caso y resolver para p(t) y pe(t).
b) Realizar el análisis cualitativo si inesperada-
mente, en t = T, el impuesto aumenta a ¯
τ > τ.Interpretar los resultados.
c) Aparte de tener un impuesto τ sobre los di-
videndos, suponer ahora que las expectativas son racionales y los agentes tienen previsión perfecta. Utilizar (2.28) y (2.29) para resol- ver el modelo en este caso y obtener p(t).
d) Realizar de nuevo el análisis cualitativo si
inesperadamente, en t = T, el impuesto au- menta a ¯τ > τ.Interpretar.
CAPÍTULO 4
Sistemas de ecuaciones diferenciales
lineales
§4.1 Introducción
En este capítulo se dará una introducción general a la teoría de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con más de una variable dependiente. Asumimos que el lector a llevado un curso previo de álgebra lineal; sin embargo, incluimos los conceptos básicos de valores y vectores propios a manera de repaso.
Sea t la variable independiente y X(t) = x1(t) .. . xn(t)
un vector de variables dependientes. Un sistema de ecuaciones diferenciales autónomo de primer orden es una expresión del tipo
˙
X = f (X), (4.1)
donde la función f :Rn→ Rnes continuamente diferenciable. A la función f se la conoce comúnmente
como campo vectorial. Además, si escribimos la función como
f x1 .. . xn = f1(x1, ..., xn) .. . fn(x1, ..., xn) ,
64 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
Ejemplo
Ej 4.1.1 Dado el sistema de ecuaciones
˙k = kα− c − nk,
˙c = 1 θ(αk
α−1− ρ)c,
podemos escribirlo como ˙X = f (X),donde X es el vector X = k c y f (X) = f k c = kα− c − nk 1 θ(αkα−1− ρ)c .
Este sistema de ecuaciones es el llamado modelo de Ramsey de crecimiento económico. Se verá poste- riormente que k representa el capital per cápita, c el consumo per cápita y α, n, θ, ρ son parámetros del sistema.
♦♦♦♦♦♦♦♦♦
El sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden (4.1) se puede expresar como ˙x1= f1(x1, . . . , xn),
.. .
˙xn= fn(x1, . . . , xn).
Si las funciones fi, i = 1, 2, . . . , n,son lineales, decimos que se trata de un sistema lineal el cual se puede
escribir, en el caso homogéneo, como
˙x1= a11x1+ a12x2+ . . . + a1nxn,
.. .
˙xn= an1x1+ an2x2+ . . . + annxn,
donde todos los coeficientes aijson reales.
Al considerar el caso específico de un sistema lineal podemos utilizar la notación matricial. Sea
A = a11 a12 · · · a1n .. . ... . .. ... an1 an2 · · · ann
la matriz de coeficientes. Un sistema lineal de ecuaciones diferenciales se escribe entonces como ˙
X = AX, (4.2)
§ 4.1 Introducción 65
Ejemplos
Ej 4.1.2 Sea ˙x1= 2x1− 3x2+ 5x3, ˙x2= x1+ 4x2+ 7x3, ˙x3=−x2+ 15x3,un sistema lineal de ecuaciones diferenciales. Vamos a reescribir el sistema usando la notación vectorial. Sea X(t) = x1(t) x2(t) x3(t)
; entonces el sistema de ecuaciones se escribe de la forma ˙X = AX,donde Aes la siguiente matriz de coeficientes de 3× 3:
A = 2 −3 5 1 4 7 0 −1 15 . Ej 4.1.3 Sea A = 0 3 −3 0
.Encontrar una solución al problema lineal dado por la ecuación (4.2). Queremos encontrar una función vectorial
X(t) = x1(t) x2(t) ,
tal que ˙X(t) = AX;es decir, necesitamos dos funciones x1(t)y x2(t)tales que ˙x1= 3x2,
˙x2=−3x1.
Es fácil ver que ¨x1= 3 ˙x2=−9x1,de manera que buscamos una función cuya segunda derivada es igual a−9 veces ella misma. Por ejemplo, podemos proponer una solución de la forma x1(t) = sin(ωt), en donde ω es una constante por determinar. Es claro que ¨x1 =−ω2sin(ωt) =−ω2x1(t).Por lo tanto, podemos deducir que ω2= 9. Escojamos ω = 3. Esto implica que
x1(t) = sin(3t), x2(t) = 1
3˙x1= cos(3t),
son una solución. Este método es esencialmente equivalente al que se estudió anteriormente para ecua- ciones lineales de una variable.
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El procedimiento anterior tiene varias deficiencias. En primer lugar, hemos obtenido sólo una solu- ción, aunque, como se verá más adelante, un sistema lineal tiene un número infinito de soluciones. Por
66 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
otro lado, el método que seguimos se basa en proponer la forma adecuada de la solución, es decir, en “adivinar” cómo se ve la solución, lo cual puede no ser obvio. Es claro que necesitamos una mejor manera de proceder.
Consideremos las funciones vectoriales X1(t), ..., Xm(t)que satisfacen
˙ X1= AX1, .. . ˙ Xm= AXm, y sea X(t) = c1X1(t) + c2X2(t) + . . . + cmXm(t)
una combinación lineal cualquiera de X1, . . . , Xm. Vamos a demostrar que X(t) es solución del pro-
blema (4.2). Esto es llamado el principio de superposición visto con anterioridad en el capítulo 2. Tenemos que verificar que ˙X = AX. Haciendo los cálculos obtenemos lo siguiente,
˙ X = d dt(c1X1+ . . . + cmXm) = c1X˙1+ . . . + cmX˙m = c1AX1+ . . . + cmAXm = A(c1X1+ . . . + cmXm) = AX, por lo tanto ˙X = AX, es decir, X(t) es solución.
§4.2 Método de valores propios
Consideremos nuevamente la ecuación (4.2). Supongamos que podemos encontrar n soluciones lineal- mente independientes, es decir,
X1(t), . . . , Xn(t)
son linealmente independientes enRn para toda t y por lo tanto forman una base de ese espacio. Por
el principio de superposición, cualquier combinación lineal es solución y adicionalmente, por tratarse de una base, toda solución X puede escribirse como
X = c1X1+ . . . + cnXn.
Por otro lado, dada una condición inicial X(t0) = X0, las constantes c1, . . . , cnpueden determinarse
de manera única tal que se satisfaga,
c1X1(t0) + . . . + cnXn(t0) = X0.
El esquema anterior nos da la estrategia general para resolver un sistema lineal: primero se encuentran nsoluciones linealmente independientes (i.e. que formen una base en el espacio de soluciones) y luego se ajustan las constantes para satisfacer la condición inicial, si ésta existe. En esta sección se describe un método basado en las propiedades de la matriz de coeficientes, cuyo objetivo es encontrar suficientes soluciones linealmente independientes.
§ 4.2 Método de valores propios 67