Las soluciones a un sistema de ecuaciones del tipo ˙ X = f (X), en donde X(t) = x1(t) .. . xn(t)
, se pueden representar de manera gráfica de distintas formas. Una posibilidad es simplemente graficar las soluciones xi(t), para i = 1, . . . , n. El problema de esto es que es
necesario conocer, si no la solución explícita, al menos su comportamiento cualitativo. Otra posibilidad es que, dada una solución
X(t) = x1(t) .. . xn(t) ,
ésta puede interpretarse como un conjunto de ecuaciones paramétricas de manera que para cada valor de tse tiene un punto X(t) enRn.
Dado un punto inicial (x1(0), ..., xn(0))y un intervalo de valores para t, los puntos X(t) deRn
corresponden a una trayectoria solución. Para el caso n = 2, esta representación se puede hacer en el plano y a los diagramas correspondientes se los conoce como diagramas de fase (recuérdese lo visto en la sección 3.3). Debemos hacer notar que dado que se trata de un sistema autónomo, dos trayectorias solución distintas nunca se intersectan.
El campo vectorial o campo de dirección para el sistema ˙X = f (X)es una función g :R2→ R2 dada por g(x, y) = ( ˙x, ˙y); es decir, es un conjunto de vectores (flechas) en el plano XY, tal que la pendiente del vector en el punto (x, y) está dada por ˙y˙x.La trayectoria solución que pasa por el punto (x, y)es tangente al vector ya que dydx = dydtdxdt = ˙y˙x. La dirección del vector es la dirección del flujo, es decir, nos dice hacia dónde se mueven las variables cuando t avanza.
La figura 5.2.a ilustra un campo de dirección alrededor de un punto silla. Si añadimos algunas trayectorias solución obtenemos la figura 5.2.b.
Definición 5.3.1 Sea X = x1 .. . xn
. Dado el sistemaX = F (X),˙ donde F es una función no nece- sariamente lineal, los lugares geométricos deRn que satisfacen ˙x
i= a.para alguna i = 1, . . . , n, con a una
constante, se llaman isoclinas.
En particular las isoclinas de la forma ˙xi = 0son muy informativas pues nos dan los puntos para los
cuales ya no hay ajuste dinámico para xi. Las isoclinas son útiles para obtener la dirección de los vectores
del campo de dirección y por lo tanto sirven para esbozar las curvas solución. En el caso de un sistema de dos dimensiones, con X =
x y
,la isoclina ˙x = 0 contiene los puntos para los cuales las curvas solución tienen pendiente vertical. Análogamente, la isoclina ˙y = 0 está
§ 5.3 Diagramas de fase 101
a) Campo de Dirección b) Algunas Trayectorias
Figura 5.2: Diagrama de fase en torno de un punto silla.
formada por los puntos para los cuales las soluciones tienen pendiente horizontal. Esto se debe a que la pendiente de los vectores del campo de dirección (tangentes a las curvas solución) está dada por ˙x˙y. Recordemos lo siguiente:
• ˙x > 0 ⇒ x(t) crece. • ˙x < 0 ⇒ x(t) decrece. • ˙y > 0 ⇒ y(t) crece. • ˙y < 0 ⇒ y(t) decrece.
La isoclina ˙x = 0 divide al plano en dos regiones, una con ˙x > 0 y la otra con ˙x < 0; la isoclina ˙
y = 0hace lo análogo. Al graficar ambas isoclinas, el plano queda dividido en cuatro tipos de región y es posible dar el flujo de x y y en cada uno.
Dada una función continua y diferenciable f : D → R, con D ⊂ R2 y 0 en la imagen de f, considérese la curva de nivel f (x, y) = 0; ésta divide la región D en dos subregiones: f+ ={(x, y) ∈ D| f(x, y) > 0} y f− ={(x, y) ∈ D | f(x, y) < 0}. Dado cualquier punto (x, y) sobre esta curva de nivel anterior, sabemos que la función crece en la dirección del gradiente∇f(x, y) (en particular, ésta es la dirección en la que la función crece con mayor rapidez); entonces, el campo vectorial de los gradientes sobre la curva de nivel apunta siempre hacia la región f+.
102 Análisis cualitativo
Ejemplos
Ej 5.3.1 Considerar la función f (x, y) = 3x− 2y. La recta 3x − 2y = 0 divide al plano en dos regiones. El gradiente sobre cualquier punto de esta curva de nivel es el vector
3 −2 que apunta hacia la región f+={(x, y) | 3x − 2y > 0}, como se muestra en la figura 5.3.
x y
3x-2y = 0
3x-2y > 0 3x-2y < 0
Figura 5.3: Regiones en que se divide el dominio en el ejemplo 5.3.1. Las flechas sobre la curva de nivel 3x− 2y = 0 representan el gradiente.
Ej 5.3.2 Considerar la función f (x, y) = y + (x− 1)2− 1. La curva de nivel y + (x − 1)2− 1 = 0 divide al plano en dos regiones. El gradiente sobre cualquier punto de la curva está dado por∇f(x, y) =
2(x− 1) 1
que apunta hacia la región
f+={(x, y) | y + (x − 1)2− 1 > 0}, como se ilustra en la figura 5.4.
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Dado un sistema lineal de 2×2, es relativamente sencillo realizar el diagrama de fase correspondiente. Debido a que el comportamiento cualitativo de la solución depende exclusivamente de la matriz del sistema, sin pérdida de generalidad, podemos analizar sólo sistemas homogéneos. Así, el origen siempre es un punto de equilibrio. Es claro que si un sistema lineal no es homogéneo simplemente se traslada el punto de equilibrio a la solución particular.
§ 5.3 Diagramas de fase 103
y
x
y + (x-1) - 1 < 02 y + (x-1) - 1 > 02
Figura 5.4: Regiones en las que se divide el dominio y vectores gradiente sobre la curva de nivel y + (x− 1)2= 0para el ejemplo 5.3.2.
Consideremos el sistema dado por
˙x = f (x, y) = ax + by, ˙
y = g(x, y) = cx + dy. (5.1)
Las isoclinas están dadas por las rectas
ax + by = 0, cx + dy = 0.
Estas rectas dividen el plano en cuatro regiones: las direcciones cualitativas de flujo para cada una de estas regiones se pueden determinar como sigue. Sabemos que la dirección∇f(x, y) =
a b
apunta hacia la región donde ˙x = f (x, y) > 0 y la dirección∇g(x, y) =
c d
apunta hacia la región donde ˙
y = g(x, y) > 0.Esto se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo
Ej 5.3.3 Se desea ilustrar las isoclinas y determinar las direcciones de flujo para el sistema ˙x = x− y,
˙
y = x + 3y.
En el plano XY dibujamos las isoclinas correspondientes; escogemos un punto en cada región y ponemos flechas horizontales a la derecha o a la izquierda para indicar si x crece o decrece, y verticales para indicar
104 Análisis cualitativo
si y crece o decrece. Asimismo, y sólo con propósitos ilustrativos, dibujamos cuatro posibles soluciones. Nótese que las soluciones cortan a ˙x = 0 verticalmente y a ˙y = 0 horizontalmente. La figura 5.5 muestra estas consideraciones. x y x=0. y=0 . x 0. x 0. y 0 . y 0 .
Figura 5.5: Las líneas punteadas corresponden a las isoclinas del ejemplo 5.3. Las curvas sólidas son ejemplos de soluciones (nótese que la solución corta verticalmente a la isoclina ˙x = 0 y horizontalmente a la isoclina ˙y = 0).
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