que nos coloca sobre la trayectoria que converge al estado estacionario, o bien, dado un nivel inicial de la producción, existe un único nivel inicial de precios que nos pone en la trayectoria hacia el estado estacionario.
Tener sistemas con equilibrios de tipo atractor implica que cualquier condición inicial nos conduce al estado estacionario, y un equilibrio de tipo repulsor nos lleva al otro extremo, en el cual ninguna condición inicial nos conduce al equilibrio. El mundo económico sería entonces uno dentro del cual nuestras decisiones iniciales serían intrascendentes para lograr la estabilidad,1lo que se puede interpretar como dirigirse asintóticamente hacia un estado estacionario.
Consideremos un sistema lineal ˙X = AXde 2× 2, donde v1y v2son vectores propios linealmente independientes, correspondientes al par de valores propios λ1 < 0 < λ2.Para todas las condiciones iniciales de la forma c1v1,la trayectoria solución converge a cero. La dirección determinada por el vector
v1es llamada dirección estable. Del mismo modo, si iniciamos en la recta generada por v2, es decir si X(0) = c2v2, entonces el límite limt→∞X(t) = limt→∞c2eλ2tv2 no existe y la trayectoria diverge. La dirección determinada por v2es llamada dirección inestable.
Si X(t) = c1eλ1tv1+ c2eλ2tv2, c1 y c2 = 0, entonces en el futuro (t → ∞) la solución se aproxima a c2eλ2tv
2(dirección inestable) y en el pasado (t→ −∞) la solución se aproxima a c1eλ1tv1 (dirección estable). En general, tenemos que la figura que corresponde a la dinámica cercana a un punto silla lineal es similar a la mostrada en 5.11. Al valor propio negativo λ1se le conoce en economía como
tasa de convergencia. La razón es evidente, ya que efectivamente representa la tasa a la que la solución
converge hacia el equilibrio sobre la variedad estable.
Las direcciones estable e inestable, y sus variedades correspondientes, son sumamente sencillas de calcular, como se ilustra en el siguiente ejemplo.
Ejemplos
Ej 5.6.1 Se desea encontrar las variedades estable e inestable y la tasa de convergencia para el sistema dado por
˙x =−3x + 2y, ˙
y =−2x + 2y.
Éste es un sistema homogéneo y el origen es su único punto de equilibrio. La ecuación característica está dada por λ2+ λ− 2 = 0, que tiene como raíces λ1 = −2 y λ2 = 1,de manera que, en efecto, el equilibrio es un punto silla con tasa de convergencia igual a−2. Los vectores propios correspondientes están dados por v1=
2 1 y v2= 1 2
,y la solución general queda dada por
x(t) = 2C1e−2t+ C2et, y(t) = C1e−2t+ 2C2et.
1Por ejemplo, sería irrelevante el cumplir o no con las restricciones presupuestales intertemporales pues a fin de cuentas logra- ríamos la estabilidad.
116 Análisis cualitativo
Sobre la variedad estable, la condición inicial es tal que C2= 0,de manera que se tiene x(t) = 2C1e−2t,
y(t) = C1e−2t, o bien, eliminando C1e−2t,se obtiene la recta o variedad estable
y(t) = 1 2x(t).
Nótese que, efectivamente, se trata de la recta que pasa por el punto de equilibrio, (0, 0) en este caso, y cuya dirección está dada por el vector
v1= 2 1 . De forma análoga, la variedad inestable es la recta, y(t) = 2x(t).
Ej 5.6.2 Utilizando el sistema del ejemplo anterior, calculamos y(0) si x(0) = x0 es conocida y el sistema debe estar sobre la variedad estable. Puesto que se debe tener C2= 0,sustituyendo la condición inicial se tiene el siguiente sistema:
x(0) = x0= 2C1, y(0) = C1. De aquí se obtiene C1= x0 2 , y(0) = x0 2 ;
esto determina el único valor de y(0) que coloca al sistema sobre la variedad estable. ♦♦♦♦♦♦♦♦♦
En general, para sistemas lineales de más de dos dimensiones, existen puntos silla si el conjunto de valores propios reales distintos contiene valores tanto positivos como negativos. Para este caso, se tiene que las direcciones estables son aquellas determinadas por los vectores propios con valor propio real negativo. De forma similar, las direcciones inestables son las determinadas por aquellos vectores propios con valor propio real positivo. El análisis de puntos silla se puede extender también a modelos no lineales como se muestra a continuación.
Definición 5.6.1 Sea p∗ un punto silla del sistema no lineal ˙X = f (X). El conjunto de condiciones iniciales tales que la solución correspondiente converge a p∗cuando t → ∞ es llamado variedad estable. Análogamente, el conjunto de condiciones iniciales tales que la solución converge a p∗ cuando t→ −∞ es llamado variedad inestable. Se denota por Ws(p∗)a la variedad estable y por Wu(p∗)a la inestable.2
§ 5.6 Análisis de puntos silla 117
La definición anterior es simplemente la generalización de la definición de variedad estable e inestable vista en la sección 5.4.5.
Definición 5.6.2 Dados cualquier subespacio V ⊂ Rny un elemento p /∈V , en Rn,el conjunto
p + V = {q ∈ Rn | p − q ∈ V }
es llamado subespacio afín. Intuitivamente, éste se puede imaginar como el subespacio V pero con el origen trasladado al punto p.
Podemos dar ahora la siguiente definición.
Definición 5.6.3 Sea p∗un punto silla del sistema no lineal ˙X = f (X). Considérese el sistema linealiza- do alrededor de p∗. Sea Vs=v
1, ..., vk el subespacio generado por los vectores propios con valores propios
reales negativos. El subespacio afín p∗+Vsse denota por Es(p∗)y se llama espacio estable. Asimismo, sea
Vu=v
k+1, v2, . . . , vm el subespacio generado por los vectores propios con valores propios reales positivos.
El subespacio afín p∗+Vuse denota por Eu(p∗)y es llamado espacio inestable.
En el caso de dos dimensiones, que es el que podemos analizar gráficamente, Ws(p∗)y Wu(p∗)
son curvas en el plano, y Es(p∗)y Eu(p∗)son rectas que pasan por p∗.La relación geométrica exis-
tente entre estas variedades y los subespacios afines está dada por el siguiente teorema que se enuncia sin demostración.
Teorema 5.6.4
Seanf :R2→ R2un campo vectorial,X = f (X)˙ un sistema no lineal yp∗un punto silla del sistema.
Ws(p∗)yWu(p∗)son curvas diferenciables que pasan por p∗ y además son tangentes a los espacios
estableEs(p∗)e inestableEu(p∗).
La figura 5.16 ilustra el teorema 5.6.4.
Ejemplo
Ej 5.6.3 Analicemos el punto silla del siguiente sistema: ˙
y1= y2+ 1− ey1,
˙
y2= y2ey1.
Observemos que p∗ = (0, 0)es el único punto de equilibrio del sistema. Las isoclinas del sistema son curvas que satisfacen ˙y1= 0y ˙y2= 0.En este caso, si ˙y1= 0,entonces y2= ey1− 1. Para y
2tenemos que ˙y2 = 0implica y2ey1 = 0 y por lo tanto y2 = 0.Nótese que el gradiente sobre la curva ˙y1 = 0 apunta hacia arriba y a la izquierda. Análogamente el gradiente sobre la curva ˙y2= 0apunta hacia arriba, con lo cual se determinan las regiones en donde ˙y1> 0y ˙y2> 0.Las isoclinas, junto con las flechas de flujo, se observan en la figura 5.17.
La matriz jacobiana que aproxima linealmente al sistema está dada por J (y1, y2) = −ey1 1 y2ey1 ey1 ,
118 Análisis cualitativo p* s E (p*) u E (p*) s E (p*) u E (p*) u W (p*) s W (p*) u W (p*) s W (p*)
Figura 5.16: Variedades estable, Ws(p∗),e inestable Wu(p∗),y espacios estable, Es(p∗),e inestable,
Eu(p∗).Obsérvese que los espacios son tangentes a las variedades en p∗.
que evaluada en p∗= (0, 0)queda como J (0, 0) = −1 1 0 1 .
El polinomio característico es λ2− 1, con raíces λ1 =−1 y λ2 = 1.Para λ1 =−1, el vector propio es v1 =
1 0
, que corresponde a la dirección estable. Para λ2 = 1,el vector propio es v2 =
1 2
, correspondiente a la dirección inestable. En p∗ = (0, 0), la variedad estable Ws(p∗)tiene
una tangente con la misma pendiente que v1, es decir, una pendiente igual a 0. La línea tangente que aproxima a Ws(p∗) es y
2= 0.Del mismo modo, Wu(p∗) se aproxima con la dirección inestable. La aproximación lineal de Wu(p∗) cerca de p∗ es y2= 2y1.La figura 5.18 muestra estas consideraciones,
en donde < vi>denota el espacio generado por el vector vi, i = 1, 2.
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§5.7 Dos aplicaciones
§5.7.1 Sobreajuste del tipo de cambio
Este modelo es conocido comúnmente como “modelo de overshooting ”. Antes de presentarlo,3daremos algunas consideraciones económicas. Se tienen dos países: uno pequeño, que es el país de casa, digamos