Parte II Espacios de Hilbert
4.5 Bases hilbertianas
Las bases en espacios de Hilbert tienen sus precedentes en las bases de espacios vectoriales de dimensi´on finita. Mientras que en espacios de Hilbert se entiende por base ortonormal (o base hilbertiana) a un sistema ortonormal maximal de elementos se˜nalamos que existen diferentes definiciones de bases en espacios de Banach.
Definition 4.25. Sean I un conjunto de ´ındices y H un espacio pre-Hilbert. (i) Una familia (ai)i∈I⊂ H se dice ortogonal si hai, aji = 0 para todo i 6= j
con i, j ∈ I.
(ii) Se dice ortonormal si es ortogonal y kaik = 1 para todo i ∈ I.
(iii) Una familia ortonormal (ai)i∈I⊂ H se dice maximal si no est´a contenida
estrictamente en ninguna otra familia ortonormal.
(iv) Se dice que (ai)i∈I ⊂ H es una base ortonormal de H si es una familia
ortonormal maximal.
Los dos resultados siguientes tratan sobre familias ortonormales en espa- cios pre-Hilbert. El primero permite “ortonormalizar” una sucesi´on de vectores linealmente independientes. El segundo afirma la existencia de bases.
Teorema 4.26 (M´etodo de Gram-Schmidt) Sea (xn)n∈N una colecci´on con-
table (finito o numerable) de vectores linealmente independientes en un espa- cio pre-Hilbert (H, h , i). Si se define por inducci´on la sucesi´on de vectores
(un)n mediante las f´ormulas
y1:= x1, u1:= y1 ky1k, yn:= xn− n−1 X j=1 hxn, ujiuj, un:= yn kynk ,
para n ≥ 2, entonces (un)n es una sucesi´on ortonormal en H, y para cada n
se tiene que
span{u1, . . . , un} = span{x1, . . . , xn}.
Demostraci´on. Daremos una demostraci´on constructiva por inducci´on. El
enunciado para n = 1 es directo ya que x1 6= 0. Por hip´otesis de inducci´on
sean u1, u2, . . . un−1ortonormales tales que
span{u1, . . . , un−1} = span{x1, . . . , xn−1}.
Nos proponemos construir y ∈ span{x1, . . . , xn} = span{u1, . . . un−1, xn} tal
que y sea ortogonal a span{u1, . . . , un−1}. Dicho vector es de la forma
y = a1u1+ . . . an−1un−1+ anxn.
Como y debe ser ortogonal a u1, . . . un−1 entonces an 6= 0 y podemos tomar
an= 1. Debido a la ortogonalidad de y con uj con j ≤ n − 1 se tiene que
0 = hy, ujiaj+ hxn, uji, 1 ≤ j ≤ n − 1, y por tanto yn= xn− n−1 X j=1 hxn, ujiuj.
Bases hilbertianas 107 Como el vector yn es no nulo, (n´otese que xn es linealmente independiente
de {u1, . . . un−1}), se define un:= yn
kynk. El conjunto ortonormal {u1, . . . , un}
cumple que
span{u1, . . . , un} = span{x1, . . . , xn}
y el teorema queda probado ut
El siguiente resultado prueba la existencia de bases en espacios de Hilbert. Teorema 4.27 Sea H un espacio pre-Hilbert. Toda familia ortonormal est´a
contenida en una base. En particular, cualquier espacio pre-Hilbert tiene una base.
Demostraci´on. Sea A el conjunto de las familias ortonormales que contiene
a una familia dada. N´otese que tal conjunto est´a parcialmente ordenado por la inclusi´on. Adem´as si (Fi)i∈I ⊂ A es un subconjunto totalmente ordenado
entonces ∪i∈IFi es una familia ortonormal que contiene a la familia dada y
es una cota del conjunto (Fi)i∈I. Por el lema de Zorn, existe un elemento
maximal que contiene a la familia dada. Este elemento maximal es una base ortonormal. ut
Proposici´on 4.28 Sea H un espacio pre-Hilbert y (ei)i∈I una base. Entonces
(ei)i∈I es total.
Demostraci´on. Sea F = (ei)i∈I y supongamos que existe 0 6= x ∈ F⊥. En-
tonces hx, eii = 0 para todo i ∈ I, el conjunto F0 := (ei)i∈I∪ {kxkx } ser´ıa
ortonormal con F ⊂ F0. Al ser F maximal, se concluye que el elemento x no
existe y F⊥= {0}. ut
Nota. En el caso de que H sea un espacio de Hilbert y F ⊂ H, F es total si y s´olo si span(F ) = H. N´otese que span(F ) es el menor subespacio cerrado que contiene a F , es decir, F⊥⊥(Corolario 4.23).
Es l´ogico pensar que (al igual que en el caso finito-dimensional) las bases en espacios de Hilbert permiten describir a los elementos del espacio. As´ı, uno espera encontrar expresiones del tipo
x =X
i∈I
λiei, x ∈ H,
donde (λi)i∈I ⊂ K y (ei)i∈I es una base. Veremos que se dan estas descom-
posiciones, pero para ello deberemos introducir el concepto de sumabilidad en el espacio de Hilbert (comp´arese con la Definici´on 4.5 en la secci´on 4.2). A partir de ahora consideraremos s´olo espacios de Hilbert, ya que necesitamos la condici´on de completitud.
Definici´on 4.29 Sean I un conjunto de ´ındices y H un espacio de Hilbert. Se dice que (xi)i∈I es sumable a x ∈ H, y se escribe
x =X
i∈I
xi,
si para todo ε > 0 existe J0⊂ I finito tal que para todo J finito con J0⊂ J ⊂ I
se tiene que
kX
i∈J
xi− xk < ε.
Esta definici´on coincide con la usual en el caso de que I sea finito o nu- merable. Adem´as se tiene la siguiente propiedad.
Proposition 4.30. Sean H un espacio de Hilbert y (xi)i∈I ⊂ H sumable a
x ∈ H. Entonces (hxi, yi)i∈I⊂ K es sumable a hx, yi, es decir
hX i∈I xi, yi = X i∈I hxi, yi.
Demostraci´on. Basta observar que si J ⊂ I es finito entonces |X i∈J hxi, yi − hx, yi| = |h X i∈J xi− x, yi| ≤ k X i∈J xi− xk kyk
por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, obteniendo el resultado. ut
Este resultado permite identificar los coeficientes en las expresiones de un vector en t´erminos de los elementos de una familia ortonormal.
Corolario 4.31 Sean H un espacio de Hilbert, (ai)i∈I una familia ortonor-
mal y x =Pi∈Iλiai∈ H con (λi)i∈I ⊂ K. Entonces
λi= hx, aii, i ∈ I.
Demostraci´on. Inmediata a partir de la proposici´on anterior. ut
Definici´on 4.32 Sean (ai)i∈Iuna familia ortonormal en un espacio de Hilbert
H y x ∈ H. Los n´umeros (hx, aii)i∈I se llaman coeficientes de Fourier y la
expresi´onPi∈Ihx, aiiai se llama serie de Fourier de x respecto a (ai)i∈I.
Proposici´on 4.33 (Desigualdad de Bessel) Sean H un espacio de Hilbert
y (ai)i∈I una familia ortonormal. Entonces para cada x ∈ H se tiene que
(|hx, aii|2)i∈I es sumable y adem´as
X
i∈I
|hx, aii|2≤ kxk2.
Demostraci´on. En realidad s´olo hace falta probar que
X
i∈J
Bases hilbertianas 109 con J finito por la Proposici´on 4.7. Llamamos λi= hx, aii con i ∈ I y entonces
0 ≤ kx −X i∈J λiaik2= kxk2− X i∈J λihx, aii − X i∈J λihai, xi + X i∈J |λi|2 = kxk2−X i∈J |λi|2, concluyendo la demostraci´on. ut
Para series de Fourier se prueban las siguientes propiedades.
Proposici´on 4.34 Sean H un espacio de Hilbert y (ai)i∈Iuna familia ortonor-
mal.
(i) Para cada x ∈ X el conjunto {i ∈ I ; hx, aii 6= 0} es un conjunto numerable
o finito. Adem´as (hx, aiiai)i∈I es sumable en H.
(ii)Sea (λi)i∈I⊂ K. Entonces (λiai)i∈Ies sumable en H si y s´olo si (|λi|2)i∈I
es sumable en K.
Demostraci´on. Por la desigualdad de Bessel se tiene que para cada J ⊂ I
finito X
i∈J
|hx, aii|2≤ Ckxk2.
Sea k ∈ N y consideramos el conjunto Ik := {i ∈ I ; |hx, aii| ≥ 1k}. N´otese que
el cardinal de Ik es finito y adem´as
{i ∈ I ; hx, aii 6= 0} =
[
k∈N
Ik.
Por tanto {i ∈ I ; hx, aii 6= 0} es numerable o finito. Sean (bi)i∈Nobtenidos de
(ai)i∈I tales que {i ∈ I ; hx, aii 6= 0}. Veamos que
P
i∈Nhx, biibi es una serie
de Cauchy. En efecto sean m ≥ n ∈ N. Entonces
k m X i=1 hx, biibi− n X i=1 hx, biibik2= k m X i=n+1 hx, biibik2= m X i=n+1 |hx, bii|2,
y como Pi∈N|hx, bii2| < ∞, se obtiene que
P
i∈Nhx, biibi es una serie de
Cauchy, por tanto convergente y X i∈N hx, biibi= X i∈I hx, aiiai,
con lo que se tiene (i). Para probar (ii) tomamos x =Piλixi ∈ H. Por la
desigualdad de Bessel kxk2≥ X i,j∈I |hλiai, aji|2= X i∈I |λi|2.
Rec´ıprocamente la segunda implicaci´on se demuestra de igual forma que el apartado (i). ut
La bases ortonormales est´an caracterizadas por la representaci´on en serie de Fourier de todo elemento del espacio de Hilbert.
Teorema 4.35 Sean H un espacio de Hilbert y (ei)i∈I una familia ortonor-
mal en H. Son equivalentes:
(i) la familia (ei)i∈I es una base ortonormal,
(ii)para todo x ∈ H se tiene que x =Pi∈Ihx, eiiei,
(iii) para todo x, y ∈ H se tiene que hx, yi =Pi∈Ihx, eiihy, eii,
(iv) para todo x ∈ H se cumple que kxk2=P
i∈I|hx, eii|2.
Demostraci´on. Presentamos una demostraci´on c´ırcular. Comenzamos por (i) ⇒ (ii). Sea x ∈ H. Por la Proposici´on 4.34 (i) se tiene que y =Pi∈Ihx, eiiei∈
H. Dado j ∈ I,
hx − y, eji = hx, eji − h
X
i∈I
hx, eiiei, eji = hx, eji − hx, eji = 0,
por el Corolario 4.31. Por tanto (x − y) ⊥ (ej)j∈I y, por la Proposici´on 4.28,
x − y = 0, luego x =Pi∈Ihx, eiiei.
Veamos ahora (ii) ⇒ (iii). Sean x, y ∈ H. Por la Proposici´on 4.30
hx, yi = hX i∈I hx, eiiei, yi = X i∈I hx, eiihei, yi = X i∈I hx, eiihy, eii.
Simplemente tomando y = x en (iii) se obtiene (iv) .
Por ´ultimo, sea x ∈ H tal que x ⊥ ei para todo i ∈ I. Entonces por (iv)
kxk2=P
i∈I|hx, eii|2 = 0 y x = 0. Luego (ei)i∈I es maximal, y por tanto es
base ortonormal y se tiene (i). ut
Para terminar esta secci´on probaremos que todo espacio de Hilbert es isomorfo a un espacio `2(I) de los estudiados en la secci´on 4.2. Un isomorfismo
entre dos espacios de Hilbert (H1, H2) es una aplicaci´on biyectiva, lineal y
continua que conserva el producto escalar, y se escribe H1∼ H2.
Teorema 4.36 (Teorema de Riesz-Fischer) Sea H un espacio de Hilbert y
sea (ei)i∈I una base ortonormal en H. Entonces
H ∼ `2(I).
Demostraci´on. Sea T : H → `2(I) definida mediante
x 7→ (hx, eii)i∈I.
La aplicaci´on T est´a bien definida ya que (hx, eii)i∈I ∈ `2(I) por el Teorema
Duales de los espacios de Hilbert 111
hT x, T yi =X
i∈I
hx, eiihy, eii,
tambi´en por el Teorema 4.35. Adem´as es continua, ya que por la igualdad anterior kT (x)k = kxk. Falta por comprobar que es biyectiva. Si T (x) = 0 entonces hx, eii = 0 para todo i ∈ I y x = 0. Sean (λi)i∈I con (|λi|)i∈I
sumable. Entonces, por la Proposici´on 4.34, x =Pi∈Iλiei est´a bien definido
y T (x) = (hx, eii)i∈I = (λi)i∈I. ut