Teoremas de la aplicaci´on abierta y de la gr´afica cerrada

En esta secci´on presentamos el Teorema de la aplicaci´on abierta. Este resul- tado, debido a Banach, fue probado en 1929. Un a˜no mas tarde Schauder obtuvo una versi´on m´as general. As´ı el Teorema de la aplicaci´on abierta se denomina a veces Teorema de Banach-Schauder. Tambi´en presentamos otras dos reformulaciones equivalentes de este resultado, el Teorema de los isomor- fismos de Banach y el Teorema de la gr´afica cerrada (v´eanse los ejercicios 3.3 y 3.5).

Estos resultados son de gran importancia en el An´alisis Funcional. En la secci´on siguiente presentamos algunas aplicaciones.

Lema 3.22 Sean X un espacio de Banach, Y un espacio normado y T ∈

L(X, Y ). Supongamos que T (DX) es un entorno de cero en Y . Entonces T es

abierta.

Demostraci´on. Probemos primero que T (DX) es un entorno de cero en Y . Al

ser T (DX) un entorno de cero en Y , existe δ > 0 tal que δDY ⊂ T (DX) y,

para cada n ∈ N, se tiene que

δ 2nDY ⊂ T µ 1 2nDX ¶ . Dado y ∈ T¡1 2DX ¢

existe x1∈1₂DX tal que ky − T (x1)k < ₂δ2. Por tanto

y − T (x1) ∈ δ 22DY ⊂ T µ 1 22DX ¶ .

En consecuencia, existe x2 ∈ ₂12DX tal que ky − T (x1) − T (x2)k < ₂δ3. Pro-

cediendo por recurrencia, encontramos una sucesi´on (xn)n≥1 ⊂ X tal que

kxnk ≤ ₂1n y ky − n X k=1 T (xk)k < δ 2n+1. (3.1)

Al ser la seriePxnabsolutamente convergente y X completo, por la Proposici´on

1.4, la seriePxn es convergente. Sea x =

P xn. Se cumple que kxk ≤ ∞ X n=1 kxnk ≤ 1.

Como T ∈ L(X, Y ), la serie PT (xn) es convergente y su suma es T (x)

y por la desigualdad (3.1) se cumple que y = T (x) ∈ T (DX). Por tanto

T¡1 2DX ¢ ⊂ T (DX) y adem´as como δ 2DY ⊂ T µ 1 2DX ¶ ⊂ T (DX),

se deduce que T (DX) es un entorno de cero en Y .

Dado U un abierto de X, probemos que T (U ) es abierto en Y . Sea y ∈ T (U ) y x ∈ U tal que T (x) = y. Existe r > 0 tal que x+rDX⊂ U . Por la linealidad

de T se sigue que y + rT (DX) ⊂ T (U ), y por la primera parte de la prueba

existe δ > 0 tal que

y + rδ

2DY ⊂ T (U ).

Por tanto T (U ) es entorno de y, y T (U ) es abierto de Y . ut

Aplicando el resultado anterior y el Teorema de Baire (Teorema 3.15) probamos el principal resultado de esta secci´on.

Teorema 3.23 (Teorema de la aplicaci´on abierta) Toda aplicaci´on lineal,

continua y sobreyectiva entre dos espacios de Banach es abierta.

Demostraci´on. Sea T una aplicaci´on lineal, continua y sobreyectiva entre dos

espacios de Banach X e Y . Es claro que

Y = T (X) = T Ã [ n (nDX) ! =[ n T (nDX) = [ n nT (DX),

y por tanto Y = ∪nnT (DX). Al ser Y uni´on contable de subconjuntos cer-

rados de Y , por el Corolario 3.15 existe m ∈ N tal que Int(mT (DX)) 6= ∅.

Como las homotecias de un espacio normado son homeomorfismos se tiene que Int(T (DX)) 6= ∅. Para terminar la demostraci´on falta probar que T (DX)

es un entorno del origen en Y .

Sean y0∈ Int(T (DX)) y δ > 0 tal que y0+ δDY ⊂ T (DX). Probemos que

δ

2DY ⊂ T (DX). Sea y ∈ δ

2DY; los vectores y0, y0+ 2y ∈ T (DX)) y existen (xn)n≥1, (zn)n≥1⊂

DX tales que T (xn) → y0 y T (zn) → y0+ 2y. Como 1₂(zn− xn) ∈ DX para

cada n ≥ 1 y lim n T µ 1 2(zn− xn) ¶ = y,

se sigue que y ∈ T (DX). As´ı pues T (DX) es un entorno de cero en Y , y por

el lema anterior T es abierta. ut

El Teorema de la aplicaci´on abierta permite caracterizar los espacios de Banach separables en t´erminos de cocientes del espacio `1_{. Aunque esta carac-}

terizaci´on no es ´util, permite darnos una idea de la riqueza de cocientes que podemos encontrar en `1_.

Corolario 3.24 Todo espacio de Banach separable es isomorfo a un cociente

Teoremas de la aplicaci´on abierta y de la gr´afica cerrada 83

Demostraci´on. Sean X un espacio de Banach separable y {xn ; n ∈ N} un

conjunto numerable y denso en la bola unidad DX. Dado y ∈ `1 la serie

P

ny(n)xn es absolutamente convergente y por la Proposici´on 1.4 es conver-

gente. As´ı pues se define la aplicaci´on T : `1_{→ X,}

T (y) :=X

j

y(j)xj, y ≡ (y(j))j∈N∈ `1.

Es claro que T es lineal y continua.

Sea (en) ⊂ `1 tal que en(j) = δnj para todo n, k ∈ N (δnk es la funci´on

delta de Kronecker). Como en ∈ D`1 y T (e_n) = x_n entonces se tiene que

{xn ; n ∈ N} ⊂ T (D`1), y por tanto

DX = {xn ; n ∈ N} ⊂ T (D`1).

En consecuencia T (D`1) es un entorno de 0 en X, y por el Lema 3.22 T es

abierta.

Para probar que T es sobreyectiva procedemos de forma similar a la de- mostraci´on del Lema 3.22. Sea x ∈ DX. Existe xn1 tal que kx − xn1k <

1 2, es

decir, k2(x − xn1)k < 1 y por tanto existe n2> n1tal que

k2(x − xn1) − xn2k < 1 2, es decir, kx − xn1− 1 2xn2k < 1 22.

Reiterando este proceso, construimos una subsucesi´on (xnk) ⊂ DX tal que

kx − m X k=1 1 2k−1xnkk ≤ 1 2m,

con m ∈ N. Como X es un espacio de Banach, la serieP_k 1

2k−1xnk es conver-

gente y se tiene que x = T (yx) donde

yx(j) =    1 2k−1, si j = nk para alg´un nk, 0, en otro caso.

Si kxk > 1 basta considerar que x = kxk x kxk.

Entonces la aplicaci´on ˜T : `1_{/ ker(T ) → X definida por}

˜

T (y + ker(T )) = T (y), y + ker(T ) ∈ `1_{/ ker(T ),}

es biyectiva, lineal, continua y abierta, ya que T es abierta. Por tanto ˜T es un

Corolario 3.25 (Teorema de los isomorfismos de Banach) Toda biyecci´on

lineal y continua entre dos espacios de Banach es un isomorfismo.

Demostraci´on. Sea T : X → Y una biyecci´on lineal y continua entre dos

espacios de Banach X e Y . Por el teorema de la aplicaci´on abierta T es abierta y por tanto existe δ > 0 tal que δDY ⊂ T (DX). Como T es lineal y

biyectiva, δT−1_(D

Y) ⊂ DX, y por tanto

kT−1(y)k ≤ 1

δkyk, y ∈ Y.

Al ser T−1 _{lineal se obtiene la continuidad de T}−1 _{y por tanto T es un iso-}

morfismo. ut

Para terminar la secci´on probamos el Teorema de la gr´afica cerrada. Recordemos que si X es un espacio topol´ogico, Y un espacio topol´ogico de Haussdorff y F : X → Y una aplicaci´on continua, entonces la gr´afica de F , es decir,

G(F ) := {(x, y) ∈ X × Y ; y = F (x)},

es un subconjunto cerrado de X × Y . No obstante no toda aplicaci´on cuya gr´afica es cerrada es continua. Por ejemplo sea F : R → R, tal que F (x) = x−1

si x 6= 0 y F (0) = 0. Entonces G(F ) es cerrada pero no es continua.

Corolario 3.26 (Teorema de la gr´afica cerrada) Sean X e Y espacios de

Banach y T : X → Y una aplicaci´on lineal. Entonces T es continua si y s´olo si G(T ) es un subconjunto cerrado.

Demostraci´on. Si G(T ) es un subconjunto cerrado del espacio de Banach X × Y , entonces G(T ) es un espacio de Banach. La proyecci´on sobre la primera

coordenada π1: G(T ) → X definida mediante

π1(x, T (x)) = x (x, T (x)) ∈ G(T ),

es claramente una biyecci´on, lineal y continua entre espacios de Banach. Por el Corolario 3.25 tenemos la continuidad de π−1

1 : X → G(T ), π1−1(x) =

(x, T (x)), y al componer con la proyecci´on en la segunda coordenada, obte- nemos la continuidad de T . La afirmaci´on rec´ıproca se cumple en condiciones m´as generales como hemos comentado. ut

Es interesante observar que el Teorema de la aplicaci´on abierta, el Teorema de los isomorfismos de Banach y el Teorema de la gr´afica cerrada son diferentes formulaciones de un mismo principio.