Parte II Espacios de Hilbert
5.5 Aplicaciones del teorema espectral
5.5.2 Funciones propias del problema de Sturm-Liouville
½
−(pu0)0(x) + qu(x) = f (x), x ∈ I,
u(0) = u(1) = 0, (5.2)
donde p ∈ C(1)(I), q ∈ C(I) y f ∈ L2(I), estudiado en la secci´on 3.6 (al-
gunos casos particulares se ven en los ejercicios de este cap´ıtulo). Probamos el siguiente resultado.
Teorema 5.22 Sea p ∈ C(1)(I) con p ≥ α > 0 en I y q ∈ C (I). Entonces
existen una sucesi´on (λn)n≥1 de n´umeros reales positivos y una base hilber-
tiana (en)n≥1 de L2(I) tales que en ∈ C(2)(I) y
½
−(pe0
n)0(x) + qen(x) = λnen(x), x ∈ I,
en(0) = en(1) = 0.
Aplicaciones del teorema espectral 143
Demostraci´on. Siempre se puede suponer que q ≥ 0, en caso contrario elegire-
mos C constante tal que q + C ≥ 0, lo cual implica sustituir λn por λn+ C.
Por la secci´on 4.6 sabemos que para cada f ∈ L2(I) existe u ∈ H1 0(I) ∩
H2(I) ´unica soluci´on del problema (5.2). Sea T : L2(I) → L2(I) tal que
T (f ) = u. Comprobemos que T es un operador continuo, autoadjunto y com-
pacto. Probemos primero que T : L2(I) → H1(I) es continuo. Integrando el
problema (5.2) se obtiene que Z I p(u0)2+ Z I qu2= Z I f u.
Por la desigualdad de H¨older obtenemos que αku0k2
L2(I) ≤ kf k2L2(I)kuk2L2(I).
De esto y de la desigualdad de Poincar´e (v´ease la secci´on 4.6) resulta que
kukH1(I) ≤ Ckf kL2(I), donde C es una constante independiente de f y de u,
y por tanto
kT (f )kH1(I)≤ Ckf kL2(I).
Como la inyecci´on de H1(I) en L2(I) es compacta, (v´ease secci´on 5.3, el
operador T : L2(I) → L2(I) es compacto.
Demostremos ahora que Z I T (f )g = Z I f T (g), f, g ∈ L2(I). Si u = T (f ) y v = T (g) se tiene que −(pu0)0+ qu = f, −(pv0)0+ qv = g.
Multiplicando la primera ecuaci´on por v y la segunda por u, e integrado por partes, se tiene que
Z I pu0v0+ Z I quv = Z I f v = Z I gu.
N´otese que ker(T ) = {0} ya que si T (f ) = u = 0 entonces f = 0 y adem´as Z I T (f )f = Z I uf = Z I (p(u0)2+ qu2) ≥ 0, f ∈ L2(I). (5.3)
Por el teorema espectral, Teorema 5.19, L2(I) posee un base hilbertiana
(en))n≥1 formada por vectores propios de T asociada a valores propios
(µn)n≥1. Se cumple que µn > 0 (ya que µn ≥ 0 por la desigualdad 5.3 y
µ 6= 0 porque ker(T ) = {0}) y µn→ 0.
Como T (en) = µnen, entonces
−(pe0n)0+ qen = λnen, λn= 1
µn.
Ejercicios
(5.1) Sea X un espacio de Banach.
(i) Si T ∈ L(X) es invertible y S ∈ L(X) es tal que kT − Sk < 1
kT−1k en-
tonces pru´ebese que S tambi´en es invertible y se tiene que
S−1= ∞ X n=0 (T−1(T − S))nT−1, kT−1− S−1k ≤ kT −1k2kT − Sk 1 − kT−1k kT − Sk.
(ii) Pru´ebese que el subgrupo de los operadores invertibles, que se denota por Isom(X), es un abierto de L(X) y la aplicaci´on de Isom(X) en L(X) que a cada T asigna T−1 es continua para la norma en L(X).
(5.2) Sea P : H → H una proyecci´on continua no nula en un espacio de Hilbert. Pru´ebese que las siguientes afirmaciones son equivalentes.
(i) ker(P ) = (Im(P ))⊥,
(ii) P es la proyecci´on ortogonal, (iii)kP k = 1,
(iv)Im(P ) = (ker(P ))⊥,
(v) P es autoadjunto, (vi)P es normal,
(vii)hP (x), xi = kP (x)k2 para todo x ∈ H,
(viii) hP (x), xi ≥ 0 para todo x ∈ H.
(5.3) Sean H un espacio de Hilbert separable con base hilbertiana (en)n y
(an)n⊂ K una sucesi´on acotada.
(i) Pru´ebese que la serie
T (x) :=X
n=1
anhx, enien, x ∈ H,
define un operador lineal y acotado (operador diagonal), T ∈ L(H) con
kT k = sup
n |an|.
(ii) Pru´ebese que el operador T∗ es un operador diagonal definido por la
sucesi´on (λn)n.
(iii) Pru´ebese que el operador diagonal T es normal.
(iv) Pru´ebese que el operador T es autoadjunto si y s´olo si (an)n ⊂ R.
(v) Pru´ebese que el operador T es compacto si y s´olo si (an) → 0.
Ejercicios 145 (i) Pru´ebese que la f´ormula
T (f ) := f g, f ∈ L2([a, b]),
define un operador lineal y acotado en L2([a, b]) con kT k = kgk ∞,
(ii) Pru´ebese que el operador T∗ est´a definido mediante la expresi´on T∗(f ) =
gf,
(iii) Pru´ebese que el operador diagonal T es normal,
(iv)Pru´ebese que el operador T es autoadjunto si y s´olo si g(t) ∈ R para casi todo t ∈ [a, b],
(v) Pru´ebese que el operador T es compacto si y s´olo si g(t) = 0 para casi todo t ∈ [a, b].
(5.5) Pru´ebese que toda proyecci´on ortogonal sobre un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert H, P : H → H, es autoadjunta.
(5.6) Sean el espacio `2 y los operadores desplazamiento S
r, Sl : `2 → `2,
definidos mediante
Sr(x1, x2, . . .) := (0, x1, x2, . . .), Sl(x1, x2, x3. . .) := (x2, x3, . . .).
Pru´ebese que S∗
r = Sly Sl∗= Sr.
(5.7) Pru´ebese que el operador de Volterra, V : L2([0, 1]) → L2([0, 1]),
definido por,
V (f )(t) :=
Z t 0
f (s)ds, f ∈ L2([0, 1]),
es un operador de Hilbert-Schimidt y por tanto compacto.
(5.8) Sea I = (0, 1). Pru´ebese que el operador f 7→ u que a f ∈ L2(I) le
asocia la ´unica soluci´on del problema de Sturm-Liouville ½
−(pu0)0(x) + qu(x) = f (x), x ∈ I,
u(0) = u(1) = 0,
con p ≥ α > 0 y q ≥ 0 es un operador de Hilbert-Schmidt de L2(I) en L2(I).
(5.9) Consideremos el problema de Sturm-Liouville ½
−u00= f,
u(0) = u(1) = 0.
Pru´ebese que en(x) = sen(nπx) es una base hilbertiana de vectores propios
del operador asociado a este problema de Sturm-Liouville y de valores propios
µn= 1/n2π2. Resu´elvase el problema de Sturm-Liouville
½
−u00− µu = f,
que describe la ecuaci´on que rige el movimiento de una cuerda vibrante de extremos fijos.
(5.10)Resu´elvase el problema de Sturm-Liouville ½
−u00− µu = f,
u0(0) = u0(1) = 0,
que describe la ecuaci´on que rige el movimiento de una cuerda vibrante de extremos libres.
Notas hist´oricas 147
5.6 Notas hist´oricas
La teor´ıa espectral de operadores tiene sus ra´ıces en la teor´ıa de matrices y en la teor´ıa de ecuaciones integrales. En los primeros a˜nos de la teor´ıa de matri- ces los t´erminos “valor caracter´ıtico”, “valor secular” o “ra´ız latente” fueron usados para denominar lo que hoy se conoce como valor propio. Laguerre construy´o la funci´on exponencial de una matriz, y Frobenius obtuvo los de- sarrollos para el operador resolvente en las proximidades de un polo. Sylvester defini´o funciones arbitrarias de una matriz con valores propios distintos. Esto fue generalizado por Buchheim al caso de valores propios m´ultiples.
En el siglo XX, F. Riesz extendi´o estos conceptos al espacio `2. Manejando
operadores compactos en este espacio, demostr´o que el conjunto resolvente es abierto, el operador resolvente es anal´ıtico y que el teorema integral de Cauchy puede ser usado en el caso de un polo para obtener una proyecci´on que conmuta con el operador dado.
Wiener prob´o que el teorema integral de Cauchy y el teorema de Tay- lor son ciertos para funciones anal´ıticas con valores en un espacio de Banach complejo. Nagumo extendi´o algunos de los resultados de F. Riesz a ´algebras de Banach. Hille aplic´o ideas similares en el estudio de semigrupos. Gelfand desarroll´o la teor´ıa de ideales de ´algebras de Banach. Adem´as us´o la integral sobre contornos para obtener elementos idempotentes. El teorema de la apli- caci´on espectral es debido a Dunford que introdujo tambi´en otros conceptos como el de espectro continuo y espectro residual.
Fredholm estudi´o las ecuaciones integrales. Dio una detallada representaci´on de la resolvente como cociente de dos funciones enteras en t´erminos de de- sarrollos de determinantes. Schmidt us´o el m´etodo de aproximaci´on de un operador compacto por operadores de rango finito en espacios de Hilbert. Considerables trabajos han sido realizados desde entonces para calcular los valores propios de un operador y su distribuci´on.
Ch. Sturm (1836) y J. Liouville (1837) desarrollaron un teor´ıa general para abordar el estudio de las ecuaciones en el intervalo [a, b]
y00− q(x)y + λy = 0,
que satisfacen las condiciones de contorno α1y(a) + β1y0(a) = 0, α2y(b) +
β2y0(b) = 0, conocidos desde entonces como problemas de Sturm-Liouville.
La contribuci´on principal de Sturm fue la demostraci´on de que el problema planteado solo tiene soluci´on para una sucesi´on estrictamente creciente (λn)
de valores reales del par´ametro (los autovalores del problema), con lo que siente las bases de la moderna teor´ıa espectral.
Las propiedades de ortogonalidad de las correspondientes autofunciones (un) llevaron a Liouville a tratar de generalizar el desarrollo en serie de Fourier,
y expresar cualquier funci´on continua u como una seriePanun donde
an = R uun R u2 n .
Liouville logra demostrar la convergencia de la serie, siempre que la serie de Fourier de u sea convergente.
Gran parte de los esfuerzos de los analistas del XIX, se dirigieron a tratar de extender la teor´ıa de Sturm-Liouville para distintos tipos de ecuaciones en derivadas parciales con 3 o m´as inc´ognitas.
Bibliograf´ıa
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Bibliograf´ıa de texto
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[Re] Retherford, J.R.: Hilbert space: compact operators and the trace theorem, Cambridge University Press, Cambridge (1993).
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[V] Vestrup, E. M.: The theory of measures and integration, Wiley, New York (2003).
Contenidos
Presentaci´on . . . . 7
Breves apuntes hist´oricos . . . 11
Parte I Espacios de Banach 1 Introducci´on a los espacios normados . . . 17
1.1 Espacios normados . . . 17
1.2 Aplicaciones entre espacios normados . . . 22
1.3 Espacios de dimensi´on finita . . . 24
1.4 Algebras normadas . . . 27´
1.5 El teorema de Weierstrass . . . 28
Ejercicios . . . 33
1.6 Notas hist´oricas . . . 35
2 Los espacios Lp. . . 37
2.1 Definiciones y primeras propiedades . . . 37
2.2 El espacio L∞ . . . 42
2.3 Los espacios Lp de medida finita y las funciones de distribuci´on 45 2.4 Densidad en Lp . . . 48
2.5 Dualidad en Lp . . . 52
Ejercicios . . . 57
2.6 Notas hist´oricas . . . 59
3 Principales resultados en An´alisis Funcional . . . 61
3.1 El lema de Zorn . . . 61
3.2 Los teoremas de Hahn-Banach . . . 62
3.3 Aplicaciones del Teorema de Hahn-Banach . . . 69
3.3.1 El espacio dual de C([0, 1]) . . . 69
3.4 Teorema de Banach-Steinhaus . . . 73
3.5 Aplicaciones del Teorema de Banach-Steinhauss . . . 76
3.5.1 M´etodos de sumabilidad . . . 76
3.5.2 Divergencia de la serie de Fourier . . . 78
3.6 Teoremas de la aplicaci´on abierta y de la gr´afica cerrada . . . 81
3.7 Aplicaciones del Teorema de la aplicaci´on abierta . . . 84
3.7.1 Dependencia continua de la soluci´on de ecuaciones diferenciales . . . 85
3.7.2 Continuidad de aplicaciones entre espacios de sucesiones 85 Ejercicios . . . 87
3.8 Notas hist´oricas . . . 89
Parte II Espacios de Hilbert 4 Introducci´on a los espacios de Hilbert . . . 93
4.1 Definiciones, primeras propiedades y ejemplos . . . 93
4.2 El espacio `2(I) . . . 96
4.3 Espacios hilbertizables y teorema del vector minimizante . . . 99
4.4 Ortogonalidad . . . 103
4.5 Bases hilbertianas . . . 105
4.6 Duales de los espacios de Hilbert . . . 111
Ejercicios . . . 116
4.7 Notas hist´oricas . . . 119
5 Teor´ıa espectral de operadores compactos normales . . . 121
5.1 Inversi´on de operadores. Espectro . . . 121
5.2 Operadores autoadjuntos y normales en espacios de Hilbert . . . 126
5.3 Operadores compactos . . . 131
5.4 Teorema espectral para operadores compactos autoadjuntos . . . 134
5.5 Aplicaciones del teorema espectral . . . 140
5.5.1 Alternativa de Fredholm . . . 140
5.5.2 Funciones propias del problema de Sturm-Liouville . . . . 142
Ejercicios . . . 144
5.6 Notas hist´oricas . . . 147