independiente.
Sección 4.1
Ejercicios de seguimiento
En los ejercicios 1 a 16, determine f(0), f(2) y f(ab).En los ejercicios 17 a 40, determine el dominio de la función.
17. f(x) 10 18. f(x) 25 19. f(x) 5x 10 20. f(x) x 3 21. f(x) mx b 22. f(x) ax 23. f(x) 25 x2 24. f(x) x2 4 25. f(x) √x 4 26. f(x) √ 2x 25 27. f(t) √ t 8 28. f(t) √9 t2 29. f(r) √r2 9 30. f(r) √25 r2 31. f(x) 10/(4 x) 32. f(x) (x 4)/(x2 6x 16) 33. f(u) (3u 5)/( u2 2u 5) 34. f(t) √ t 10/( 3t3 5t2 10t) 35. f(x) √2.5x 20/(x3 2x2 15x) 36. h(v) √10 v/3/(v5 81v) 37. g(h) √h2 4/(h3 h2 6h) 38. f(x) √x2 x 6 39. f(x) √x2 8x 15 40. h(r) √r2 16 1. f(x) 5x 10 2. f(x) 3x 5 3. f(x) x 4 4. f(x) x/2 5. f(x) mx b 6. f(x) mx 7. f(x) x2 9 8. f(x) x2 2x 9. f(t) t2 t 5 10. f(r) tr2 ur v 11. f(u) u3 10 12. f(u) 2u3 5u 13. f(n) n4 14. f(t) 100 15. f(x) x3 2x 4 16. f(x) 25 x2/2
PUNTOS PARA
PENSAR Y
ANALIZAR
Examine la función de las ventas para la condición x1x25 000. Aunque sólo se aplica el bono de $25 a unidades en exceso de las 5 000, parece que todas las unidades reciben el bono de $25. ¿Y dón- de está el bono de $50 000 en la función? ¿Qué representan 75 000? Al parecer, la reordenación y simplificación de esta función distorsio- nan la lógica de las relaciones. ¡Aclárenos la lógica!
41. La función C(x) 15x80 000 expresa el costo total C(x) (en dólares) de fabricar xunidades de un producto. Si el número máximo de unidades que se pueden producir es 50 000, determine el dominio restringido y el rango para esta función del costo.
42. Función de la demanda La función qf(p) 280 000 35pes una función de la demanda que expresa la cantidad demandada de un producto qcomo una función del precio cobrado del producto p, expresado en dólares. Determine el dominio restringido y el rango de esta función. 43. Función de la demanda La función qf(p) 180 000 30pes una función de la deman- da que expresa la cantidad demandada de un producto qcomo una función del precio cobrado del producto p, indicado en dólares. Determine el dominio restringido y el rango de esta fun- ción.
44. Primas de seguros Una compañía de seguros tiene un método simplificado para determinar la prima anual para una póliza de seguro de vida. Se cobra una cuota anual sencilla de $150 anua- les para todas las pólizas más $2.50 por cada mil dólares de la cantidad de la póliza. Por ejemplo, una póliza de $20 000 costaría $150 por la cuota fija más $50, que corresponden al valor nomi- nal de la póliza. Si pes igual a la prima anual en dólares y xequivale al valor de la póliza (expre- sado en miles de dólares), determine la función que se puede utilizar para calcular las primas anuales.
45. En el ejercicio 44, suponga que la póliza mínima que se emitirá es de $10 000 y la máxima can- tidad asegurada será $500 000. Determine el dominio restringido y el rango de la ecuación encon- trada en el ejercicio 44.
46. Una compañía eléctrica local usa el método siguiente para calcular las cuentas eléctricas men- suales para un tipo de clientes. Se evalúa un cargo de servicio mensual de $5 por cada cliente. Además, la compañía cobra $0.095 por kilowatt hora. Si ces igual a la cuota mensual expresa- da en dólares y kes el número de kilowatts hora usados durante un mes:
a) Determine la función que expresa el cargo mensual de un cliente como una función del nú- mero de kilowatts hora.
b) Use esta función para calcular la cuota mensual para un cliente que usa 850 kilowatts hora. 47. Refiérase al ejercicio 46 y suponga que el método de cálculo de cuentas de electricidad se aplica
para clientes que usan entre 200 y 1 500 kilowatts hora por mes. Determine el dominio restringi- do y el rango de la función de ese ejercicio.
48. Arrendamiento de automóviles Una agencia de arrendamiento de automóviles renta autos con una tasa de $15 por día más $0.08 por milla conducida. Si yes igual al costo de la renta de un auto en dólares por un día y xequivale al número de millas conducidas en un día:
a) Determine la función yf(x) que expresa el costo diario de la renta de un automóvil. b) ¿Cuál es f(300)? ¿Qué representa f(300)?
c) Comente sobre el dominio restringido de la función.
49. En la fabricación de un producto, una empresa incurre en dos tipos de costos. Se incurre en cos- tos anuales fijos de $250 000 sin importar el número de unidades producidas. Además, para la em- presa cada unidad producida tiene un costo de $6. Si Ces igual al costo total anual en dólares y xes igual al número de unidades producidas en un año:
a) Determine la función Cf(x) que expresa el costo anual. b) ¿Cuál es f(200 000)? ¿Qué representa f(200 000)?
c) Indique el dominio restringido y el rango restringido de la función si la capacidad máxima de producción es de 300 000 unidades por año.
50. Plan de incentivo salarial Un productor de un producto perecedero ofrece un incentivo salarial a los conductores de sus camiones. Una entrega estándar toma un promedio de 20 horas. Se paga
4.1 Funciones
157
a los conductores con una tasa de $10 por hora hasta un máximo de 20 horas. Hay un incentivo para los conductores que hagan el viaje en menos de 20 horas (¡pero no en mucho menos!). Por cada hora por debajo de las 20, el salario aumenta $2.50. (El incremento salarial de $2.50 por hora se aplica a fracciones de hora. Es decir, si un viaje toma 19.5 horas, el aumento en el sala- rio es de 0.5 $2.50 o $1.25.) Determine la función wf(n), donde wes el salario por hora (en dólares) y nel número de horas para completar el viaje.
51. Impulso de las membresías Un pequeño club de salud trata de estimular nuevas membresías. Por tiempo limitado se reducirá la cuota anual normal de $300 a $200. Como un incentivo adi- cional, para cada miembro nuevo por encima de los 60, el cargo anual por cada miembro se re- ducirá $2 más. Determine la función pf(n), donde pes la cuota de membresía para miembros nuevos y nes el número de miembros nuevos.
52. Dada f(x, y) x26xy2y2, determine a) f(0, 0), b) f(1, 2) y c) f(5, 10).
53. Dada g(u, v) 2u25uvv3, determine a) g(0, 0), b) g(5, 2), c) g(5, 10) y d) g(x, y). 54. Dada v(h, g) h2/2 5hgg210, determine a) v(0, 0), b) v(4, 2) y c) v(2, 5). 55. Dada f(x1, x2, x3) (x1x22x3)2, determine a) f(1, 1, 1), b) f(2, 3, 1) y c) f(2, 0, 4). 56. Dada f(x1, x2, x3) x3 1 2x21x2 3x2x3 10, determine a) f(0, 2, 3), b) f(2, 1, 5) y c) f(3, 0, 5). 57. Dada f(x1, x2, x3, x4) 2x1x25x2x4x1x3x4, determine a) f(0, 1, 0, 1) y b) f(2, 1, 2, 3). 58. Dada f(a, b, c, d) 4aba2bd2c2d, determine a) f(1, 2, 3, 4) y b) f(2, 0, 1, 5).
59. Dada f(x1, x2, x3, x4) x1x25x3x4, determine a) f(1, 10, 4, 5), b) f(2, 2, 2, 2) y c) f(a, b, c, d). 60. Una compañía estima que el número de unidades que vende cada año es una función de los gas-
tos en publicidad por radio y televisión. La función específica es
donde zes igual al número de unidades vendidas por año, xequivale a la cantidad gastada en pu- blicidad televisiva y yes la cantidad gastada en publicidad por radio (ambas en miles de dólares). a) Determine las ventas anuales esperadas si se gastan $50 000 en publicidad en televisión y
$20 000 en publicidad en radio.
b) ¿Cuáles son las ventas esperadas si se gastan $80 000 y $100 000, respectivamente? 61. Modelo de asignación de precios Un fabricante vende dos productos relacionados, cuyas de-
mandas se caracterizan por las dos funciones de la demanda siguientes:
donde pjes igual al precio (en dólares) del producto jy qjes la demanda (en miles de unidades) del producto j.
a) ¿Cuántas unidades de cada producto se espera que se demanden si se cobra $20/unidad del producto 1 y $40/unidad del producto 2?
b) ¿Cuántas unidades se esperan si los precios unitarios son $40 y $30, respectivamente? 62. Albergue familiar Un centro de apoyo para mujeres que proporciona albergue para mujeres y
niños provenientes de hogares con abuso emprende una campaña popular de recaudación de fon- dos en la comunidad. Un componente de la campaña es la venta de dos tipos de caramelos. La utilidad del dulce es $0.50 y $0.75 por barra para los dos tipos, respectivamente. El proveedor de los dulces ofreció un incentivo si el número total de barras de caramelo vendidas es de más de 2 000. Por cada barra por encima de las 2 000, el centro ganará $0.25 adicionales. Deter-
1 2 3 4 1 2 2 4 1 3 4 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 q1f1(p1,p2)2504p1p2 q2f2(p1,p2)200p13p2 j j 1 2 j j 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 1 2 2 4 1 3 4 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 zf(x,y)20000x40000y20x230y210xy 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 j j 1 2 j j 1 2 3 1 2 3
mine la función Pf(x1, x2), donde Pes igual a la utilidad total en dólares y xjes igual al nú- mero de barras vendidas del tipo j.Si se venden 750 y 900 barras, respectivamente, ¿cuál es la utilidad esperada? ¿Si se venden 1 500 y 2 250, respectivamente?
63. Se paga a un vendedor un salario base semanal y gana una comisión por cada unidad vendida de tres productos diferentes. El salario base es de $60 y las comisiones por unidad vendida son $2.50, $4.00 y $3.00, respectivamente. Si Sequivale al salario semanal del vendedor y xj es igual al número de unidades vendidas del producto jdurante una semana dada, determine la función del salario Sf(x1, x2, x3). ¿Cuál sería el salario semanal si el vendedor vende 20, 35 y 15 uni- dades, respectivamente, de los tres productos?
64. En el ejercicio previo, suponga que el vendedor puede ganar un bono si la venta combinada de los tres productos excede las 50 unidades por semana. El bono es igual a $25 más una comisión adicional de $1.25 por todas las unidades vendidas por encima de las 50. Determine la función del salario semanal Sf(x1, x2, x3). ¿Cuál sería el salario ganado por las 20, 35 y 15 unidades vendidas en el ejercicio anterior?