Caracterización de la WRNP mediante la integral de Birkhoff

Comenzamos el apartado mostrando que `∞no tiene la propiedad débil de Radon-Nikodým. Los argumentos empleados en la prueba de este resultado (debido a Ryll-Nardzewski, véase [Mus79]) se remontan a Sierpinski [Sie39] y serán utilizados de nuevo para extender la conclusión a todos los duales de espacios de Banach con subespacios isomorfos a `1(Teorema 2.4.19). Proposición 2.4.18 (Ryll-Nardzewski). `∞no tiene la propiedad débil de Radon-Nikodým. Demostración. Trabajamos en el espacio de probabilidad completo ({0, 1}N_,L

1, λ1). Conside-

ramos la función “identidad” f : {0, 1}N_{−→ `∞. En primer lugar, veamos que f es integrable}

2.4 La propiedad débil de Radon-Nikodým en espacios de Banach duales

••

107

Fijamos x = (an) ∈ `1y observamos que h f , xi =∑∞n=1anπn, donde πn: {0, 1}N−→ R es la proyec-

ción en la n-ésima coordenada. Como cada πn es medible, lo mismo ocurre con h f , xi. Por tanto,

f es integrable Gel’fand (Definición 1.8.15) y, por el Lema 1.8.16, existe una medida finitamente

aditiva ν = γ_f :L₁−→ `_∞tal que

ν (E)(x) = Z

E

h f , xi dλ₁ para cada E ∈L₁y cada x ∈ `1. (2.21) Nótese que, para cada E ∈L₁, se tiene

|ν(E)(en)| =    Z E h f , eni dλ1   =    Z E πndλ1  

≤ λ1(E) para todo n ∈ N,

y así kν(E)k_∞≤ λ₁(E). En particular, ν es contablemente aditiva, λ₁-continua y de variación acotada.

A continuación probamos que f no es escalarmente medible. IdentificamosP(N) con {0,1}N mediante la biyección ψ : {0, 1}N_−→P(N) dada por ψ((a

n)) := {n ∈ N : an= 1}. Fijamos

cualquier ultrafiltro no principalU ⊂ P(N). Es conocido que ψ−1(U ) ⊂ {0,1}N_{no es medible} (véase la Sección 1.2). Definimos x∗∗∈ `∗_∞mediante

x∗∗((cn)) := l´ım

n→Ucn para todo (cn) ∈ `∞.

Dado (zn) ∈ {0, 1}N, o bien ψ((zn)) ∈U , o bien ψ((1 − zn)) ∈U (porque U es un ultrafiltro).

En el primer caso se tiene l´ım_n→Uzn= 1, mientras que en el segundo l´ım_n→Uzn= 0. Por tanto,

x∗∗◦ f = χ_U no es medible y, en consecuencia, f no es escalarmente medible.

Finalmente, vamos a demostrar que ν no es la integral indefinida de una función integrable

Pettis. Razonamos por reducción al absurdo. Supongamos que existe una función integrable Pettis g : {0, 1}N_{−→ `∞tal que ν = ν}

g. Dado n ∈ N, la igualdad (2.21) nos dice que

Z E hg, eni dλ1= Z E h f , eni dλ1 para cada E ∈L1,

luego hg, eni = h f , eni λ1-a.e. Teniendo en cuenta que kx∗k = supn∈N|hx∗, eni| para cada x∗∈ `∞,

se deduce que g = f λ₁-a.e. y, por tanto, f es escalarmente medible, una contradicción.

La primera parte del siguiente teorema se debe a Haydon [Hay76], mientras que la segunda fue demostrada por Musial y Ryll-Nardzewski en [MRN78] utilizando el hecho de que, dados

un subespacio cerrado Y ⊂ X y una medida contablemente aditiva ν :Σ−→ Y∗ _{con variación}

acotada, siempre existe una medida contablemente aditiva con variación acotada ν0:Σ−→ X∗tal que r ◦ ν0= ν, donde r : X∗−→ Y∗denota el operador “restricción”, véase [MRN78, Theorem 1].

Nosotros hemos optado por seguir los pasos de Matsuda [Mat83] y proporcionar una prueba más directa de (ii).

••

108 La integral de Birkhoff de funciones vectoriales Teorema 2.4.19. Supongamos que X contiene un subespacio isomorfo a `1. Entonces:

(i) la aplicación identidad i : B_X∗ −→ X∗no es universalmente escalarmente medible;

(ii) X∗no tiene la propiedad débil de Radon-Nikodým.

Demostración. Utilizamos las notaciones de la prueba de la Proposición 2.4.18. Sean Y ⊂ X un

subespacio isomorfo a `1y φ<sub>1</sub>: `1−→ Y un isomorfismo. Consideramos la inclusión i : Z −→ X

y la composición φ := i ◦ φ₁. Como el operador adjunto φ∗: X∗−→ `<sub>∞</sub> es suprayectivo, existe un δ > 0 tal que δ B<sub>`∞</sub> ⊂ φ∗(B_X∗) (por el Teorema de la Aplicación Abierta). Evidentemente,

reemplazando el isomorfismo inicial φ₁por δ−1φ₁, podemos suponer sin pérdida de generalidad

que B_`∞ ⊂ φ∗_(B

X∗).

En {0, 1}N_{coinciden la topología usual y la inducida como subespacio de (B} `∞, w

∗_{). Teniendo} en cuenta que φ∗es w∗-w∗-continuo, deducimos que K := (φ∗)−1({0, 1}N_{) ∩ B}

X∗es w∗-compacto.

Consideramos la suprayección continua ϕ := φ∗|_K : K −→ {0, 1}N_{. Como λ}

1 es una medida de

Radon en {0, 1}N_{, existe una medida de Radon µ}

1:Σ1−→ [0, 1] en K tal que ϕ−1(E) ∈Σ1 y

λ₁(E) = µ₁(ϕ−1(E)) para cada E ∈L₁(Proposición 1.3.4). Ahora podemos encontrar una medida

de Radon µ₂en (B_X∗, w∗) tal que µ₂(F) = µ₁(F ∩ K) para cada F ∈ Borel(B_X∗, w∗).

En primer lugar, vamos a demostrar que i no es escalarmente medible respecto de µ₂. En efecto, como la función “identidad” f : {0, 1}N<sub>−→ `∞no es escalarmente medible (véase la prueba</sub> de la Proposición 2.4.18), podemos encontrar un ξ ∈ `∗_∞tal que ξ |_{0,1}Nno es λ1-medible. El hecho

de que µ₁ es perfecta (por ser una medida de Radon) nos permite concluir que la composición

ξ ◦ ϕ no es µ₁-medible, gracias a la Proposición 1.2.1. Por tanto, ξ ◦ φ∗|_B

X ∗ no es µ2-medible. Esto

completa la demostración de (i).

La prueba de (ii) es como sigue. Nótese que i|_Kes acotada y que la composición hi|_K, xi = x|_K

es medible Borel para cada x ∈ B_X. Por tanto, i|_K es integrable Gel’fand respecto de µ₁ y el Lema 1.8.16 nos dice que existe una medida finitamente aditiva ν₁= γ_i|

K :Σ1−→ X

∗_{tal que}

ν₁(A)(x) = Z

A

hx∗, xi dµ₁(x∗) para cada A ∈Σ₁y cada x ∈ X . (2.22) Consideramos la medida finitamente aditiva ν0:L₁ −→ X∗ dada por ν0(E) := ν₁(ϕ−1(E)). Es

fácil ver, a partir de (2.22), que kν0(E)k ≤ λ₁(E) para todo E ∈L₁. Por tanto, ν0 es contable- mente aditiva, λ₁-continua y tiene variación acotada. Vamos a demostrar que ν0 no es la integral indefinida de una función integrable Pettis de {0, 1}N _{en X}∗_{. En efecto, para cada y ∈ `}1 _{y cada}

E ∈L₁, podemos aplicar (2.22) y un cambio de variable ordinario para deducir

hφ∗(ν0(E)), yi = hν₁(ϕ−1(E)), φ (y)i = Z ϕ−1(E) hx∗, φ (y)i dµ₁(x∗) = Z ϕ−1(E) hφ∗(x∗), yi dµ₁(x∗) = Z E h f , yi dλ₁= hν(E), yi,

donde ν :L₁−→ `_∞ es la medida contablemente aditiva construida en la demostración de la Proposición 2.4.18. Sabemos que ν = φ∗◦ ν0no es la integral indefinida de una función integrable

2.4 La propiedad débil de Radon-Nikodým en espacios de Banach duales

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109

Pettis de {0, 1}N_{en `∞. Por tanto, ν}0 _{tampoco es la integral indefinida de una función integrable} Pettis, como se quería demostrar.

Para demostrar el recíproco de cada una de las partes del Teorema 2.4.19 necesitamos los dos resultados auxiliares que incluimos a continuación; podemos encontrarlos en [Din67, §11, Section 6] (véase también [Dul89, Proposition 6.2]) y [Dul89, Lemma 5.9], respectivamente. Proposición 2.4.20 (Dinculeanu). Sea ν :Σ−→ X∗una medida contablemente aditiva para la que existe una constante M > 0 tal que |ν|(E) ≤ Mµ(E) para cada E ∈Σ. Entonces, fijado un lifting τ enΣ, existe una función f :Ω−→ X∗_{con las siguientes propiedades:}

(i) k f (t)k ≤ M para cada t ∈Ω;

(ii) para cada x ∈ X , la composición h f , xi es medible, coincide con ρτ(h f , xi) y verifica

ν (E)(x) = Z

E

h f , xi dµ para cada E ∈Σ.

Demostración. Fijamos x ∈ X . La composición hν, xi es una medida contablemente aditiva que

satisface |hν, xi|(E) ≤ Mkxkµ(E) para cada E ∈Σ. Por el teorema clásico de Radon-Nikodým, véase e.g. [Fre01, 232F], existe hx∈L1(µ) tal que

ν (E)(x) = Z

E

hxdµ para cada E ∈Σ. (2.23)

En particular,R

E|hx| dµ = |hν, xi|(E) ≤ Mkxkµ(E) para cada E ∈Σy, por tanto, |hx| ≤ Mkxk

µ -a.e. Se sigue que hx∈L∞(µ) y que |ρτ(hx)(t)| ≤ Mkxk para cada t ∈Ω(véase la Afirmación en la prueba del Lema 1.10.6).

Dado t ∈Ω, podemos definir un funcional lineal f (t) : X −→ R mediante f (t)(x) := ρτ(hx)(t).

Nótese que sup_x∈B

X| f (t)(x)| = supx∈BX|ρτ(hx)(t)| ≤ M, luego f (t) ∈ X

∗_{y k f (t)k ≤ M.}

Para acabar, veamos que la función f :Ω−→ X∗ _{satisface (ii). En efecto, para cada x ∈ X ,} tenemos la igualdad h f , xi = ρτ(hx) = hx µ -a.e. Así, h f , xi es medible y verifica ρτ(h f , xi) =

ρτ(hx) = h f , xi. Además, en virtud de (2.23), se cumple

R

Eh f , xi dµ = ν(E)(x) para cada E ∈Σ.

Esto completa la demostración.

Lema 2.4.21. Sea ν :Σ−→ X una medida contablemente aditiva, µ-continua y con variación σ -finita. Entonces existe una sucesión disjunta (An) enΣconΩ=S∞n=1Ande manera que, para

cada n ∈ N, existe Mn> 0 tal que |ν|(E) ≤ Mnµ (E) para todo E ∈Σ_En.

Demostración. Evidentemente, podemos suponer sin pérdida de generalidad que ν tiene variación

acotada. Como además ν es contablemente aditiva, su variación |ν| es una medida contable- mente aditiva, véase e.g. [DU77, Proposition 9, p. 3]. Dado que |ν|(E) = 0 cuando µ(E) = 0, el clásico teorema de Radon-Nikodým, véase e.g. [Fre01, 232F], asegura la existencia de una función medible h :Ω−→ [0, +∞) cumpliendo |ν|(E) =R

Ωh dµ para cada E ∈Σ. Definimos An= {t ∈Ω: n − 1 ≤ h(t) < n} para cada n ∈ N. Es claro que (An) satisface las propiedades

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110 La integral de Birkhoff de funciones vectoriales Ya tenemos todas las herramientas necesarias para demostrar el principal resultado de esta sección. Vamos a seguir las ideas empleadas por Musial [Mus83, Mus84] (alternativamente, véase [Mus91, Theorem 12.1] ó [Mus02, Theorem 9.7]) en su demostración de que los duales de espacios de Banach sin subespacios isomorfos a `1siempre tienen la WRNP.

Teorema 2.4.22 ([CR05]). Supongamos que X no contiene subespacios isomorfos a `1, y sea ν :Σ−→ X∗ una medida contablemente aditiva, µ-continua y con variación σ -finita. Entonces existe una función integrable Birkhoff f :Ω−→ X∗tal que ν = ν_f.

Demostración. Distinguimos dos casos.

Caso particular.- Existe una constante M > 0 tal que |ν|(E) ≤ Mµ(E) para cada E ∈Σ. Fijamos un lifting τ en Σ. Por la Proposición 2.4.20, existe una función f :Ω−→ X∗ con las siguientes propiedades:

(i) k f (t)k ≤ M para cada t ∈Ω;

(ii) para cada x ∈ X , la composición h f , xi es medible, coincide con ρτ(h f , xi) y se tiene la igualdad ν(E)(x) =R

Eh f , xi dµ para todo E ∈Σ.

Obsérvese que Z_{f ,B}

X = {h f , xi : x ∈ BX} ⊂ `∞(Ω) no contiene `

1_{-sucesiones. En efecto, si esto}

no es así, entonces existen un δ > 0 y una sucesión (xn) en BX tales que

δ ·  n

∑

i=1 |a_i|≤ n

∑

i=1 a_ih f , x_ii _∞= h f , n

∑

i=1 a_ix_ii _∞≤ M n

∑

i=1 a_ix_i

para cada n ∈ N y cualesquiera a1, . . . , an ∈ R. Por tanto, (xn) es una `1-sucesión en X y, en

consecuencia, X contiene un subespacio isomorfo a `1(Lema 2.4.3), lo que contradice la hipótesis. En vista de (i) y (ii), Z_{f ,B}

X es una familia uniformemente acotada de funciones medibles que

satisface ρτ(Zf ,B_X) = Zf ,B_X. Además, no contiene `1-sucesiones, luego podemos aplicar el Coro-

lario 2.4.13 para deducir que Z_{f ,B}

X tiene la propiedad de Bourgain. Por tanto, f es integrable

Birkhoff (Corolario 2.3.3). Finalmente, para cada E ∈Σ, tanto ν(E) como ν_f(E) pertenecen a X∗

y satisfacen

ν (E)(x) = Z

E

h f , xi dµ = ν_f(E)(x) para todo x ∈ X . Esto completa la prueba del Caso particular.

Caso general.- Por el Lema 2.4.21, existe una partición contable (An) deΩen Σde manera

que, para cada n, existe una constante Mn> 0 tal que |ν|(E) ≤ Mnµ (E) para todo E ∈ΣAn. El

Caso particular asegura la existencia de funciones integrables Birkhoff fn: An−→ X∗ tales que

ν (E) = (B)R_E f |_A

n dµE para todo E ∈ΣAn. Definimos f :Ω−→ X mediante f (t) := fn(t) para

cada t ∈ Any cada n.

Por un lado, f es integrable Birkhoff. En efecto, esto se sigue del Lema 2.1.14, puesto que las restricciones f |_A

n = fn son integrables Birkhoff y, para cualquier partición contableΓdeΩenΣ

más fina que (An), la serie

∑

E∈Γ (B) Z E f |_E dµ_E=

∑

E∈Γ ν (E)

2.4 La propiedad débil de Radon-Nikodým en espacios de Banach duales

••

111

es incondicionalmente convergente. Por otra parte, el hecho de que ν_f es contablemente aditiva asegura

ν (E) =

∑

n

ν (E ∩ An) =

∑

n

ν_f(E ∩ An) = ν_f(E) para cada E ∈Σ.

Esto finaliza la demostración.

Corolario 2.4.23. Supongamos que X no contiene subespacios isomorfos a `1. Entonces toda fun- ción integrable Pettis g :Ω−→ X∗_{es escalarmente equivalente a una función integrable Birkhoff}

f :Ω−→ X∗.

Demostración. Como νges contablemente aditiva, µ-continua y tiene variación σ -finita (Teore-

ma 1.8.7 y Corolario 1.8.11), podemos aplicar el Teorema 2.4.22 para deducir la existencia de una función integrable Birkhoff f :Ω−→ X∗tal que ν_f = νg. Por tanto, fijado x∗∗∈ X∗∗, se tiene la

igualdad Z E x∗∗◦ f dµ = x∗∗(ν_f(E)) = x∗∗(νg(E)) = Z E x∗∗◦ g dµ para cada E ∈Σ,

luego x∗∗◦ f = x∗∗_{◦ g µ-a.e. Se sigue que f y g son escalarmente equivalentes.}

Como ya sabemos, integrabilidad Birkhoff e integrabilidad Pettis son equivalentes para fun- ciones con valores en espacios de Banach separables (Corolario 2.1.17). En el caso de espacios de Banach duales, disponemos de la siguiente extensión de dicho resultado.

Corolario 2.4.24. Supongamos que X es separable y no tiene subespacios isomorfos a `1. En- tonces una función f :Ω−→ X∗es integrable Birkhoff si y sólo si es integrable Pettis.

Demostración. Como X es separable, lo mismo ocurre con (B_X∗∗, w∗). Por tanto, cualquier fun-

ción escalarmente nula h :Ω−→ X∗_{se anula en casi todo punto. El resultado se sigue ahora del} Corolario 2.4.23.

Recordemos que existen espacios de Banach separables sin subespacios isomorfos a `1 cuyo dual no es separable; por ejemplo, el James tree space JT , véase e.g. [Dul89, Chapter VIII].

Un resultado de Haydon [Hay76] afirma que X no contiene subespacios isomorfos a `1si y sólo si la aplicación identidad i : B_X∗ −→ X∗ es universalmente integrable Pettis (resp. univer-

salmente escalarmente medible). Ahora podemos mejorar la condición necesaria.

Corolario 2.4.25. Supongamos que X no tiene subespacios isomorfos a `1. Entonces la aplicación identidad i : B_X∗ −→ X∗es universalmente integrable Birkhoff.

Demostración. La familia Z_i,B

X = {x|BX ∗ : x ∈ BX} ⊂ C(BX∗, w

∗_{) es uniformemente acotada y no} contiene `1-sucesiones (porque X no contiene subespacios isomorfos a `1). Por tanto, podemos aplicar el Corolario 2.4.12 para deducir que Z_i,B

X tiene la propiedad de Bourgain (equivalente-

mente, i es integrable Birkhoff; Corolario 2.3.3) respecto de cada medida de Radon en (B_X∗, w∗),

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112 La integral de Birkhoff de funciones vectoriales Corolario 2.4.26. Supongamos que X no tiene subespacios isomorfos a `1. Sean µ una medida de Radon en (B_X∗, w∗) y A ⊂ B_X∗∗. Entonces para cada x∗∗∈ A

w∗

existe una sucesión (x∗∗_n ) en A tal que l´ım n x ∗∗ n |B_{X ∗} = x ∗∗_| B_{X ∗} µ -a.e.

Demostración. Como acabamos de ver, la familia Z_i,B

X tiene la propiedad de Bourgain respecto

de µ. Por tanto, lo mismo ocurre con Z_i,B

X Tp = Z_i= {x∗∗|_B X ∗ : x ∗∗_{∈ B} X∗∗}. El resultado se sigue

ahora del Teorema 2.2.3.

Es conocido que, al igual que ocurre con la RNP, la propiedad débil de Radon-Nikodým se puede caracterizar en términos de “representabilidad” de operadores, véase e.g. [Dul89, Lem- ma 5.9]. En la Proposición 2.4.29 proporcionamos una prueba de este hecho, cuyo punto de partida es la siguiente observación elemental.

Lema 2.4.27. (i) Sea ν :Σ−→ X una medida contablemente aditiva para la que existe una constante M > 0 tal que |ν|(E) ≤ Mµ(E) para cada E ∈Σ. Entonces existe un único ope- rador T : L1(µ) −→ X tal que T (χ_E) = ν(E) para cada E ∈Σ.

(ii) Sea T : L1(µ) −→ X un operador. Entonces la función ν :Σ−→ X definida por la fórmula ν (E) := T (χ_E) es una medida contablemente aditiva que cumple |ν|(E) ≤ kT kµ(E) para cada E ∈Σ.

Demostración. La prueba de (ii) es inmediata. Para demostrar (i), consideramos el subespacio S ⊂ L1(µ) formado por todas las (clases de equivalencia de) funciones reales simples. Como ν es µ -continua, podemos definir una aplicación lineal T₁: S −→ X tal que T₁(χ_E) = ν(E) para cada E ∈Σ. Obsérvese que, dados E₁, . . . , Ep∈Σdisjuntos dos a dos y a1, . . . , ap∈ R, se tiene

T  p

∑

i=1 a_iχ_E i  = p

∑

i=1 a_iν (E_i) ≤ p

∑

i=1 |a_i||ν|(E_i) ≤ M  p

∑

i=1 |a_i|µ(E_i)  = M p

∑

i=1 a_iχ_E i 1.

Por tanto, T₁: S −→ X es continua. Como S es denso en L1(µ), existe una única aplicación lineal

continua T : L1(µ) −→ X que extiende a T₁. Esto completa la demostración.

Recordamos que una función f :Ω−→ X es escalarmente acotada si existe una constante M > 0 tal que, para cada x∗∈ B_X∗, se tiene |x∗◦ f | ≤ M µ-a.e.

Definición 2.4.28. Decimos que un operador T : L1_{(µ) −→ X es representable Pettis (resp.}

Birkhoff) si existe una función f :Ω−→ X escalarmente acotada e integrable Pettis (resp. Birkhoff) tal que

hx∗, T (g)i = Z

Ωg · hx

∗_{, f i dµ para cada x}∗_{∈ X}∗_{y cada g ∈ L}1_(µ).

Proposición 2.4.29. Las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) X tiene la propiedad débil de Radon-Nikodým respecto de µ; (ii) todo operador T : L1(µ) −→ X es representable Pettis.

2.4 La propiedad débil de Radon-Nikodým en espacios de Banach duales

••

113

Demostración. (i)⇒(ii) Fijamos un operador T : L1(µ) −→ X . La función ν :Σ−→ X definida

por ν(E) := T (χ_E) es una medida contablemente aditiva que satisface |ν|(E) ≤ kT kµ(E) para

cada E ∈Σ (Lema 2.4.27 (ii)). Como X tiene la µ-WRNP, existe una función integrable Pettis

f :Ω−→ X tal que hx∗, T (χ_E)i = hx∗, ν(E)i = Z Ehx ∗_{, f i dµ =}Z ΩχE· hx ∗_{, f i dµ}

para cada E ∈Σy cada x∗∈ X∗.

(2.24) Fijamos x∗∈ B_X∗. La igualdad anterior asegura que

Z

E

|hx∗, f i| dµ = |x∗◦ ν|(E) ≤ |ν|(E) ≤ kT kµ(E) para cada E ∈Σ,

luego |x∗◦ f | ≤ kT k µ-a.e. Consideramos el elemento R_x∗ ∈ L1(µ)∗definido mediante la fórmula

R_x∗(g) :=

R

Ωg · hx∗, f i dµ. La igualdad (2.24) muestra que Rx∗ coincide con x∗◦ T sobre el subes-

pacio denso de L1_{(µ) formado por todas las (clases de equivalencia de) funciones reales simples.}

Por tanto, R_x∗= x∗◦ T . Esto demuestra que T es representable Pettis.

Recíprocamente, veamos (ii)⇒(i). Fijamos una medida contablemente aditiva y µ-continua

ν :Σ−→ X con variación σ -finita. Por el Lema 2.4.21, existe una sucesión disjunta (An) enΣcon Ω=S∞

n=1Ande manera que, para cada n ∈ N, existe Mn> 0 tal que |νn|(E) ≤ Mnµ (E) para todo E ∈Σ, donde νnes la medida contablemente aditiva definida por νn(E) := ν(E ∩ An).

Fijamos n ∈ N y consideramos el único operador Tn: L1(µ) −→ X tal que Tn(χE) = νn(E) para

todo E ∈Σ(Lema 2.4.27 (ii)). Por hipótesis, existe una función escalarmente acotada e integrable Pettis fn:Ω−→ X cumpliendo (x∗◦ ν)(E ∩ An) = (x∗◦ νn)(E) = hx∗, Tn(χ_E)i = Z E x∗◦ fndµ para cada E ∈Σ. Definimos f :Ω−→ X mediante f :=∑∞_n=1fnχ_A n. Dado x ∗_{∈ B}

X∗, es claro que x∗◦ f es medible

y satisface Z Ω|x ∗_{◦ f | dµ =}

∑

∞ n=1 Z An |x∗◦ fn| dµ = ∞

∑

n=1 |x∗◦ ν|(An) = |x∗◦ ν|(Ω) < +∞, luego x∗◦ f ∈L1_{(µ). Además,} Z E x∗◦ f dµ = ∞

∑

n=1 Z E∩An x∗◦ fndµ = ∞

∑

n=1

(x∗◦ ν)(E ∩ An) = x∗(ν(E)) para cada E ∈Σ.

Por tanto, f es integrable Pettis y ν_f = ν. La prueba ha finalizado.

Finalizamos el apartado traduciendo el Teorema 2.4.22 en términos de la representabilidad

Birkhoff de operadores T : L1(µ) −→ X∗.

Corolario 2.4.30 ([CR05]). Supongamos que X no tiene subespacios isomorfos a `1_{. Entonces}

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114 La integral de Birkhoff de funciones vectoriales

Demostración. Basta imitar la prueba de la implicación (i)⇒(ii) de la Proposición 2.4.29, uti-

lizando ahora el Caso particular aislado en la demostración del Teorema 2.4.22. Nótese que, de hecho, la función f así obtenida es acotada.

Cabe mencionar que Saab probó en [Saa88, Proposition 9] (utilizando ideas de [RS85]) que

X∗ tiene la WRNP si y sólo si para cualquier operador T : L1[0, 1] −→ X∗ existe una función acotada f : [0, 1] −→ X∗∗∗ tal que Z_f tiene la propiedad de Bourgain y se cumple la igualdad

hx∗∗_{, T (g)i =}R

Ωghx∗∗, f i dµ para cada x∗∗∈ X∗∗y cada g ∈ L1(µ).

2.5.

Funciones integrables Pettis que no son integrables Birkhoff: el

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