La propiedad de Bourgain y envolturas convexas

En vista de las caracterizaciones de la integrabilidad Birkhoff del apartado anterior, la siguiente pregunta surge de manera natural.

Pregunta 1. Sea f :Ω−→ X una función para la que existe un conjunto normante B ⊂ B_X∗ tal

que la familia Z_{f ,B}es uniformemente integrable y tiene la propiedad de Bourgain. ¿Es f integrable Birkhoff?

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92 La integral de Birkhoff de funciones vectoriales El propósito de este apartado es investigar esta cuestión, que, como vamos a explicar más adelante, puede reformularse del siguiente modo.

Pregunta 2. Sea H ⊂ RΩ una familia puntualmente acotada con la propiedad de Bourgain. ¿Tiene su envoltura convexa co(H ) la propiedad de Bourgain?

Ambas preguntas tienen, en general, respuesta negativa (Ejemplos 2.3.20 y 2.3.21). Por otra parte, ya hemos visto que la Pregunta 1 tiene solución afirmativa para funciones acotadas (Teo- rema 2.3.2). Del mismo modo, la Pregunta 2 puede responderse afirmativamente para familias uniformemente acotadas:

Teorema 2.3.12. SeaH ⊂ RΩuna familia uniformemente acotada con la propiedad de Bourgain. Entonces co(H ) tiene la propiedad de Bourgain.

Demostración. Por el Corolario 2.2.12,H es una familia de oscilación pequeña. Dado ε > 0,

existe una partición finitaΓdeΩenΣtal que∑_A∈Γµ (A) osc(h|_A) ≤ ε para toda h ∈H . Tomamos g ∈ co(H ) y escribimos g =∑n_i=1α_ih_i, donde h_i∈H , α_i≥ 0 y∑n_i=1α_i= 1. Entonces

∑

A∈Γ µ (A) osc(g|_A) ≤

∑

A∈Γ µ (A)  n

∑

i=1 α_iosc(h_i|_A)  = n

∑

i=1 α_i 

∑

A∈Σ µ (A) osc(h_i|_A)  ≤ ε.

Por tanto, la familia (uniformemente acotada) co(H ) también es de oscilación pequeña. El Coro- lario 2.2.12 nos dice que co(H ) tiene la propiedad de Bourgain, como se quería demostrar.

Pasamos ahora a analizar la equivalencia entre las dos preguntas anteriores. En este sentido, la Proposición 2.3.14 muestra que una respuesta afirmativa a la Pregunta 2 nos aseguraría que la

Pregunta 1 también tiene solución positiva. Para la prueba necesitamos la siguiente observación

elemental.

Lema 2.3.13. SeaH ⊂ RΩ una familia. Entonces co(H ) tiene la propiedad de Bourgain si y

sólo si aco(H ) la tiene.

Demostración. Supongamos que co(H ) tiene la propiedad de Bourgain. Fijamos h ∈ H . Un

sencillo cálculo nos permite ver que

aco(H ) ⊂ co(H ) − co(H ) + {αh : α ∈ [−1,1]}.

ComoH tiene la propiedad de Bourgain, lo mismo ocurre con la familia {αh : α ∈ [−1,1]} y, por tanto, aco(H ) tiene la propiedad de Bourgain.

Proposición 2.3.14 ([Roda]). Sea f :Ω−→ X una función. Las siguientes condiciones son equi- valentes:

(i) f es integrable Birkhoff;

(ii) existe un conjunto normante y convexo B ⊂ B_X∗ tal que Z_{f ,B}es uniformemente integrable y

2.3 La integral de Birkhoff y la propiedad de Bourgain

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93

(iii) existe un conjunto normante B ⊂ B_X∗ tal que Z_{f ,B}es uniformemente integrable y co(Z_{f ,B})

tiene la propiedad de Bourgain.

Demostración. Dado un conjunto normante B ⊂ B_X∗, es claro que co(B) y aco(B) son también

normantes y cumplen las igualdades co(Z_{f ,B}) = Z_{f ,co(B)}y aco(Z_{f ,B}) = Z_{f ,aco(B)}.

En virtud del Teorema 2.3.7, sólo tenemos que demostrar que la condición (iii) implica que Z_f es uniformemente integrable y tiene la propiedad de Bourgain. Por un lado, es claro que aco(Z_{f ,B})

es uniformemente integrable. Por otro, como B es normante, el teorema de separación de Hahn- Banach asegura que aco(B) es w∗-denso in B_X∗ y, por tanto, se tiene

aco(Z_{f ,B})Tp= Z_f. (2.16)

Como co(Z_{f ,B}) tiene la propiedad de Bourgain, lo mismo ocurre con aco(Z_{f ,B}) (Lema 2.3.13). El

hecho de que la propiedad de Bourgain se conserva al tomar Tp-clausuras nos permite deducir

que Z_f tiene la propiedad de Bourgain. Mas todavía, cada elemento de Z_f es el límite en casi todo punto de una sucesión en aco(Z_{f ,B}) (por el Teorema 2.2.3). Por tanto, podemos utilizar el

teorema de convergencia de Vitali (véase e.g. [Fre01, 246J]) para inferir que Z_f es uniformemente integrable. Esto completa la demostración.

Corolario 2.3.15 ([CR05]). Sea f :Ω−→ X∗_{una función. Entonces f es integrable Birkhoff si y}

sólo si la familia {hx, f i : x ∈ B_X} es uniformemente integrable y tiene la propiedad de Bourgain.

Por otro lado, la Pregunta 2 tendría solución afirmativa si lo mismo ocurriese con la Pregun-

ta 1, como consecuencia del siguiente lema y la Proposición 2.3.1.

Lema 2.3.16 ([Roda]). SeaH ⊂ RΩ una familia puntualmente acotada de funciones medibles. Entonces existen:

(i) una sucesión disjunta (An) enΣconΩ=S∞n=1An,

(ii) una sucesión (Xn) de espacios de Banach,

(iii) una sucesión de funciones fn: An−→ Xn,

de manera que, para cada n ∈ N, existe un conjunto normante Bn⊂ BX∗

n tal que Zfn,Bn =H |An es

uniformemente integrable.

Demostración. ComoH está formada por funciones medibles y es puntualmente acotada, exis-

te una función medible ϕ :Ω−→ [0, +∞) tal que, para cada h ∈H , se tiene |h| ≤ ϕ µ-a.e.

(Lema 1.8.9). Fijamos n ∈ N y definimos An:= {t ∈Ω: n − 1 ≤ ϕ(t) < n} ∈Σ. Claramente,H |_An

es un subconjunto uniformemente integrable deL1(µ_A

n). Tomamos Xn:= `∞(H |An) y definimos

la función fn: An−→ Xnmediante fn(t)(g) := g(t) para cada t ∈ Any cada g ∈H |_An. Obsérvese

finalmente que fnsatisface la igualdad Z_fn,Bn =H |_An, donde Bn= {e∗g: g ∈H |An} ⊂ BXn∗ es el

conjunto normante formado por todos los “funcionales evaluación”.

Algunas de las ideas utilizadas en la prueba del Lema 2.3.16 pueden explotarse de nuevo para deducir el siguiente

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94 La integral de Birkhoff de funciones vectoriales Corolario 2.3.17 ([Roda]). Sea H ⊂ RΩ una familia puntualmente acotada. Las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) co(H ) tiene la propiedad de Bourgain;

(ii) H tiene la propiedad de Bourgain y existe una partición contable (An) deΩenΣtal que

H |_An es uniformemente acotada cuando µ(An) > 0.

Demostración. La implicación (ii)⇒(i) es consecuencia del Teorema 2.3.12. Para la prueba de (i)⇒(ii), consideramos la función f :Ω−→ `<sub>∞</sub>(H ) definida por f (t)(h) := h(t) para cada t ∈Ωy cada h ∈H . Entonces Z<sub>f ,B</sub>=H para el conjunto normante B = {e∗<sub>h</sub>: h ∈H } ⊂ B<sub>`</sub>

∞(H )∗. Como

co(H ) tiene la propiedad de Bourgain, lo mismo ocurre con aco(H ) = aco(Z_{f ,B}) (Lema 2.3.13)

y con su clausura aco(Z_{f ,B})Tp = Z_f. Por tanto, podemos aplicar el Corolario 2.3.6 para encontrar una partición contable (An) deΩenΣtal que, para cada Ande medida positiva, la restricción f |_An

es acotada y, como consecuencia,H |_A

n es uniformemente acotada.

Corolario 2.3.18. SeaH ⊂ RΩuna familia puntualmente acotada y convexa con la propiedad de Bourgain. Entonces existe una partición contable (An) deΩenΣtal queH |An es uniformemente

acotada cuando µ(An) > 0.

Nuestro siguiente objetivo es mostrar mediante ejemplos que, como ya hemos mencionado, las Preguntas 1 y 2 tienen respuesta negativa en general. El Ejemplo 2.3.20 se debe a Fremlin (comunicación personal, véase [Roda]) y es similar al que aparece en [Fre03, 465X(o)].

Obsérvese que, como Borel([0, 1]) tiene cardinalidad c (véase e.g. [Fre03, 424D]), lo mismo ocurre con la familia de todas las colecciones finitas (no vacías) de elementos de Borel([0, 1]) con medida de Lebesgue positiva, que enumeramos como {Eα: α < c}.

Lema 2.3.19. Existe una familia (Jα)α <cde subconjuntos finitos de [0, 1], disjuntos dos a dos, tal

que Jα∩ E 6= /0 para cada α < c y cada E ∈Eα.

Demostración. Procedemos por inducción transfinita. Supongamos que β < c y que ya hemos

construido una familia (Jα)_{α <β} de subconjuntos finitos de [0, 1], disjuntos dos a dos, de manera que Jα∩ E 6= /0 para cada α < β y cada E ∈Eα. El conjunto A =

S

α <βJα tiene cardinalidad #(A) < c, porque cada Jαes finito y β < c. Como cada subconjunto de Borel no numerable de [0, 1] tiene cardinalidad c (véase e.g. [Fre03, 423K]), tenemos E \ A 6= /0 para cada E ∈E_β. Por tanto,

J_β puede construirse tomando exactamente un punto de E \ A para cada E ∈E_β. Esto completa la demostración.

Ejemplo 2.3.20 (Fremlin). Existe una familia puntualmente acotadaH ⊂ R[0,1]tal que (i) cada h ∈H se anula en casi todo punto;

(ii) H tiene la propiedad de Bourgain; (iii) co(H ) no tiene la propiedad de Bourgain.

2.3 La integral de Birkhoff y la propiedad de Bourgain

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95

Demostración. Por el lema previo, existe una familia (Jα)α <c de subconjuntos finitos de [0, 1], disjuntos dos a dos, tales que Jα∩ E 6= /0 para cada α < c y cada E ∈Eα. Definimos

H = {#(Jα)χ_{t}: t ∈ Jα, α < c} ⊂ R [0,1]_.

Obviamente, la familiaH está formada por funciones que se anulan λ-a.e. y, además, es puntual- mente acotada, puesto que Jα∩ J_β = /0 cuando α 6= β . Por otra parte,H tiene la propiedad de Bourgain. En efecto, dado cualquier conjunto medible Lebesgue A ⊂ [0, 1] con medida positiva, podemos encontrar conjuntos medibles Lebesgue disjuntos A₁, A₂⊂ A con medida positiva. De la

definición deH se sigue que cada h ∈ H se anula en A₁o en A₂. Finalmente, nótese que {χ_J

α : α < c} ⊂ co(H ) y que {χJα: α < c} no tiene la propiedad de

Bourgain. En efecto, esto último se sigue de la regularidad interior de λ con respecto a Borel([0, 1]) y el hecho de que, dada una cantidad finita de subconjuntos de Borel de [0, 1] con medida positiva, digamos A₁, . . . , An, siempre existe un α < c tal queEα= {A1, . . . , An} y, por tanto, Jα∩ Ai6= /0

para cada 1 ≤ i ≤ n, luego m´ın_1≤i≤nosc(χ_J

α|Ai) = 1. Esto prueba que co(H ) no tiene la propiedad

de Bourgain.

Ejemplo 2.3.21 ([Roda]). Existe una función escalarmente nula f : [0, 1] −→ c₀(c) tal que (i) para cierto conjunto normante B ⊂ B_c

0(c)∗, la familia Zf ,Btiene la propiedad de Bourgain;

(ii) f no es integrable Birkhoff.

Demostración. Sea H ⊂ R[0,1] la familia (con cardinalidad c) definida en la prueba del Ejem- plo 2.3.20. Obsérvese que para cada t ∈ [0, 1] existe como mucho una h ∈H tal que h(t) 6= 0. Definimos

f : [0, 1] −→ c₀(H ), f (t)(h) := h(t) para cada t ∈ [0,1] y cada h ∈ H .

El conjunto B = {e∗_h: h ∈H } ⊂ B_c

0(H )∗ es normante y la familia Zf ,B=H tiene la propiedad

de Bourgain, pero co(H ) = Z_{f ,co(B)}no la tiene. Por tanto, f no es integrable Birkhoff (Proposi- ción 2.3.1). Para finalizar la prueba vamos a comprobar que f es escalarmente nula. En efecto, como H está formada por funciones que se anulan en casi todo punto, lo mismo ocurre con aco(H ) = Z_{f ,aco(B)}. Teniendo en cuenta la identificación c₀(H )∗= `1_{(H ), se observa inmedia-}

tamente que aco(B)k·k= B_c

0(H )∗. Por tanto, Zf ,aco(B) es Tp-sucesionalmente denso en Zf y, así,

cada elemento de Z_f se anula λ -a.e., como se quería demostrar.

Ya sabemos que una función f :Ω−→ X en las condiciones de la Pregunta 1 es integrable

Birkhoff si y sólo si existe una partición contable (An) deΩen Σtal que la restricción f |_An es

acotada cuando µ(An) > 0 (basta combinar la Proposición 2.3.14 con el Teorema 2.3.12). Nótese

que, por ejemplo, dicha “descomposición” siempre existe cuando k f k es medible.

Motivados por este hecho, a continuación estudiamos la medibilidad de k f k para funciones

f :Ω−→ X para las que existe un conjunto normante B ⊂ B_X∗ tal que Z_{f ,B} tiene la propiedad

de Bourgain. En primer lugar, probamos que tales funciones siempre son escalarmente medibles (Corolario 2.3.23); este resultado es, de hecho, equivalente al siguiente.

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96 La integral de Birkhoff de funciones vectoriales Proposición 2.3.22 ([Roda]). SeaH ⊂ RΩuna familia puntualmente acotada con la propiedad de Bourgain. Entonces aco(H )Tp está formada por funciones medibles.

Demostración. Supongamos, por reducción al absurdo, que existe una g ∈ aco(H )Tp

que no es medible. Como g no es medible, existen A ∈Σcon µ(A) > 0 y números reales α < β tales que

µ∗({t ∈ A : g(t) < α}) = µ∗({t ∈ A : g(t) > β }) = µ(A),

véase e.g. [Tal84, 1-1-5]. Definimos Hn= {t ∈Ω: sup_h∈H |h(t)| ≤ n} para todo n ∈ N. Como

(Hn) es una sucesión creciente con uniónΩ, podemos encontrar un n ∈ N suficientemente grande

verificando µ∗(Hn∩ {t ∈ A : g(t) < α}) > µ (A) 2 y µ ∗ (Hn∩ {t ∈ A : g(t) > β }) > µ (A) 2 . Por tanto, µ∗({t ∈ Hn∩ A : g(t) < α}) + µ∗({t ∈ Hn∩ A : g(t) > β }) > µ(A) ≥ µ∗(Hn∩ A). (2.17)

Escribimos B = Hn∩ A. ComoH tiene la propiedad de Bourgain, la familia de restricciones

H |B tiene la propiedad de Bourgain respecto de µB (Proposición 2.2.2 (v)). Además, H |B es

uniformemente acotada, luego podemos aplicar el Teorema 2.3.12 (junto con el Lema 2.3.13) para deducir que la familia aco(H |_B)Tp(B)= aco(H )|_BTp(B) tiene la propiedad de Bourgain respecto de µ_B; en particular, está formada por funcionesΣ_B-medibles. Teniendo en cuenta que

g|_B ∈ aco(H )|_BTp(B), concluimos que los conjuntos {t ∈ B : g(t) < α} y {t ∈ B : g(t) > β } pertenecen aΣ_B. Finalmente, la desigualdad (2.17) implica

µ_B(B) ≥ µ_B({t ∈ B : g(t) < α} ∪ {t ∈ B : g(t) > β })

= µ_B({t ∈ B : g(t) < α}) + µ_B({t ∈ B : g(t) > β })

= µ∗({t ∈ B : g(t) < α}) + µ∗({t ∈ B : g(t) > β }) > µ∗(B) = µ_B(B),

una contradicción que termina la prueba.

Ahora, la igualdad (2.16) en la página 93 nos permite concluir el siguiente

Corolario 2.3.23 ([Roda]). Sea f :Ω−→ X una función para la que existe un conjunto normante B ⊂ B_X∗ tal que Z_{f ,B}tiene la propiedad de Bourgain. Entonces f es escalarmente medible.

Observación 2.3.24. Un profundo resultado de Talagrand afirma que la envoltura convexa de

una familia estable y uniformemente acotada es también estable, véase [Tal84, 11-2-1] o [Fre03,

465N]. Este hecho puede utilizarse para comprobar que las conclusiones de la Proposición 2.3.22 y el Corolario 2.3.23 son ciertas incluso cuando la propiedad de Bourgain se reemplaza por la noción de estabilidad.

2.3 La integral de Birkhoff y la propiedad de Bourgain

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97

Recordemos que, para una familiaH ⊂ RΩpuntualmente acotada de funciones medibles con cardinalidad #(H ) < κ(µ), la función t 7→ sup_h∈H |h(t)| es medible (Corolario 1.10.9). Este he-

cho y nuestro trabajo previo conducen a otras soluciones parciales afirmativas para las Preguntas 1 y 2.

Corolario 2.3.25 ([Roda]). SeaH ⊂ RΩuna familia puntualmente acotada con #(H ) < κ(µ).

SiH tiene la propiedad de Bourgain, entonces co(H ) también tiene la propiedad de Bourgain. Demostración. Aplicando el Corolario 1.10.9, podemos encontrar una partición contable (An)

deΩen Σtal queH |_A

n es uniformemente acotada para cada n. El resultado se sigue ahora del

Teorema 2.3.12.

Corolario 2.3.26 ([Roda]). Supongamos que dens(B_X∗, w∗) < κ(µ). Sea f :Ω−→ X una función

escalarmente medible. Entonces k f k es medible.

Demostración. Fijamos un conjunto w∗-denso C ⊂ B_X∗ con #(C) < κ(µ). Como

k f (t)k = sup{|(x∗◦ f )(t)| : x∗∈ C} para cada t ∈Ω,

el Corolario 1.10.9 nos asegura que k f k es medible.

Corolario 2.3.27 ([Roda]). Supongamos que dens(B_X∗, w∗) < κ(µ). Sea f :Ω−→ X una función.

Las siguientes condiciones son equivalentes: (i) f es integrable Birkhoff;

(ii) existe un conjunto normante B ⊂ B_X∗ tal que Z_{f ,B} es uniformemente integrable y tiene la

propiedad de Bourgain.

Demostración. Supongamos que se cumple (ii). Como Z_{f ,B}tiene la propiedad de Bourgain, pode- mos aplicar los Corolarios 2.3.23 y 2.3.26 para deducir que existe una partición contable (An) deΩ

enΣtal que f |_A

n es acotada para cada n. Esta última condición, junto con (ii), asegura que f es

integrable Birkhoff.

En particular, bajo el Axioma M, cuando trabajamos en [0, 1] equipado con la medida de Lebesgue, la Pregunta 1 (resp. Pregunta 2) tiene respuesta afirmativa si dens(B_X∗, w∗) < c (resp.

#(H ) < c). Sin suponer la validez de axiomas adicionales, se tiene:

Corolario 2.3.28 ([Roda]). Supongamos que B_X∗ es w∗-separable. Sea f :Ω−→ X una función.

Las siguientes condiciones son equivalentes: (i) f es integrable Birkhoff;

(ii) existe un conjunto normante B ⊂ B_X∗ tal que Z_{f ,B} es uniformemente integrable y tiene la

propiedad de Bourgain.

Finalizamos el apartado con un ejemplo, debido a Fremlin (comunicación personal), de una fa- milia contable con la propiedad de Bourgain tal que su envoltura convexa no tiene dicha propiedad. Por supuesto, una tal familia no puede ser puntualmente acotada (en vista del Corolario 2.3.25).

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98 La integral de Birkhoff de funciones vectoriales Ejemplo 2.3.29 (Fremlin). Supongamos que µ es una medida de probabilidad sin átomos. En-

tonces existe una familia contableH ⊂ RΩtal que (i) H es uniformemente integrable;

(ii) H tiene la propiedad de Bourgain; (iii) co(H ) no tiene la propiedad de Bourgain.

Demostración. Como µ no tiene átomos, podemos encontrar una sucesión independiente (En)∞n=1

enΣtal que µ(En) = 1/(n + 1) para todo n ∈ N (Lema 2.2.7).

Fijamos n ∈ N. Nótese que cualquier A ∈ A ({E1, . . . , En}) tiene medida positiva. En efecto, si

escribimos A =Tn

i=1Fi, con Fi∈ {Ei,Ω\Ei} para todo 1 ≤ i ≤ n, la familia (Fi)ni=1es independiente

(véase e.g. [Fre01, 272E]) y, por tanto, se tiene µ(A) =∏n_i=1µ (F_i) > 0. Denotamos por An el

conjunto de todos los A ∈A ({E₁, . . . , En}) contenidos en En, y definimos, para cada A ∈An, la

función

h_n,A:Ω−→ R, h_n,A:= µ (En)

µ (A) χA.

Vamos a demostrar que la familia

H := {hn,A: n ∈ N, A ∈ An} ⊂ RΩ

satisface las condiciones requeridas. En primer lugar, H es uniformemente integrable, puesto que se tiene l´ımn

R

Ωhn,A dµ = l´ımnµ (En) = 0. Por otra parte, co(H ) no tiene la propiedad de

Bourgain, porque

χ_En=

∑

A∈An

µ (A) µ (En)

h_n,A∈ co(H ) para cada n ∈ N,

y la familia {χ_En : n ∈ N} no tiene la propiedad de Bourgain (por el Lema 2.2.8). Veamos final- mente queH tiene la propiedad de Bourgain. Dividimos la prueba en tres pasos.

Paso 1.- Para cada n ∈ N, cualquier h ∈ H es constante en todos los elementos de la partición A ({E1, . . . , En}) salvo, a lo más, en uno de ellos. Escribimos h = hm,C, con m ∈ N y C ∈ Am. Si

m ≤ n, entonces para cada B ∈A ({E₁, . . . , En}) se tiene B ⊂ C ó B ⊂Ω\C, luego en ambos casos

h|_B es constante. Si n < m y tomamos un B ∈A ({E₁, . . . , En}) con C ⊂ B, entonces h|_B0 se anula

para cada B0∈A ({E₁, . . . , En}) distinto de B.

Paso 2.- Para cada A ∈Σcon µ(A) > 0, existe un n ∈ N tal que µ (A \ B) > 0 para todo B ∈A ({E₁, . . . , En}).

Como (En)∞_n=1 es independiente y∑nµ (En) = +∞, el lema de Borel-Cantelli (véase e.g. [Fre01,

273K]) garantiza que E :=T∞

n=1

S

m≥nEm tiene medida 1. Fijamos un A ∈Σcon la propiedad

de que, para cada n ∈ N, existe un Bn∈A ({E₁, . . . , En}) con µ(A \ Bn) = 0. Vamos a ver que

µ (A) = 0. Para cada n ∈ N, tenemos dos posibilidades mutuamente excluyentes: Bn⊂ En, y así µ(A \ En) = 0;

Bn⊂Ω\ En, y así µ(A ∩ En) = 0.

In document Integración en espacios de Banach. José Rodríguez Ruiz (página 107-115)