Definición y propiedades elementales

Como se ha mencionado, los puntos de vista de Fréchet sobre la integral de Lebesgue inspi- raron a Birkhoff para dar la siguiente definición:

Definición 2.1.1 ([Bir35]). Sea f :Ω−→ X una función. SiΓ= (An) es una partición contable

deΩen Σ, la función f se dice sumable respecto de Γsi la restricción f |_A

n es acotada cuando µ (An) > 0 y el conjunto de sumas J( f ,Γ) =n

∑

n µ (An) f (tn) : tn∈ An o (2.1)

está formado por series incondicionalmente convergentes. La función f se dice integrable Birkhoff si para cada ε > 0 existe una partición contable Γ de Ω en Σ para la que f es sumable y

diam(J( f ,Γ)) ≤ ε.

Para introducir la “integral” de una función integrable Birkhoff necesitamos el Lema 2.1.2 de abajo, que es un caso especial de [Bir35, Theorem 9].

Dada una función f :Ω−→ X, una familia contableΓ= (An) formada por elementos de Σ

disjuntos dos a dos y una elección T = (tn) enΓ(i.e. tn∈ Anpara cada n), el símbolo

S( f ,Γ, T ) =

∑

n

µ (An) f (tn)

denota una serie formal en X . Como es habitual, decimos que otra familia contableΓ0, formada por elementos deΣdisjuntos dos a dos, es más fina queΓcuando cada elemento deΓ0está contenido en algún elemento deΓ.

Lema 2.1.2. Sean f :Ω−→ X una función yΓuna partición contable deΩenΣpara la que f es sumable. SiΓ0 es cualquier partición contable deΩenΣmás fina queΓ, entonces f es sumable respecto deΓ0y

2.1 Introducción a la integral de Birkhoff

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67

Demostración. EscribimosΓ= (An) yΓ0= (A_n,k), dondeS_kA_n,k= Anpara cada n, y considera-

mos los subconjuntos de X dados por Bn:= µ(An) f (An) y Bn,k:= µ(An,k) f (An,k).

Afirmamos que∑_n,kB_n,k es incondicionalmente convergente. Fijamos ε > 0. Como ∑nBn es

incondicionalmente convergente, existe N ∈ N tal que

∑

n∈S Bn ≤ ε 2 (2.3)

para cada conjunto finito S ⊂ N \ {1, . . . , N} (véase la Observación 1.5.5). Fijamos

M > m´ax{k f (A_i)k : 1 ≤ i ≤ N, µ(A_i) > 0}

y tomamos un K ∈ N suficientemente grande cumpliendo

N

∑

n=1k>K

∑

µ (A_n,k) ≤ ε

2M. (2.4)

Vamos a probar que

∑

(n,k)∈S B_n,k ≤ ε

para cada conjunto finito S ⊂ (N × N) \ ({1, . . . , N} × {1, . . . , K}). En efecto, para un tal S, escribi- mos

S0:= {(n, k) ∈ S : 1 ≤ n ≤ N} y S00= {(n, k) ∈ S : n > N}.

Por un lado, la desigualdad (2.4) permite obtener k∑_(n,k)∈S0B_n,kk ≤ ε/2. Por otra parte, si defini-

mos

N0= m´ax{n > N : existe k con (n, k) ∈ S},

algunos cálculos y la desigualdad (2.3) nos dan (con el convenio 0/0 = 0)

∑

(n,k)∈S00 B_n,k ≤

∑

(n,k)∈S00 µ (A_n,k) µ (An) Bn ≤

∑

N<n≤N0 co(Bn∪ {0}) = co 

∑

N<n≤N0 Bn∪ {0}
 =

∑

N<n≤N0 Bn∪ {0}
= sup F⊂{N+1,...,N0_}

∑

k∈F B_k ≤ ε 2.

Por tanto, k∑_(n,k)∈SB_n,kk ≤ ε. Esto prueba la afirmación y, así, f es sumable respecto deΓ0_. Para finalizar la prueba mostraremos que J( f ,Γ0) ⊂ co(J( f ,Γ)). Supongamos, por reduc-

ción al absurdo, que J( f ,Γ0) 6⊂ co(J( f ,Γ)), esto es, que existe alguna elección T0 en Γ0 tal que

S( f ,Γ0, T0) 6∈ co(J( f ,Γ)). El teorema de separación de Hahn-Banach garantiza la existencia de x∗∈ X∗_{tal que}

••

68 La integral de Birkhoff de funciones vectoriales Pero, al mismo tiempo, también se tiene

x∗(S( f ,Γ0, T0)) ≤

∑

n,k

µ (A_n,k) sup(x∗◦ f )(An) =

∑

n

µ (An) sup(x∗◦ f )(An)

= sup{x∗(S( f ,Γ, T )) : T elección enΓ} = sup{hx∗, yi : y ∈ J( f ,Γ)},

lo que contradice la desigualdad (2.5). Esto demuestra la inclusión (2.2) y la prueba ha terminado.

Ahora ya podemos dar la definición de “integral” de una función integrable Birkhoff.

Corolario 2.1.3 ([Bir35]). Sea f :Ω−→ X una función integrable Birkhoff. Entonces la intersec- ción

\

{co(J( f ,Γ)) : f es sumable respecto deΓ} contiene un único punto, denotado por (B)R

Ωf dµ y llamado la integral de Birkhoff de f . Demostración. Por el Lema 2.1.2, el conjunto de todas las particiones contables deΩenΣpara las que f es sumable, denotado por D, es un conjunto dirigido cuando ordenamos las particiones por refinamiento y, además, {co(J( f ,Γ))}_Γ∈D es una red decreciente de conjuntos cerrados. El resultado se sigue de la completitud de X y el hecho de que l´ım_Γ∈Ddiam(co(J( f ,Γ))) = 0.

La siguiente proposición muestra, en particular, que la noción de integrabilidad incondicional

Riemann-Lebesgue, estudiada recientemente en [KT00, KSS+02], coincide con la de Birkhoff. Antes necesitamos introducir algo de terminología. Dada una función f :Ω−→ X, denotamos por Sf el conjunto de todos los pares (Γ, T ), donde Γes una partición contable de Ωen Σpara la

que f es sumable y T es una elección enΓ. Obsérvese que el Lema 2.1.2 implica queS_f es un conjunto dirigido cuando se considera la relación

(Γ, T )  (Γ0, T0) ⇔ Γ0es más fina queΓ.

Resulta que la convergencia de la red {S( f ,Γ, T )}_{(Γ,T )∈S}

f equivale a la integrabilidad Birkhoff

de f :

Proposición 2.1.4 ([CR05]). Sea f :Ω−→ X una función. Las siguientes condiciones son equi- valentes:

(i) f es integrable Birkhoff;

(ii) existe x ∈ X con la siguiente propiedad: para cada ε > 0 existe una partición contable Γ deΩenΣtal que

kS( f ,Γ, T ) − xk ≤ ε

2.1 Introducción a la integral de Birkhoff

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69

(iii) f es incondicionalmente integrable Riemann-Lebesgue, i.e. existe y ∈ X con la siguiente propiedad: para cada ε > 0 existe una partición contableΓde ΩenΣtal que, para cada partición contableΓ0deΩenΣmás fina queΓy cada elección T0enΓ0, la serie S( f ,Γ0, T0) es incondicionalmente convergente y

kS( f ,Γ0, T0) − yk ≤ ε. En este caso, x = y = (B)R

Ωf dµ.

Demostración. La implicación (iii)⇒(ii) es obvia. Para la prueba de (ii)⇒(i) fijamos ε > 0 y una

partición contableΓdeΩenΣcumpliendo la condición que aparece en (ii). Entonces, para cada dos elecciones T y T0enΓ, las series S( f ,Γ, T ) y S( f ,Γ, T0) son incondicionalmente convergentes

y

kS( f ,Γ, T ) − S( f ,Γ, T0)k ≤ 2ε.

De esta desigualdad se deduce que para cada A ∈Γcon µ(A) > 0 se tiene osc( f |_A) ≤ 2ε/µ(A)

y, en particular, f |_A es acotada. Por tanto, f es sumable respecto deΓy diam(J( f ,Γ)) ≤ 2ε. Esto

prueba que f es integrable Birkhoff.

Para ver (i)⇒(iii), simplemente observamos que la integrabilidad Birkhoff de f y el Lema 2.1.2 implican que {S( f ,Γ, T )}_{(Γ,T )∈S}

f es una red de Cauchy y, por tanto, converge hacia algún

y ∈ X .

La prueba de la última afirmación es como sigue. Fijamos un x ∈ X cumpliendo la propiedad de (ii). Dado ε > 0, existe una partición contableΓdeΩenΣtal que f es sumable respecto deΓy

kS( f ,Γ, T ) − xk ≤ ε

para cada elección T enΓ. En particular, diam(co(J( f ,Γ))) ≤ 2ε. Se sigue de la definición de la

integral de Birkhoff de f (Corolario 2.1.3) que k(B)R

Ω f dµ − xk ≤ 3ε. Como ε > 0 es arbitrario,

se tiene x = (B)R

Ωf , lo que completa la demostración.

La equivalencia (i)⇔(iii) en la proposición anterior permite deducir automáticamente las si- guientes propiedades.

Corolario 2.1.5. Si f , g :Ω−→ X son funciones integrables Birkhoff y α, β ∈ R, entonces α f +β g es integrable Birkhoff y (B) Z Ω(α f + β g) dµ = α  (B) Z Ωf dµ  + β  (B) Z Ωg dµ  .

Corolario 2.1.6. Sea T : X −→ Y un operador entre espacios de Banach. Si f :Ω−→ X es integrable Birkhoff, entonces la composición T ◦ f es integrable Birkhoff y

T  (B) Z Ωf dµ  = (B) Z ΩT ◦ f dµ.

Finalizamos el apartado analizando el comportamiento de las restricciones (a subconjuntos medibles) de funciones integrables Birkhoff.

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70 La integral de Birkhoff de funciones vectoriales Lema 2.1.7. Sean f :Ω−→ X una función integrable Birkhoff y E ∈Σ. Entonces la restricción

f |_E es integrable Birkhoff (respecto de µ_E).

Demostración. Por la Proposición 2.1.4 basta demostrar que la red {S( f |_E,Γ, T )}_{(Γ,T )∈S}

f |_E

es de Cauchy. Fijamos ε > 0. Como f es integrable Birkhoff, la Proposición 2.1.4 asegura la existencia de una partición contableΓ₀= (An) deΩenΣtal que, para cada par de particiones con-

tablesΓ₁yΓ₂deΩenΣmás finas queΓ₀, y cada par de elecciones T₁enΓ₁y T₂enΓ₂, las series

S( f ,Γ₁, T₁) y S( f ,Γ₂, T₂) son incondicionalmente convergentes y kS( f ,Γ₁, T₁) − S( f ,Γ₂, T₂)k ≤ ε.

Consideramos la partición contable de E enΣ_E dada por

ΓE

0 = {An∩ E : An∩ E 6= /0}.

DefinimosΓΩ\E

0 = {An\ E : An\ E 6= /0} y fijamos una elección T

Ω\E

0 enΓ

Ω\E

0 .

SeanΓ0₁yΓ0₂dos particiones contables de E enΣ_E más finas queΓE₀, y tomemos dos elecciones enΓ0₁yΓ0₂, digamos T₁0y T₂0. EntoncesΓ₁=Γ0₁∪ΓΩ\E

0 yΓ2=Γ

0

2∪ΓΩ₀\E son particiones contables

de Ω en Σ más finas que Γ₀, y T₁= T₁0∪ T₀Ω\E y T₂= T₂0∪ T₀Ω\E son elecciones en Γ₁ y Γ₂, respectivamente. Por tanto, S( f |_E,Γ0₁, T₁0) y S( f |_E,Γ0₂, T₂0) son incondicionalmente convergentes

(porque son subseries de las series incondicionalmente convergentes S( f ,Γ₁, T₁) y S( f ,Γ₂, T₂),

respectivamente) y

kS( f ,Γ0₁, T₁0) − S( f ,Γ0₂, T₂0)k = kS( f ,Γ₁, T₁) − S( f ,Γ₂, T₂)k ≤ ε.

Esto prueba que la red {S( f |_E,Γ, T )}_{(Γ,T )∈S}

f | E

es de Cauchy, como se quería demostrar.

El lema siguiente será utilizado en las demostraciones del Lema 2.1.14 y la Proposición 2.1.20. Lema 2.1.8. Sea f :Ω−→ X una función integrable Birkhoff. Entonces para cada ε > 0 existe una partición contableΓ₀ de Ωen Σcon la siguiente propiedad: para cada familia contableΓ formada por elementos deΣdisjuntos dos a dos, más fina queΓ₀, y cada elección T enΓ, la serie S( f ,Γ, T ) es incondicionalmente convergente y S( f ,Γ, T ) − (B) Z ∪Γf |∪Γdµ∪Γ ≤ ε.

Demostración. Dado ε > 0, existe una partición contableΓ₀ deΩenΣpara la que f es sumable y diam(J( f ,Γ₀)) ≤ ε. Fijamos cualquier familia contableΓformada por elementos deΣdisjuntos dos a dos y más fina queΓ₀. Definimos E = ∪Γy consideramos la partición contable deΩenΣ dada por

Γ0_{=Γ∪ {A \ E : A ∈Γ}

0, A \ E 6= /0}.

ComoΓ0es más fina queΓ₀, el Lema 2.1.2 asegura que f es sumable respecto deΓ0y diam(J( f ,Γ0)) ≤ diam(J( f ,Γ₀)) ≤ ε.

2.1 Introducción a la integral de Birkhoff

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71

Por tanto, f |_E es sumable respecto de Γ y diam(J( f |_E,Γ)) ≤ diam(J( f ,Γ0) ≤ ε. De la propia

definición de (B)R

E f |E dµE se sigue que, para cualquier elección T enΓ, se tiene

S( f ,Γ, T ) − (B) Z E f |_E dµ_E ≤ ε,

lo que completa la demostración.

In document Integración en espacios de Banach. José Rodríguez Ruiz (página 82-87)