Relación con las integrales de Bochner y Pettis

En este apartado recordamos los resultados de [Bir35] y [Pet38] que relacionan la integral de Birkhoff con las integrales de Bochner y Pettis. Para una función f :Ω−→ X se tiene:

f integrable Bochner ⇒ f integrable Birkhoff ⇒ f integrable Pettis,

véase el Teorema 2.1.9 y el Corolario 2.1.13 más abajo. Ninguno de los recíprocos es cierto en general, aunque las nociones de integrabilidad Birkhoff y Pettis coinciden para funciones fuerte- mente medibles (Corolario 2.1.16) y, por tanto, para funciones con valores en espacios de Banach separables. El primer ejemplo de una función integrable Pettis que no es integrable Birkhoff se debe a Phillips [Phi40]. En la Sección 2.5 proporcionaremos otros ejemplos de funciones inte- grables Pettis que no son integrables Birkhoff.

Teorema 2.1.9 ([Bir35]). Toda función integrable Bochner f :Ω−→ X es integrable Birkhoff. Demostración. Fijamos ε > 0. Como f es fuertemente medible, podemos encontrar una partición

contable (An) de Ω en Σ, una sucesión (xn) en X y un E ∈ Σcon µ(Ω\ E) = 0, tales que la

función g :Ω−→ X definida por g =∑nxnχAn satisface k f (t) − g(t)k ≤ ε para cada t ∈ E (véase

el Lema 1.7.4). Consideramos la partición contable deΩdada porΓ= {Ω\ E, A₁∩ E, A₂∩ E, . . .}.

Claramente, para cada A ∈Γcon µ(A) > 0, se tiene osc( f |_A) ≤ 2ε y, por tanto, f |_Aes acotada. Por otro lado, como f −g es fuertemente medible y k f −gk ≤ ε µ-a.e., la Proposición 1.8.3 nos asegura que f − g es integrable Bochner y, en consecuencia, lo mismo ocurre con g = f − ( f − g). Así

∑

n µ (An)kxnk = Z Ωkgk dµ < +∞.

Teniendo en cuenta que k f (t) − xnk ≤ ε para cada t ∈ An∩ E y cada n ∈ N, es fácil deducir que

f es sumable respecto de Γy que, además, diam(J( f ,Γ)) ≤ 2µ(Ω)ε. Esto demuestra que f es

integrable Birkhoff.

Observación 2.1.10. En la situación del teorema precedente, la función f es integrable Pettis y, por el Corolario 2.1.13, se tiene la igualdad

(Bochner) Z

Ωf dµ = νf(Ω) = (B) Z

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72 La integral de Birkhoff de funciones vectoriales En vista de los Corolarios 1.8.8 y 2.1.17, las nociones de integrabilidad Bochner y Birkhoff son distintas en general. Conectando con la integral de Riemann de funciones vectoriales, al final de este apartado incluimos un ejemplo clásico de una función acotada integrable Birkhoff que no es integrable Bochner.

Para probar, en el caso de funciones reales, la equivalencia de las integrales de Birkhoff y Lebesgue, necesitamos el siguiente resultado auxiliar.

Lema 2.1.11. Sean f :Ω−→ R una función yΓ= (An) una partición contable deΩenΣpara la

que f es sumable. Entonces

co(J( f ,Γ)) = h

∑

µ (An)>0 µ (An) inf f (An),

∑

µ (An)>0 µ (An) sup f (An) i , siendo las series involucradas absolutamente convergentes.

Demostración. En primer lugar, mostramos que la serie ∑_{µ (A}

n)>0µ (An) sup f (An) es absoluta-

mente convergente y que su suma pertenece a J( f ,Γ). En efecto, dado ε > 0, para cada An de

medida positiva podemos tomar un punto tn∈ An tal que f (tn) ≤ sup f (An) ≤ f (tn) + ε/2n. Te-

niendo en cuenta que f es sumable respecto deΓ, deducimos que

∑

µ (An)>0 µ (An)| sup f (An)| ≤

∑

µ (An)>0 µ (An)  | f (tn)| + ε 2n  < +∞.

Por otra parte, es claro que x =∑_{µ (A}

n)>0µ (An) sup f (An) satisface la desigualdad |x − y| ≤ µ(Ω)ε,

donde

y =

∑

µ (An)>0

µ (An) f (tn) ∈ J( f ,Γ).

Como ε > 0 es arbitrario, x ∈ J( f ,Γ). Análogamente, la serie∑_{µ (A}

n)>0µ (An) inf f (An) es absolu-

tamente convergente y su suma pertenece a J( f ,Γ).

En particular, se tiene h

∑

µ (An)>0 µ (An) inf f (An),

∑

µ (An)>0 µ (An) sup f (An) i ⊂ co(J( f ,Γ)).

La inclusión contraria es clara y la prueba ha terminado.

Teorema 2.1.12 ([Fre15]). Una función f :Ω−→ R es integrable Lebesgue si y sólo si es inte- grable Birkhoff. En tal caso,R

Ωf dµ = (B)RΩf dµ.

Demostración. El sólo si es un caso particular de la Proposición 2.1.9. Recíprocamente, supon-

gamos que f es integrable Birkhoff. Comenzamos probando que f es medible con la ayuda del Lema 1.7.4. Fijamos ε > 0 y E ∈Σ con µ(E) > 0. Como f es integrable Birkhoff, existe una partición contable (An) deΩenΣpara la que f es sumable y

  

∑

n µ (An) f (tn) −

∑

n µ (An) f (tn0)   ≤ ε µ (E) 2 (2.6)

2.1 Introducción a la integral de Birkhoff

••

73

para cualesquiera elecciones tn,tn0 ∈ An. Tomamos N ∈ N tal que ∑Nn=1µ (An∩ E) > µ(E)/2 y

definimos I = {1 ≤ n ≤ N : µ(An∩ E) > 0}. Se afirma que existe un n ∈ I tal que osc( f |An∩E) ≤ ε.

En efecto, si esto no es así, entonces para cada n ∈ I podemos tomar tn,tn0 ∈ An∩ E tales que

f (tn) − f (tn0) > ε, de donde ε µ (E) 2 <

∑

_n∈Iµ (An∩ E) f (tn) − f (t 0 n)
≤

∑

n∈I µ (An) f (tn) − f (tn0)
,

lo que contradice la desigualdad (2.6) y prueba la afirmación. Esto demuestra que f es medible. Por otra parte, fijamos cualquier partición contable Γ= (An) de Ω en Σ para la que f es

sumable. El Lema 2.1.11 garantiza que las series

∑

µ (An)>0

µ (An) inf f (An) y

∑

µ (An)>0

µ (An) sup f (An)

son absolutamente convergentes y, por tanto, se tiene

Z

Ω| f | dµ ≤_{µ (A}

∑

_n)>0µ (An)| inf f (An)| +_{µ (A}

∑

_n)>0µ (An)| sup f (An)| < +∞.

Luego f es integrable Lebesgue. Finalmente, como

∑

µ (An)>0 µ (An) inf f (An) ≤ Z Ω f dµ ≤_{µ (A}

∑

n)>0 µ (An) sup f (An),

el Lema 2.1.11 nos dice queR

Ωf dµ ∈ co(J( f ,Γ)). Dado queΓha sido escogida arbitrariamente

entre todas las particiones para las que f es sumable, se sigue queR

Ω f dµ = (B)RΩ f dµ.

Combinando el Corolario 2.1.6, el Lema 2.1.7 y el Teorema 2.1.12, obtenemos el siguiente Corolario 2.1.13 ([Bir35]). Sea f :Ω−→ X una función integrable Birkhoff. Entonces f es inte- grable Pettis y

ν_f(E) = (B) Z

E

f |_E dµ_E para cada E ∈Σ.

Nuestro siguiente objetivo es demostrar que integrabilidad Birkhoff e integrabilidad Pettis coinciden en el caso de funciones fuertemente medibles (Corolario 2.1.16). Para ello empleamos el siguiente lema, que también nos será de utilidad más adelante.

Lema 2.1.14 ([CR05]). Sea f :Ω−→ X una función. Las siguientes condiciones son equivalentes: (i) f es integrable Birkhoff;

(ii) existe una partición contableΓ₀= (An) deΩenΣcon las siguientes propiedades:

f |_A

n es integrable Birkhoff para cada n;

para cada partición contableΓdeΩenΣmás fina queΓ₀, la serie

∑

E∈Γ (B) Z E f |_E dµ_E es incondicionalmente convergente.

••

74 La integral de Birkhoff de funciones vectoriales

Demostración. La implicación (i)⇒(ii) se sigue del Corolario 2.1.13, teniendo en cuenta que la

integral indefinida de cualquier función integrable Pettis es una medida contablemente aditiva (Teorema 1.8.7).

Recíprocamente, veamos que (ii)⇒(i). Fijamos ε > 0. Para cada n, el Lema 2.1.8 aplicado a f |_A

n garantiza la existencia de una partición contableΓ

n_{= (A}

n,k)k de AnenΣAn tal que

f |_A

n es sumable respecto deΓ

n_;

para cada familia finitaΓ0⊂Γn_{y cada elección T}0_enΓ0_{, se tiene la desigualdad}

S( f ,Γ 0 , T0) − (B) Z ∪Γ0 f |∪Γ0 dµ∪Γ0 ≤ ε 2n. (2.7)

Consideramos la partición contable deΩenΣdefinida porΓ:=S

nΓn. Afirmamos que f es

sumable respecto deΓy que diam(J( f ,Γ)) ≤ 2ε. En efecto, fijamos una elección T = (t_n,k) enΓ

y, para cada n, consideramos la elección enΓndada por Tn:= (t_n,k)_k. Obsérvese que: (a) para cada n, la serie S( f ,Γn, Tn) es incondicionalmente convergente (ya que f |_A

n es sumable

respecto deΓn); (b) ∑_n,k(B)R

A_n,kf |A_n,k dµA_n,k es incondicionalmente convergente (porqueΓes más fina queΓ0);

(c) para cada conjunto finito Q ⊂ N y cada n ∈ N, la desigualdad (2.7) asegura que

∑

k∈Q µ (A_n,k) f (t_n,k) −

∑

k∈Q (B) Z A_n,k f |_A n,k dµAn,k ≤ ε 2n

(téngase en cuenta el Corolario 2.1.13, aplicado a f |_A

n, y el hecho de que νf |_An es finitamente

aditiva).

En vista de (a), (b) y (c), el Lema 1.5.6 nos permite concluir que la serie S( f ,Γ, T ) converge

incondicionalmente. Por tanto, f es sumable respecto deΓ. Finalmente, de la desigualdad (2.7) se deduce

S( f ,Γ, T ) −

∑

n (B) Z An f |_A n dµAn ≤

∑

n S( f ,Γ n_{, T}n_{) − (B)}Z An f |_A n dµAn ≤

∑

n ε 2n ≤ ε.

En particular, tenemos que diam(J( f ,Γ)) ≤ 2ε. Esto demuestra que f es integrable Birkhoff.

Corolario 2.1.15 ([Freb]). Sea f :Ω−→ X una función. Las siguientes condiciones son equiva- lentes:

(i) f es integrable Birkhoff;

(ii) f es integrable Pettis y existe una partición contable (An) deΩenΣtal que f |An es inte-

grable Birkhoff para cada n.

Demostración. Basta combinar el Corolario 2.1.13 con el Lema 2.1.14, usando de nuevo que ν_f

es contablemente aditiva (Teorema 1.8.7).

Corolario 2.1.16 ([Pet38]). Sea f :Ω−→ X una función fuertemente medible. Entonces f es integrable Birkhoff si y sólo si es integrable Pettis.

2.1 Introducción a la integral de Birkhoff

••

75

Demostración. Supongamos que f es fuertemente medible e integrable Pettis. La medibilidad

fuerte de f asegura la existencia de una partición contable (An) deΩenΣtal que f |An es acotada

para cada Ande medida positiva (basta aplicar el Lema 1.7.4). Entonces, para cada n, la restricción

f |_A

n es integrable Bochner y, en particular, integrable Birkhoff (Proposición 2.1.9). El resultado se

sigue ahora del Corolario 2.1.15.

El “teorema de medibilidad” de Pettis (Teorema 1.7.6) nos permite deducir el siguiente Corolario 2.1.17. Supongamos que X es separable. Entonces una función f :Ω−→ X es inte- grable Birkhoff si y sólo si es integrable Pettis.

Finalizamos el apartado mostrando que la integral de Birkhoff extiende a la de Riemann, a diferencia de lo que ocurre con la integral de Bochner. Recordamos que una función f : [0, 1] −→ X se dice integrable Riemann si existe un x ∈ X (la integral de Riemann de f ) con la siguiente propiedad: para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que, para cada familia finita (I_k) de intervalos

cerrados que no se solapan, con unión [0, 1] y tales que m´ax_kλ (I_k) ≤ δ , se tiene

∑

k λ (I_k) f (t_k) − x ≤ ε

para cualquier elección t_k∈ I_k. Graves [Gra27] fue el primero en estudiar la integral de Riemann en el caso de funciones con valores en espacios de Banach. Remitimos al lector a [Gor91], donde se puede encontrar una completa exposición sobre este tema.

Proposición 2.1.18 ([Bir35]). Toda función integrable Riemann f : [0, 1] −→ X es integrable

Birkhoff, y las respectivas integrales coinciden.

Demostración. Sea x ∈ X la integral de Riemann de f . Dado ε > 0, existe una familia finita I₁, . . . , Inde intervalos cerrados que no se solapan, con unión [0, 1], tales que

n

∑

k=1 λ (I_k) f (t_k) − x ≤ ε

para puntos cualesquiera t_k∈ I_k, 1 ≤ k ≤ n. Denotamos por A el conjunto formado por los extremos de los intervalos I₁, . . . , In. Escribimos J_k para denotar el interior de cada I_k y consideramos la

partición finitaΓ= {J₁, . . . , Jn} ∪ {A}. Claramente, se tiene

kS( f ,Γ, T ) − xk ≤ ε para cualquier elección T enΓ.

En vista de la Proposición 2.1.4, f es integrable Birkhoff y (B)R

Ωf dµ = x.

Toda función integrable Riemann es acotada y escalarmente medible. Por tanto, para fun- ciones con valores en espacios de Banach separables, integrabilidad Riemann implica integrabili- dad Bochner (basta aplicar el “teorema de medibilidad” de Pettis 1.7.6 y la Proposición 1.8.3). Sin embargo, al considerar espacios de Banach no separables, se pueden encontrar ejemplos sencillos de funciones integrables Riemann que no son integrables Bochner, como el siguiente.

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76 La integral de Birkhoff de funciones vectoriales Ejemplo 2.1.19 ([Pet38]). Una función integrable Riemann f : [0, 1] −→ `∞([0, 1]) que no es integrable Bochner.

Demostración. Fijamos un conjunto E ⊂ [0, 1] que no sea medible Lebesgue y consideramos la

función f : [0, 1] −→ `_∞([0, 1]) dada por f (t) = χ_{t} si t ∈ E, f (t) = 0 en caso contrario. Como

k f k = χ_E no es medible, f no es fuertemente medible.

Fijamos ε > 0. Tomamos cualquier familia finita (I_k) de intervalos cerrados que no se solapan,

con unión [0, 1] y tales que m´ax_kλ (I_k) ≤ ε. Para puntos cualesquiera t_k∈ I_kse tiene

∑

k λ (I_k) f (t_k) _∞=

∑

t_k∈E λ (I_k)χ_{t k} _∞=

∑

t∈E 

∑

t_k=t λ (I_k)  χ_{{t} ∞}≤ 2ε.

Por tanto, f es integrable Riemann, con integral de Riemann 0.

In document Integración en espacios de Banach. José Rodríguez Ruiz (página 87-92)