La aptitud para la clasificación se desarrolla en el niño a partir de expe- riencias que le permiten observar las semejanzas y las diferencias entre los ob- jetos y obrar en consecuencia: distinguir objetos en razón de sus similitudes y de sus diferencias.
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Según figura en el diccionario de la RAE:
Clasificar es disponer por clases, por categorías (una categoría es un conjunto de per- sonas o cosas que presentan caracteres comunes).
Seleccionares elegir, escoger por medio de una selección, elegir entre muchos, se- parar del resto.
Discriminares separar, segregar, distinguir, diferenciar una cosa de otra.
Teniendo en cuenta las definiciones anteriores, podemos considerar que cuando elegimos entre muchos, o cuando diferenciamos o disponemos por cla- ses, es preciso definir criterios que justifiquen dicha elección, diferenciación o clasificación. Podemos, por lo tanto, considerar que existe una determinada re- lación entre clasificar, seleccionar y/o discriminar. La actividad de clasificación
implica llevar a cabo una selección y una discriminación según ciertos criterios. Para realizar una clasificación es preciso ser capaz de concebir relaciones entre los elementos de un conjunto y generar a partir de dichas relaciones diferentes subclases. Desde el punto de vista matemático clasificar los elementos de un conjunto es realizar una partición de este conjunto, es decir, fraccionar este con- junto en subconjuntos disjuntos dos a dos.
Seleccionar, discriminar y clasificar son actividades útiles tanto socialmente como matemáticamente. Así, es normal escuchar frases «rituales» a lo largo de la jornada escolar que invitan a llevarlas a cabo:
– Es necesario organizar la mesa de la clase para trabajar mejor.
– Es preciso organizar muy bien todos los objetos y rincones de la clase pa- ra que todos los niños podamos localizar aquello que buscamos rápida y eficazmente.
– Debemos recoger y dejar todos los materiales bien colocados en su lugar correspondiente.
Estas iniciativas externas, por parte del profesor/a, pueden contribuir efi- cazmente a la motivación de los alumnos para llevar a cabo estas tareas, pero existen también retos internos a la propia actividad matemática que se lleva a cabo, ya que seleccionar, discriminar, clasificar son actividades matemáticas que permiten dar solución a problemas matemáticos. Ahora bien, ¿cómo for- mular este problema matemático de modo pertinente en la Escuela Infantil? Vamos a dar respuesta a esta cuestión, apoyándonos en el trabajo de Briand, Loubel, Salin25(2004).
Podemos definir una actividad que implique seleccionar/discriminar de va- rias formas:
• Desde el punto de vista matemático:
Discriminar los elementos de un conjunto E según un atributo: es constituir dos subconjuntos en el conjunto dado E, a partir de un determinado predicado. Si un elemento satisface dicho predicado, figurará en el primero y si no lo sa- tisface figurará en el segundo de los subconjuntos.
Si p(x) es verdadera→ x A Si p(x) es falsa → x C(A)
A y C(A) conforman una partición26de E, es decir: A C(A) E
25 Ibidem.
26 El conjunto C(A) recibe el nombre de conjunto complementario de A en referencia a E. Por
ejemplo, si suponemos que E es el conjunto de todas las personas que integran un curso: el con- junto de las mujeres [A] y el conjunto de los varones [C(A)] formarían una partición de E.
Podemos discriminar según varios atributos independientes y obtener dife- rentes subconjuntos de E, que deben constituir una partición del conjunto de referencia E.
• Desde el punto de vista algorítmico:
Discriminar en un conjunto finito E es una algoritmo productor de coleccio- nes disjuntas.
La actividad lógica en la Escuela Infantil 131
Ejemplo 6: Situación de selección-discriminación-clasificación
Material: Una colección de tres o cuatro categorías de diferentes granos (legumbres, cereales, café, etc.) mezclados entre sí.
Cinco cajas idénticas con una tapa en la que haya perforado un pequeño orificio que permita introducir los granos. (Debemos colocar mayor número de cajas que de categorías de granos). Las cajas, a lo lar- go de todo el desarrollo de la actividad, deben permanecer tapadas.
Consigna: Debes colocar todos los granos iguales en la misma caja.
El hecho de tener las cajas cerradas obliga a los alumnos necesariamente a recordar las acciones pre- cedentes, esta exigencia no es gratuita, sino que «obliga» a los alumnos a poner en funcionamiento una rica actividad matemática construyendo estrategias que impliquen:
– Enumeración: hacer una secuencia para introducir los granos en las cajas (por ejemplo, arroz, lente- jas, maíz) y reiterarla constantemente (ya que las cajas están tapadas).
– Separar los granos en montones según categorías diferentes y luego introducirlos en cada caja.
Tomo un elemento de E
Verifica la propiedad p(x)
NO SÍ
Constituye un elemento de A Constituye un elemento de C(A)
• Desde el punto de vista didáctico:
El alumno debe llevar a cabo la actividad de discriminar/seleccionar en una situación problema cuya solución óptima sea clasificar los elementos de una co- lección en dos o más clases disjuntas. Para llevarla a cabo es necesario que pon- ga en funcionamiento conocimientos que le permitan tener éxito cuando discrimina y/o selecciona objetos en un determinado conjunto.
4.9.
Las relaciones de orden
En la lengua española, la palabra «orden» tiene diversas acepciones27, entre
ellas destacamos:
Ejemplo 7: Situación: «El juego de las particiones»
Material: Colección de objetos utilizados en «El juego del tesoro». Cuatro cajas idénticas.
Consigna: «La maestra, a la vista de los niños, coloca tres objetos diferente en el interior de cada ca- ja y dice: Las cajas estarán abiertas durante todo el día para que podáis ver su contenido. Mañana, es- tando las cajas cerradas, sacaré un único objeto de una caja y, manteniendo la caja cerrada, os preguntaré: ¿Qué otros objetos hay en esta caja?».
Objetivos de la situación: Los alumnos deben:
– Construir una partición de una colección dada de objetos.
– Relacionar los objetos de la colección mediante el criterio: «... está en la misma caja que...». La producción de una lista en la que figuren todos los objetos no es suficiente para tener éxito en la ta- rea, es preciso poner en relación cada objeto con el resto de objetos contenidos en la misma caja y constituir clases disjuntas.
Actividad 6:
Para cada una de las situaciones que figuran en los ejemplos 6 y 7, determine razonada- mente:
– Si se trata de una situación basada en un modelo de aprendizaje «constructivista por adaptación al medio».
– Las variables didácticas.
– La relación entre la gestión que puede llevar a cabo el profesor de las variables didácti- cas y la modificación de las estrategias que movilizarían los alumnos en su resolución. – Si la propia situación es «criterio» y «fuente» de aprendizaje.
Realice un análisis didáctico de la situación del ejemplo 6 para el caso en que el maestro/a dejase las cajas abiertas. ¿Cómo se modificaría el aprendizaje de los alumnos?
a. Manera de estar colocadas las cosas o de sucederse en el espacio o en el tiempo:
«Nos colocaron por orden de estatura». «Las fichas están en orden alfabético».
«La ceremonia transcurrió según el orden previsto». «Se ha invertido el orden de intervención de los ponentes». b. Cada grupo taxonómico de los que integran una clase:
«Pertenece a la orden de Calatrava».
«El orden de los mamíferos incluye a los carnívoros». c. Acto por el cual una autoridad manifiesta su voluntad:
«Dar una orden».
«Estar bajo sus órdenes». «De orden del alcalde».
En esta sección nos interesaremos por la primera acepción, ya que se co- rresponde con la noción matemática –relación de orden– cuyo estudio didácti- co queremos abordar.
El término «seriación», derivado de la palabra serie o sucesión, indica un conjunto ordenado de objetos según un determinado criterio (una relación de orden).
Si por medio de la clasificación, el niño ha de ser capaz de agrupar los ob- jetos en clases en función de sus semejanzas, por medio la seriación deberá con- solidar la capacidad de comparar objetos y de ordenarlos en función de sus diferencias.
La actividades de seriación, desde los niveles más inferiores de la Escuela In- fantil, pueden interpretarse bien espacialmente o temporalmente, según se tra- te de objetos ubicados unos a continuación de otros, de acuerdo con una determinada posición, o bien de sucesos que han trascurrido a través del tiem- po. De todos modos, ordenar es inherente a la naturaleza de todas las acciones que concurren en el tiempo y que, por lo tanto, manifiestan una coordinación temporal.
Según Piaget-Inhelder (1980)28, la sucesión lineal la comienzan a construir los
niños en los niveles de la Escuela Infantil, ya que constituye uno de los aspectos que caracteriza a las propiedades que permanecen invariables en las transforma- ciones topológicas (constituidas con anterioridad a las transformaciones proyec- tivas y euclídeas). Emergen en este nivel los términos comparativos: «delante de», «detrás de», «siguiente», «sucesor»; y las relaciones comparativas cuantificadas: «mayor que», «menor que», etc., cuya expresión se especifica para diferentes
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28 Piaget, J. y Inhelder, B.: La genèse des structures logiques élémentaires. Clasifications et seria-
tions, Delachaux et Niestlé, París, 1980. 04_CAPITULO_04 4/7/05 07:42 Página 133
magnitudes: «más largo que», «más corto que», «más alto que», «más bajo que», «más pesado que», «más extenso que», «con más capacidad que», etc.
Para que los niños lleguen a la construcción de series o sucesiones ordena- das deben poner en funcionamiento operaciones lógicas que impliquen el con- trol de:
– La reversibilidad: capacidad para ordenar en dos direcciones: hacia de- lante y hacia atrás (empleando la relación recíproca de la anterior). – La transitividad: capacidad para admitir que si A es anterior a B y B es
anterior a C ⇒ A es anterior a C.
– La asignación de un carácter dual a todo elemento de la serie: un ele- mento, según su posición en la serie, es, a la vez, sucesor del anterior y an- tecesor del siguiente. En el caso de series cuantitativas: un elemento es, a la vez, «mayor que el anterior y menor que el siguiente».
– La asimetría: capacidad para asignar a todo par de elementos de la serie una relación asimétrica: dados dos elementos A, B; si A es anterior a B, B no es anterior a A.
Los niños comienzan normalmente desde la Escuela Infantil a relacionarse con seriaciones cualitativas, bien arbitrarias (formar «serpientes» en relación con el color, la forma, etc.) o bien basadas en convenciones sociales (el orden de días de la semana, de los meses del año, de los rituales horarios, del abeceda- rio, etc.), para llegar progresivamente a las cuantitativas como actividad que enlaza con el periodo numérico.
Piaget & Inhelder29(1980) observaron en sus experiencias un desarrollo pa-
ralelo de la clasificación y la seriación, la primera constató que estaba más fa- vorecida por el lenguaje y la segunda por la percepción.