Parte III, no estable y no convencional
5.6. Niveles numéricos y contextos de utilización del número
Como hemos venido diciendo, las competencias numéricas de los niños es- tán muy contextualizadas, varían de unos niños a otros y dependen también del orden de magnitud de los números presentes, es decir del nivel numérico.
5.6.1.
El conteo súbito o subitizing
Existen varios procedimientos que permiten al ser humano determinar el número de elementos de una colección: el conteo súbito, la evaluación global y el conteo.
El término inglés subitizing31designa la operación que realizamos cuando en
un golpe de vista, y sin necesidad de realizar un conteo, al menos de forma consciente, podemos decir con exactitud la cantidad de objetos de una colec- ción, y todo ello en un tiempo muy corto, casi de manera instantánea.
La capacidad para realizar un conteo súbito está presente en los niños de edades muy tempranas, a partir de los 5 meses según algunos autores. Pero es- ta capacidad solo sirve para números pequeños. Durante mucho tiempo se mantuvo que el límite del conteo súbito estaba en 7, considerando que ésta era
31Del adjetivo latino subitus y del verbo subitare, que en latín medieval significaba «llegar de
la frontera entre dos mecanismos diferentes de aprehensión del número, pero algunos autores como Fischer32 mantienen que el límite claro está en 3, y que
después hay una discontinuidad entre 3 y 4. La posibilidad de extender el con- teo súbito hasta 7 parece estar ligada al reconocimiento de los llamados patro- nes o configuraciones. Así, no es igualmente fácil reconocer que hay 5 en cada uno de los tres casos que siguen:
También es posible que haya un procedimiento mixto, subitizar-contar, con- sistente en subitizar una cantidad pequeña presente y contar a partir de ahí los elementos que quedan (hacer 5 2 para el caso del 7), con lo que el conteo sú- bito se convertiría en una capacidad susceptible de ser desarrollada y permiti- ría contar de manera más rápida colecciones relativamente importantes.
Si el límite estuviera en 3 como afirma Fisher, habría que extraer como con- secuencia didáctica la conveniencia de buscar configuraciones que privilegiaran constelaciones de 3.
Las configuraciones canónicas de los primeros números se corresponden con las constelaciones de un dado.
Los números que pueden ser reconocidos a través del subitizing se denomi- nan números perceptivos o visuales.
Las configuraciones de los números perceptivos juegan un papel importan- te durante mucho tiempo, y son utilizados en situaciones de equivalencia, adi- ción y sustracción.
Están después los números habituales, que llegan normalmente hasta el 30. El número de días del mes, los alumnos de una clase, etc., están dentro de este segmento numérico. El aprendizaje de esta parte de la cantinela se produce con relativa facilidad y permite la observación de las primeras regularidades de la serie numérica.
La construcción del número natural 167
32Fischer, J. P.: Apprentissages numériques, Presses Universitaires de Nancy, Nancy, 1992.
El uso de configuraciones o patrones para representar cantidades facilita su reconoci- miento, así como las composiciones y descomposiciones de números.
Los números familiares varían de un niño a otro, pues para unos son fa- miliares y para otros no. Así, para un alumno el 84 puede ser familiar porque es el número del portal de su casa, o el 32 porque siempre coge ese autobús. Es- tos números dependen mucho del contexto y, como veremos a continuación, pueden ser usados dentro de un uso social o escolar, en contextos no numéricos. Hay que hacer notar que los números son aprendidos y reconocidos global- mente, de manera que un niño que reconoce y nombra el 32 desconoce que se trata de un número que tiene 3 decenas y 2 unidades.
Finalmente están los grandes números, a los que los niños dan una signifi- cación casi de carácter mágico. Cuando un niño en una conversación dice que su padre tiene «tres mil» coches miniaturas, y otro le contesta que el suyo «diez mil», y otro que «infinito», es fácil comprender que la significación cardinal da- da a tales expresiones es simplemente «muchos», y que la palabra «infinito» es el límite pero no se sabe de qué.
La escritura de estos números solo será posible, con sentido, a partir de las actividades de cambios y agrupamientos que necesariamente hay que realizar en el ámbito de la numeración decimal, pues la memorización de nombres y es- crituras debe dar lugar al aprendizaje de las reglas, en definitiva, a la interiori- zación de los algoritmos de las numeraciones oral y escrita.
Una variable didáctica que debe ser gestionada en las situaciones didácticas de aprendizaje del número es, sin duda, el tamaño de los números utilizados, pues va a hacer variar no solo las estrategias utilizadas por los alumnos, sino la posibilidad de que estos puedan resolver o no la situación.
Hay que recordar también que según la teoría de situaciones, para que el alumno aprenda, las situaciones deben estar diseñadas de forma que el cambio de variables fuerce la construcción de estrategias nuevas, que no son otra cosa que los conocimientos que se quieren construir.
Ejemplo:
Supongamos que se trata de saber cuántas canicas hay entre dos colecciones, una de 3 canicas y otra de 2. Una estrategia como el recuento, consistente en juntarlas todas y contar desde 1, es posible y fácil de llevar a cabo por alumnos de 4 años. Si se trata de dos colecciones de 15 y 4 canicas respec- tivamente, una estrategia como el recuento es pesada y larga, razón por la que pueden producirse mu- chos errores si se acude al recuento, en tanto que una estrategia como el sobreconteo rápido, consistente en partir de la cantidad mayor, 15, y contar 4 hacia delante: 16, 17, 18 y 19 es muy eficaz y segura. Ahora bien, esta estrategia ya no está al alcance de alumnos tan pequeños, y hay que espe- rar hasta los 6-7 años para que pueda ser resuelta por este procedimiento. Sin embargo, un sobrecon- teo para averiguar cuántas son 5 y 4 es factible para niños más pequeños, pues con ayuda de los dedos de las manos pueden representarse las cantidades correspondientes y llevar un control del conteo, ya sea para el sobreconteo lento (5, 6, 7, 8 y 9) o el rápido (6, 7, 8 y 9).
5.6.2.
Contextos de utilización del número
Fuson33distingue siete contextos de utilización del número, que son progre-
sivamente utilizados y comprendidos por los niños. Tres contextos matemáticos:
– Cardinal, del que ya hemos hablado al tratar los principios de conteo. – Ordinal, en el que el número hace referencia a un elemento dentro de una
colección ordenada, describiendo la posición relativa de ese elemento dentro de la serie.
– Medida, en el caso de las colecciones de entidades discretas el cardinal no
es otra cosa que su medida, por eso se dice que el número es una magnitud34,
pero, para las cantidades continuas (longitud, masa, capacidad, superficie, vo- lumen, etc.), el número hace referencia al número de cantidades-unidad que «caben» en una cantidad dada. Esta concepción del número es para algunos au- tores como Vergnaud35de una gran importancia, considerándola como una de
las ideas fundadoras del concepto de número.
Se sabe que las relaciones cardinales se construyen con anterioridad a las re- laciones ordinales y a las de medida.
Dos contextos que tienen una componente social y utilitaria:
– Secuencia, por ejemplo, cuando el niño recita una cantinela como: Uno, dos, tres y cuatro,
Margarita tiene un gato con las orejas de trapo.
Es evidente que los números carecen de significación cardinal, y las pala- bras-número son aquí, únicamente, palabras buscadas para rimar.
– Conteo, cuando los niños recitan la cantinela en ausencia de toda activi-
dad que tenga por objeto saber cuántos elementos hay en una colección, nor- malmente no hay ni siquiera objetos, el recitado se produce simplemente por el
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Actividad 5:En función de los distintos niveles de organización de la cadena numérica ver-