El concepto de frontera se explica en el artículo TOPOLOGÍA en

el Vocabulario matemático. La frontera del conjunto de puntos P(p) está dada con la topología del espacio-tiempo M. Para que tenga sentido hablar de la frontera de G(S) hay que darle una topología al conjunto K de todas las cosmolíneas de la materia de nuestro uni- verso de Friedmann. Esto se logra de un modo natural y fácil, si recordamos que K constituye una congruencia de curvas (nota 27) y por lo tanto determina una partición del espacio-tiempo (lo divide exhaustivamente en clases de puntos mutuamente exclusivas, los puntos de cada cosmolínea). Sea ƒ la aplicación que asigna a cada punto del espacio-tiempo la cosmolínea a que pertenece. Le daremos a K la topología más gruesa que asegure que ƒ sea una aplicación continua.

 CAPÍTULO QUINTO

(P(p)\P(p) =∆), hay puntos del espacio-tiempo desde los cuales no puede llegar a p ninguna forma de influencia causal. A menos que el horizonte de partículas de S esté vacío (G(p)\G(p) =∆), hay partículas materiales que no pueden ejercer ninguna forma de influencia causal sobre p

antes de que ocurra S. El típico universo de Friedmann y otros modelos cosmológicos afines pero más realistas tienen horizontes de partículas no vacíos (MacCallum 1971). Consi- dérese una particula p en un universo de Friedmann que se expande desde un punto. Sea t(S) el tiempo que la coor- denada temporal global descrita en el postulado (i) asigna al suceso S en la historia de p. Retrocedamos en esa his- toria, llamando S a un suceso cada vez más temprano. A medida que el tiempo correspondiente t(S) disminuye, aproxi- mándose a la cota inferior máxima del tiempo universal, hay cada vez menos partículas dentro del horizonte de partículas de S, hasta que al final, en el límite, p se queda sola. En la época más temprana de la evolución del universo cada partícula sólo ha tenido oportunidad de recibir influencia — gravitacional, por ejemplo— de sus vecinas más cercanas. Por lo tanto, no tiene sentido tratar de explicar la estructura global del campo métrico de Friedmann, que configura las cosmolíneas de la materia, por la interacción gravitacional de cada partícula material con todas las otras. La comunica- ción mutua entre las distintas partes de la materia se alcanza gradualmente, dentro del marco establecido por el campo métrico.

A muchos filósofos les repugna atribuir a las tendencias evolutivas inherentes en la geometría del espacio-tiempo un efecto dinámico tan dramático como la expansión del uni- verso. Sin embargo, en el contexto de la cosmología relativista, no veo modo de evitar tal atribución. Cuando John Earman escribió que en la Relatividad General “la desviación de las cosmolíneas de un sistema de partículas de prueba es cau- sada por la curvatura del espacio-tiempo” (1972, p. 84), Bas van Fraassen protestó que “la aseveración de que el espacio- tiempo causa desviaciones en las cosmolíneas confunde las

Causalidad y geometría cósmica 

categorías” (1972, p. 93).30 _{Van Fraassen tendría toda la}

razón si Earman estuviera diciendo que la curvatura del espacio-tiempo desvía las cosmolíneas como un policía des- vía el tráfico. Pero la aseveración cuestionada quiere decir únicamente que la rapidez con que, al tiempo de ocurrir un suceso S en la historia de una partícula de prueba p, la cosmolínea geodésica de p se acerca a (o aleja de) las geodésicas temporaloides vecinas depende funcionalmente de la curvatura del espacio-tiempo en el punto en que ocurre S. Ahora bien, los físicos dicen corrientemente, en un sentido enteramente análogo, que el campo electromag- nético desvía un haz de partículas cargadas y nadie nunca los ha acusado de confundir las categorías cuando hablan de esta manera. De hecho, en cuanto Riemann logró caracte- rizar una vasta familia de estructuras geométricas —inclu- sive la familiar geometría euclidiana y la minkowskiana, todavía desconocida a la sazón— mediante un campo ten- sorial, esto es, mediante un objeto matemático del mismo tipo que el que normalmente se usa para representar un campo de fuerzas, estaba abierto el camino para incorporar la geometría física al dinamismo de la naturaleza. Sin em- bargo, aunque la representación de las relaciones métricas del espacio-tiempo mediante un campo tensorial nos brinda un medio para entender y formular con precisión la interde- pendencia entre ellas y las fuerzas naturales radicadas en la materia, no hay que saltar a la conclusión de que la Relati- vidad General ha superado el dualismo de causa y estructura que señalábamos en la dinámica newtoniana. El mismo con- cepto de un campo tensorial presupone el continuo (la va- riedad diferenciable) en que está definido. El juego dinámi- co de las fuerzas regidas por las ecuaciones de campo de Einstein requiere una “cancha” lisa, estructurada topológica-

30. ‘Confusión de categorías (category mistake)’ es el tipo de error que comete, por ejemplo, quien pregunta por el peso en gramos de una nota musical, o le atribuye deseos a una computadora.

 CAPÍTULO QUINTO

mente, en la cual desenvolverse.31

Se han hecho varios intentos para derivar la topología del espacio-tiempo relativista de una supuesta topología atribui- da a las cadenas causales, equivalente, al menos en un entorno de cada suceso, a la topología estándar de la recta (y de Â).32 _{Muy interesante para estos efectos es la topología} de caminos definida por Hawking, King y McCarthy (1976). Para explicarla necesito introducir algunos términos.33 _Sea M un espacio-tiempo relativista cualquiera. Una curva lisa en M está dirigida al futuro si el vector tangente a cada punto de la curva está (i) sobre el cono nulo futuro en ese punto o (ii) en el interior de la región de vectores temporaloides cuya frontera es ese cono (cf. la fig. 7, en la p. 112). Considérese un punto P Œ M y un subconjunto U Õ M. El