Causalidad y geometría cósmica en la Teoría de la Relatividad
6. Hago, pues, caso omiso del particular contexto del que tomé mis citas, el cual contiene la increíble aseveración de que “los campos
gravitacionales más generales” contemplados por la Relatividad Ge- neral pueden “destruir todas las propiedades métricas del continuo espacio-temporal”, debido a que todas las varas de medir y los relojes
CAPÍTULO QUINTO
crea que todo conocimiento científico ha de alcanzarse por inducción a partir de resultados experimentales, le sonarán intrínsecamente verosímiles. Pues cabe razonar así: La Teoría de la Relatividad no da el espacio y el tiempo por descon- tados; la Relatividad Especial critica la concepción que de ellos se hacía Newton; la Relatividad General vincula la estructura espacio-temporal del universo a la dinámica de la gravedad; de este modo, la geometría del espacio-tiempo se torna objeto de investigación experimental; pero los expe- rimentos propiamente se dirigen a descubrir relaciones cau- sales; por lo tanto, la estructura del espacio-tiempo —en la medida en que no es una convención facticia que se puede modificar a voluntad— tiene que reflejar el sistema causal de la naturaleza (donde ‘causal’ ha de entender, por cierto, en su limitada acepción moderna). A la luz de un argumen- to como éste, se comprende por qué la teoría causal del espacio-tiempo es favorecida por los empiristas inductivistas. También logramos barruntar por qué sus defensores suelen aderezarla con uno que otro toque de convencionalismo cronogeométrico, a saber, para cubrir aquellos aspectos de la geometría del espacio-tiempo que la teoría causal aparen- temente no es capaz de explicar. Pero el argumento implica, por otra parte, que si la concepción causal del espacio- tiempo relativista es insostenible o puede sostenerse sólo nominalmente, la Teoría de la Relatividad es incompatible con el inductivismo.
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En esta sección consideraremos la interpretación causal del espacio-tiempo relativista plano, esto es, el espacio-tiem- po de la Relatividad Especial. Para entender sus tesis y sus se hacen añicos cuando la curvatura espacio-temporal es muy grande (Reichenbach 1928, p. 308).
Causalidad y geometría cósmica
motivos debemos recordar los principales rasgos de la for- mulación geométrica de la teoría por Minkowski. Como se mostró en el Capítulo 2 (seccíon titulada “El espacio-tiem- po: una variedad de Riemann”), la práctica habitual de asignar coordenadas a cada suceso físico, esto es, un cuádru- plo de números reales que varía continuamente cuando el argumento recorre el espacio y el tiempo presupone que los sucesos mismos —o la “cancha” o “escenario” en que ocu- rren— constituyen una variedad diferenciable cuadridi- mensional. Minkowski llamó a está variedad “die Welt” —“el mundo”— pero preferimos llamarlo “espacio-tiempo”. El Principio de Relatividad (especial), formulado por Einstein en 1905, implica que la variedad espacio-temporal admite un atlas de cartas globales con la siguiente propiedad: las leyes de la física referidas a cualquiera de esas cartas revisten la misma forma.7 Dichas cartas, que llamamos cartas de Lorentz, combinan un trío de coordenadas espaciales cartesianas ligadas a un marco rígido en movimiento inercial con una coordenada temporal einsteiniana definida mediante señales de luz reflejadas en ese marco (como se explica en el Capítulo 4, pp. 70-71). La postulada invariancia de la forma de las leyes físicas cuando se sustituye una carta de Lorentz por otra vale, por cierto, únicamente si en la cons- trucción de todas las cartas se utilizan las mismas unidades de tiempo y longitud. La forma general de tales sustitucio- nes se determina fácilmente si suponemos con Einstein que 7. Los conceptos de carta y atlas se explican en el Vocabulario matemático, s.v. VARIEDADDIFERENCIABLE. En la formulación matemática
de las leyes de la física figuran expresiones dependientes de la po- sición espacio-temporal de los objetos y cantidades físicas envueltas. Dicha posición se indica, normalmente, mediante coordenadas. Que una ley de la física formulada de este modo reviste la misma forma cuando se la refiere a dos cartas cualesquiera de un cierto atlas quiere decir lo siguiente: Si las coordenadas ·x0,x1,x2,x3Ò de una de esas
cartas se sustituyen en la formulación referida a ella por las coorde- nadas ·y0,y1,y2,y3Ò de la otra carta, se obtiene, sin más cambio que ese,
CAPÍTULO QUINTO
ellas preservan, en particular, las dos leyes siguientes: el Principio de inercia y el Principio de la constancia de la velocidad de la luz (no importa cuál sea el estado de mo- vimiento de su fuente luminosa). Sean x e y dos cartas de Lorentz. Supongamos primero que tienen el mismo origen.8
Se puede demostrar que en ese caso la transformación de coordenadas x • y-1 es una transformación de Lorentz, esto es,
una permutación lineal de Â4 caracterizable así: suponga-
mos, para simplificar, que las unidades estándar empleadas en la construcción de las cartas de Lorentz se elijan de modo que la velocidad constante de la luz en el vacío sea igual a 1; entonces la matriz A de cualquier transformación de Lorentz satisface la ecuación ATHA = H, donde AT es la traspuesta de A y H es la matriz diagonal (-1,1,1,1). Si
x e y no tienen el mismo origen, x • y-1 es una transforma- ción de Poincaré, esto es, el producto de una transformación de Lorentz y una traslación. Las transformaciones de Lorentz
evidentemente forman un grupo.9 Por consiguiente, las
transformaciones de Poincaré, generadas por el grupo de Lorentz y el grupo de las translaciones, también forman un grupo. El grupo de Poincaré actúa transitiva y efectivamente sobre Â4 a través de las transformaciones de coordenadas
entre cartas de Lorentz. Como estas cartas son globales, a cada transformación de coordenadas x • y-1 le corresponde
una y sólo una transformación puntual x-1• y —esto es, lo
que suele llamarse una transformación “activa”— que “biyecta” el espacio-tiempo sobre sí mismo (véase la fig.
8. Esto quiere decir que tanto x como y asignan a un mismo punto