El cuerpo de los n´ umeros algebraicos - 2.2 2 Ex Exte tens nsio ione nes s al alge gebra braic

2.2 2 Ex Exte tens nsio ione nes s al alge gebra braic icas as

2.3. El cuerpo de los n´ umeros algebraicos

Deﬁnici´on 2.3.1. Los elementos de

C

algebraicos sobre

R

conforman el cuerpo de los n´ umeros algebraicos y se denota por

A

Seg´un el corolario 2.2.4, el cuerpo de n´umeros algebraicos es un subcuerpo de

C

que contiene a

R

Definición 2.3.2. Un complejo se dice que es entero algebraico si es ra´ız de un polinomio m´ onico con coeficientes enteros.

Para la prueba del siguiente teorema utilizaremos algunos elementos básicos de teor´ıa de módulos y álgebra lineal sobre anillos conmutativos (véanse [11] y [12]). Teorema 2.3.3. El conjunto

E

de enteros algebraicos es un subanillo de

C

Demostraci´ on. Paso 1. Sean R

_⊆

S anillos conmutativos y sea α

_∈

S ; se dice que α es entero sobre R si α es ra´ız de un polinomio m´onico con coeﬁcientes en R. Probemos que las siguientes condiciones son equivalentes:

(i) α es entero sobre R.

(ii) El subanillo de S generado por R y α, R[α], es un R-m´odulo ﬁnitamente generado.

(iii) R[α] est´a contenido en un subanillo R



_{de S tal que R}



_{es ﬁnitamente generado}

como R-m´odulo.

(iv) Existe un R[α]-m´odulo M el cual es ﬁel , es decir, AnnR[α](M ) = 0 y M es

ﬁnitamente generado como R-m´odulo.

(i)

_⇒

(ii): Sea p(x) := p0 + p1x +

· · ·

+ pn

₋

1xn

−

1 + xn

∈

R[x] tal que p(α) = 0;

recordemos que cada elemento de R[α] es de la forma q (α) con q (x)

_∈

R[x], pero como p(x) es mónico podemos hacer división con res´ıduo y obtenemos que R[α] es generado como R-módulo por

_{

1, α , . . . , αn

₋

}

. (ii)

_⇒

(iii): Basta tomar R



_= R[α].

(iii)

_⇒

(iv): R



_{es un R[α]-m´odulo; sea q (α)}

_∈

_{R[α] de tal forma que q (α)r}



_para

cada r

_∈



_{, entonces en particular q (α)1 = q (α) = 0, esto dice que M := R}



_es

R[α]-ﬁel.

(iv)

_⇒

(i): M es no nulo ya que de lo contrario el anulador ser´ıa todo R[α]; sea

{

z 1, . . . , z t

}

un conjunto de R-generadores de M ; puesto que αM

⊆

M , entonces

existen cij

∈

R tales que αz i = ci1z 1 +

· · ·

+ citz t, 1

≤

t; sea C := [cij]

∈

M t(R),

entonces se tiene el sistema (C

₋

αE )



z 1

· · ·

z t



= 0, donde E es la matriz id´entica de orden t. Multiplicando a izquierda por la adjunta de C

₋

αE entontramos mediante la regla de Cramer que





pC (α) . .. 0 0 pC (α)





z ...1 z t





= 0,

donde pC (α) es el polinomio caracter´ıstico de C ; resulta pC (α)z i = 0 para cada i y

entonces pC (α)

∈

AnnR[α](M ) = 0, es decir, pC (α) = 0 y as´ı α es entero sobre R.

Paso 2 . Sea E el conjunto de elementos de S que son enteros sobre R; veamos que E es un subanillo de S que contiene a R. En primer lugar es claro que E no es vac´ıo ya que contiene a R. Sean α, β

_∈

E , entonces α es entero sobre R y β es entero sobre R[α] y por lo tanto existen elementos s1, . . . , sn, s



₁, . . . , s



∈

S tales

que R[α] = Rs1 +

· · ·

+ Rsn y R[α][β ] = R[α]s



1 +

· · ·

+ R[α]s



m =



n,m

i,j Rsis j



As´ı pues, R



_{:= R[α, β ] = R[α][β ] es un subanillo de S que es ﬁnitamente generado}

como R-m´odulo y es tal que R[α

_±

β ], R[αβ ]

_⊆



_{. Seg´un el paso 1 se tiene que}

_±

β,αβ

_∈

Ejemplo 2.3.4. Sea α

_∈

C

algebraico sobre

Q

y sea p(x)

_∈

Q

[x] su polinomio m´ınimo. Notemos que α es entero algebraico si, y s´olo si, p(x)

_∈

Z

[x].

⇐

): Es claro que si p(x)

_∈Z

[x], entonces α es entero algebraico.

⇒

): Sea α entero algebraico y sea z (x)

_∈Z

[x] m´onico tal que z (α) = 0; podemos elegir z (x) con grado m´ınimo. Se tiene que z (x) es m´ultiplo de p(x), es decir, existe q (x)

_∈Q

[x] tal que z (x) = p(x)q (x). Según la demostración de la proposición 1.4.8, existen polinomios enteros mónicos p



_{(x), q}



_{(x) tales que z (x) = p}



_(x)q



_{(x), con}

gr( p



_{(x)) = gr( p(x)) y gr(q}



_{(x)) = gr(q (x)); resulta, 0 = p}



_(α)q



_{(α), luego p}



_{(α) =}

0 o q



_{(α) = 0; en el primer caso, por la elecci´on de z (x), gr( p}



_(x))

_≥

_gr(z (x)),

pero tambi´en gr(z (x))

_≥

gr( p



_{(x)), luego q}



_{(x) = 1 y z (x) = p}



_{(x). Se tiene pues}

que gr(z (x)) = gr( p(x)) y de esta manera q (x) = q 0

∈

Q

, pero z (x) y p(x) son

m´onicos, por lo tanto, q 0 = 1 y as´ı p(x) = z (x)

∈Z

[x]. En el segundo caso, es decir,

si q



_{(α) = 0, gr(q}



_(x))

_≥

_gr(z (x))

_≥

_gr(q



_{(x)), luego p}



_{(x) = 1, pero esto no es}

posible ya que gr( p(x))

_≥

Ejemplo 2.3.5. Un n´umero α

_∈

Q

(i) es entero algebraico si, y s´olo si, α

_∈

Z

[i]:

⇒

): Sea α = a + bi entero algebraico con a, b

_∈

Q

; si b = 0, entonces veamos que a

_∈

Z

: en efecto, sea a = p_q ra´ız de un polinomio m´onico entero f (x) = xn ₊

₋

1xn

−

1 +

· · ·

+ k0, entonces pn + qkn

₋

1 pn

−

1 +

· · ·

+ q nk0 = 0 y de esta manera q

divide p, es decir, a

_∈

Z

_⊂

Z

[i].

Sea pues b

_

= 0; α2 = a2+2abi

₋

b2 = a2

₋

b2+2a(α

₋

a), luego α2

₋

2aα+(a2+b2) = 0 y entonces el polinomio m´ınimo de α sobre

Q

es p(x) = x2

−

2ax + (a2 _+ b2_{) (el}

polinomio m´ınimo no puede ser de grado 1 ya que entonces i

_∈

Q

). Pero como α es entero algebraico, entonces por el ejemplo anterior, p(x)

_∈

Z

[x], es decir, 2a, a2+b2

_∈

Z

. Se tiene entonces que 2a = p

_∈

Z

, de donde a = p₂ y as´ı p2_{+ 4b}2 _{= 4q , con q}

∈

Z

. Entonces 2

_|

p2, es decir, 2

_|

p y por lo tanto a

_∈

Z

. Resulta de esto que b2

∈

Z

, luego b

_∈

Z

, y en consecuencia α

_∈

Z

[i].

⇐

): Sea α = a + bi

_∈

Z

[i]; a, b son claramente enteros algebraicos, pero i es tambi´en entero algebraico, luego por el teorema 2.3.3, α es entero algebraico.

2.4. Cuerpo de descomposici´on de un polinomio

De particular importancia en teor´ıa de ecuaciones polinómicas es la existencia de un cuerpo extensión en donde una ecuación polinómica tenga un juego completo de ra´ıces. De ésto nos ocuparemos en esta sección. Comencemos con algunos resultados que ya hab´ıamos iniciado en la sección 1.2.

Proposici´on 2.4.1 (Teorema del residuo). Sea F un cuerpo, p(x)

_∈

F [x] un polinomio de grado n

_≥

1 y sea K una extensi´ on de F . Entonces, para cada α

_∈

existe q (x)

_∈

K [x] tal que

p(x) = (x

₋

α)q (x) + p(α), donde gr(q (x)) = n

₋

Demostraci´ on. Consideremos a p(x) como elemento de K [x]. Aplicando el algoritmo de la divisi´on encontramos q (x) y r(x) en K [x] tales que

p(x) = (x

₋

α)q (x) + r(x),

donde r(x) = 0 o gr(r(x)) < 1. Aplicando el homomorﬁsmo evaluaci´on obtenemos que p(α) = r(α), pero como r(x) es un polinomio constante entonces r(x) = r(α) y

p(x) = (x

₋

α)q (x) + p(α). Evidentemente gr(q (x)) = n

₋

Corolario 2.4.2. Sean K una extensi´ on del cuerpo F , p(x)

_∈

F [x] y α

_∈

K . Entonces, α es ra´ız de p(x)

_∈

F [x] si, y s´ olo si, (x

₋

α)

_|

p(x) en K [x] .

Demostraci´ on.

_⇒

): p(α) = 0, luego por el teorema del residuo p(x) = (x

₋

α)q (x).

⇐

): p(x) = (x

₋

α)q (x), aplicando el homomorﬁsmo evaluaci´on obtenemos que p(α) = 0.

Si α

_∈

K una ra´ız de p(x)

_∈

F [x], es posible que (x

₋

α)2_{, (x}

−

α)3_{, . . . di-}

vidan tambi´en a p(x) en K [x] . En tales casos se tienen las llamadas ra´ıces con multiplicidad (v´ease el ejemplo 1.5.5).

Deﬁnici´on 2.4.3. Sean K una extensi´ on de un cuerpo F , p(x)

_∈

F [x] y α

_∈

K . Se dice que α es una ra´ız con multiplicidad m

_≥

1 de p(x) si p(x) = (x

₋

α)m_h(x)_,

con h(x)

_∈

K [x] y h(α)

_

= 0.

Nos preguntamos si para un polinomio p(x) de grado n

_≥

1 existe una extensi´on donde p(x) tenga m´as de n ra´ıces.

Proposici´on 2.4.4. Para cada cuerpo F y cada polinomio p(x)

_∈

F [x] de grado

_≥

1, p(x) tiene m´ aximo n ra´ıces en cualquier extensi´ on de F .

Demostraci´ on. La prueba la realizamos por inducción sobre n. Para n = 1, sea K una extensión de F . Si ningún elemento de K es ra´ız de p(x) entonces la proposición se cumple trivialmente. Supóngase que existe un elemento α

_∈

K tal que p(α) = 0, entonces (x

₋

α)

_|

p(x), con p(x) = ax + b, donde a, b

_∈

F, a

_

= 0. Resulta, ax + b = (x

₋

α)q, q

_∈

_{− {}

_}

, luego q = a, b =

₋

αq , es decir, α =

−

_ab y as´ı p(x) tiene solo una ra´ız en K .

Supóngase que la proposición es cierta para cualquier cuerpo extensión de F y cualquier polinomio de grado

_≤

₋

1. Sea p(x)

_∈

F [x] un polinomio de grado n, y sea K una extensi´on de F ; si p(x) no tiene ra´ıces en K entonces la proposici´on se cumple trivialmente. Sea α

_∈

K una ra´ız de p(x) de multiplicidad m

_≥

1, entonces p(x) = (x

₋

α)m_{q (x), q (x)}

∈

K [x]. N´otese que m

_≤

n y gr(q (x)) = n

₋

m. Si p(x) no posee otras ra´ıces en K entonces la proposición está probada. Supóngase que existe β

_∈

K, β

_

= α tal que p(β ) = 0, resulta 0 = (β

₋

α)m_{q (β ) luego β es ra´ız}

de q (x) en K , es decir, cualquier otra ra´ız β en K de p(x) es necesariamente ra´ız de q (x). De acuerdo con la hipótesis de inducción el número de tales β es a lo más n

₋

m. Sumando esto con la multiplicidad m de α obtenemos que p(x) tiene m´aximo n ra´ıces en K .

Proposici´on 2.4.5. Sea F un cuerpo y sea p(x)

_∈

F [x] un polinomio de grado

_≥

1. Sea K una extensi´ on de F en la cual p(x) tiene r ra´ıces diferentes α1, . . . , αr

con multiplicidades m1, . . . , mr, respectivamente. Entonces,

₋

α1)m1

· · ·

−

αr)mr

|

p(x) (en K [x]).

Adem´ as, si m1 +

· · ·

+ mr = n entonces

p(x) = (x

₋

α1)m1

· · ·

−

αr)mr.

Demostraci´ on. Por deﬁnici´on (x

₋

α1)m1

|

p(x), luego p(x) = (x

−

α1)m1q 1(x), q 1(x)

∈

K [x]; de igual manera (x

₋

α2)m2

|

p(x), de donde (x

−

α2)m2

|

q 1(x) ya que (x

−

α1)m1

y (x

₋

α2)m2 son primos relativos. Resulta, p(x) = (x

−

α1)m1(x

−

α2)m2q 2(x), con

q 2(x)

∈

K [x]. De manera an´aloga, (x

−

α1)m1

· · ·

−

αr)mr

|

p(x).

Si m1 +

· · ·

+ mr = n, entonces por cuestiones de grado p(x) coincide con el

producto (x

₋

α1)m1

· · ·

−

αr)mr.

Según las propiedades anteriores, la noción de cuerpo de descomposición de un polinomio se puede expresar en términos de un juego completo de ra´ıces o bien de descomposición completa en factores lineales.

Deﬁnici´on 2.4.6. Sean F un cuerpo y p(x)

_∈

F [x] un polinomio de grado n

_≥

1. La extensi´ on K de F se dice que es un cuerpo de descomposici´ on de f (x)

(i) p(x) se descompone completamente en n factores lineales en K [x].

(ii) No existe subcuerpo propio de K para el cual se cumple (i).

Teorema 2.4.7 (Existencia). Sea F un cuerpo y sea p(x)

_∈

F [x] un polinomio de grado n

_≥

1. Entonces,

(i) Existe una extensi´ on K de F en donde p(x) se descompone en n factores lineales (no necesariamente diferentes ):

p(x) = (x

₋

α1)

· · ·

−

αn), αi

∈

K, 1

≤

Adem´ as, [K : F ]

_≤

n! y α1, . . . , αn son los ´ unicos elementos de K que son

ra´ıces de p(x).

(ii) F (α1, . . . , αn) es un cuerpo de descomposici´ on de p(x).

Demostraci´ on. (i) La demostración la hacemos por inducción sobre n. Par n = 1, la situación es trivial, tomamos K = F y desde luego [K : F ] = 1. Supongamos que la proposición es válida para todos los polinomios de grado n

₋

1 y sobre cualquier cuerpo. Sea p(x)

_∈

F [x] grado n

_≥

2. Seg´un el corolario 2.1.17, existe una extensi´on K 1 de F donde p(x) tiene una ra´ız α1 y p(x) = (x

−

α1) p1(x), con p1(x)

∈

K 1 [x]

y deg p1(x) = n

−

1; adem´as, [K 1 : F ]

≤

n. Aplicando la hip´otesis de inducci´on a

p1(x) y K 1, encontramos una extensi´on K de K 1 (y por lo tanto de F ) donde p1(x)

se descompone en producto de n

₋

1 factores lineales, p1(x) = (x

−

α2)

· · ·

−

αn),

con α2, . . . , αn

∈

K , y adem´as [K : K 1]

≤

−

1)!. Por lo tanto en K [x] se tiene

para p(x) la descomposici´on

p(x) = (x

₋

α1)(x

−

α2)

· · ·

−

αn).

Resulta, [K : F ] = [K : K 1] [K 1 : F ]

≤

−

1)!n = n!.

Es obvio que α1, . . . , αn son ra´ıces de p(x). Sea β

∈

K tal que p(β ) = 0, entonces

por el teorema del residuo, (x

₋

β )

_|

p(x) y existe 1

_≤

n tal que (x

₋

β )

_|

₋

αi),

resulta (x

₋

αi) = (x

−

β ) y as´ı β = αi.

(ii) Es claro que en F (α1, . . . , αn) el polinomio p(x) se descompone completa-

mente en n factores lineales. Sea F

_⊂

F (α1, . . . , αn) en donde p(x) se descom-

pone completamente en n factores lineales,

p(x) = (x

₋

β 1)

· · ·

−

β n), β i

∈

L, 1

≤

Puesto que L

_⊂

K , seg´un (i),

_{

β 1, . . . , β n

}

{

α1, . . . , αn

}

, luego F (α1, . . . , αn)

⊂

y de esta manera L = F (α1, . . . , αn).

Proposici´on 2.4.8. Sean F y F



_{dos cuerpos y}_{α : F}

_→



_{un isomorﬁsmo. En-}

tonces, α induce un isomorﬁsmo α



_: F [x]

_→



_[x] entre sus anillos de polinomios. En particular, p(x)

_∈

F [x] es irreducible si, y s´ olo si, α



_( p(x))_{es irreducible.}

Demostraci´ on. α



_{se deﬁne de la manera natural,}



: F [x]

_−→



[x]

a0 + a1x +

· · ·

+ anxn

→

α(a0) + α(a0)x +

· · ·

+ α(an)xn

Evidentemente α



_{es un isomorﬁsmo. La segunda aﬁrmaci´}_{on es consecuencia direc-}

tamente de la primera.

Deﬁnici´on 2.4.9. Sea K y K



_{extensiones de}_F _y_F



_{, respectivamente. Sean}_{α :}

_→



, α

∗

_{: K}

_→



isomorﬁsmos. Se dice que α

∗

es una extensi´ on de α si

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