Cuerpos

CUADERNOS DE

CUADERNOS DE ´

ALGEBRA

ALGEBRA

No. 5

No. 5

Cuerpos

Cuerpos

Oswaldo Lezama

Oswaldo Lezama

Departamento de Matem´

Departamento de Matem´aticas

aticas

Facultad de Ciencias

Facultad de Ciencias

Universidad Nacional de Colombia

Universidad Nacional de Colombia

Sede de Bogot´

Sede de Bogot´aa

30 de noviembre de 2016

30 de noviembre de 2016

Cuaderno dedicado a Wilma, mi esposa. Cuaderno dedicado a Wilma, mi esposa.

Pr´

Pr´ologoologo iviv

1.

1. PolPolinomiinomiosos 11

1.1.

1.1. GeneGeneralidaralidadesdes  . . . . .   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.

1.2. PolPolinomioinomios sobs sobre cre cuerposuerpos  .   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.3.

1.3. AlgAlgorioritmotmos de la divs de la divisiisi´´on y Euclides enon y Euclides en K  K [[xx]]  . . . .   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 1.4.

1.4. TTeoreeorema de ma de GaussGauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1188 1.5.

1.5. EjeEjemplmplosos . . . . . . . 2244 1.6.

1.6. PolPolinomioinomios en vars en varias vias variablariableses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2255 1.7.

1.7. PolinomioPolinomios sim´s sim´etricosetricos  . . . .   . . . 3300 1.8.

1.8. EjeEjercirciciocioss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3355 2.

2. ExteExtensionnsiones de cuerposes de cuerpos 3838 2.1.

2.1. ExteExtensionensiones s simplesimpless  . . . .   . . . 3388 2.2.

2.2. ExteExtensionensiones als algebragebraicasicas . . . . . . . 4466 2.

2.3. 3. El cEl cueuerpo drpo de los n´e los n´umeros algebraicosumeros algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4488 2.4.

2.4. CuerCuerpo de po de descodescomposicimposici´´on de un polinomioon de un polinomio . . . . . . . 5500 2.5.

2.5. ClausClausura alura algebraigebraica de ca de un cueun cuerporpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5577 2.6.

2.6. DependDependencia e inencia e independedependencia algncia algebraiebraicaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6611 2.7.

2.7. EjeEjercirciciocioss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6688 3.

3. FFundamentos undamentos de la de la teorteor´´ıa dıa de Gale Galoisois 7070 3.1.

3.1. ExteExtensionensiones s normalnormaleses  . . . .   . . . 7700 3.2.

3.2. RaRa´´ıces de la ıces de la unidadunidad  . . . .   . . . 7733 3.3.

3.3. CueCuerpos rpos finifinitostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7755 3.4.

3.4. ExteExtensionensiones separabs separables y cuerles y cuerpos perfectpos perfectosos  . . . .   . . . . . . . . . . . . 7777 3.5.

3.5. TTeoreeorema del elemenma del elemento primitito primitivovo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8800 3.6.

3.6. EjeEjercirciciocioss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8822 4.

4. TTeoreor´´ıa ıa de de GaloGaloisis 8383 4.1.

4.1. El gEl grupo rupo de Gde Galoaloisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8833 4.2.

4.2. TTeorema fundamental de la eorema fundamental de la teorteor´´ıa de ıa de GaloisGalois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8866 iii

4.3. Ejemplos . . . 89 4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5. Solubilidad por radicales 92

5.1. Polinomios solubles por radicales . . . . . . . . . . . . . . 92 5.2. Teorema de Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

La colecci´on  Cuadernos de ´ algebra  consta de 10 publicaciones sobre los principales temas de esta rama de las matem´aticas, y pretende servir de material para preparar los ex´amenes de admisi´on y de candidatura de los programas colombianos de doc-torado en matem´aticas. Los primeros cinco cuadernos cubren el material b´asico de los cursos de estructuras algebraicas y ´algebra lineal de los programas de maestr´ıa; los cinco cuadernos siguientes contienen algunos de los principales temas de los ex´amenes de candidatura, a saber: anillos y m´odulos; categor´ıas; ´algebra homol´ogica; ´algebra no conmutativa; ´algebra conmutativa y geometr´ıa algebraica. Cada cuaderno es fruto de las clases dictadas por el autor en la Universidad Nacional de Colombia en los ´ultimos 25 a˜nos, y est´an basados en las fuentes bibliogr´aficas consignadas en cada uno de ellos, como tambi´en en el libro Anillos, M´ odulos y Categor´ıas , publicado por la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia, y cuya edici´on est´a totalmente agotada (v´ease [8]). Un material similar, pero mucho m´as completo que el presentado en estas diez publicaciones, es el excelente libro de Serge Lang,  Al-gebra , cuya tercera edici´on revisada ha sido publicada por Springer en el 2004 (v´ease [7]). Posiblemente el valor de los Cuadernos de ´ algebra  sea su presentaci´on ordenada y did´actica, as´ı como la inclusi´on de muchas pruebas omitidas en la literatura y suficientes ejemplos que ilustran la teor´ıa. Los cuadernos son:

1. Grupos 6. Anillos y m´odulos 2. Anillos 7. Categor´ıas

3. M´odulos 8. ´Algebra homol´ogica 4. ´Algebra lineal 9. ´Algebra no conmutativa 5. Cuerpos 10. Geometr´ıa algebraica

Los cuadernos est´an divididos en cap´ıtulos, los cuales a su vez se dividen en secciones. Para cada cap´ıtulo se a˜nade al final una lista de ejercicios que deber´ıa ser complementada por los lectores con las amplias listas de problemas que incluyen las principales monograf´ıas relacionadas con el respectivo tema.

Cuaderno de cuerpos. Uno de los problemas cl´asicos que motiva la teor´ıa que se estudia en este cuaderno es la solubilidad de ecuaciones polin´omicas, es decir, el problema de determinar condiciones necesarias y suficientes para saber si una ecuaci´on polin´omica p(x) = 0, de grado n

 _≥

 1, y con coeficientes en un cuerpo K ,

tiene ra´ıces expresables por medio de radicales. Para ello es necesario desarrollar la teor´ıa de cuerpos, estudiar sus extensiones y sus automorfismos. Una vez estudiada la teor´ıa b´asica de cuerpos, se introduce la noci´on de grupo de Galois de una ex-tensi´on finita, normal y separable, se establece la correspondencia que existe entre extensiones y subgrupos del grupo de Galois, para llegar finalmente al teorema fun-damental de la teor´ıa de Galois. En la parte final del cuaderno, como aplicaci´on, se estudia la solublilidad de ecuaciones polin´omicas por medio de radicales.

Para una mejor comprensi´on de los temas tratados en el presente cuaderno se asume que el lector est´a familiarizado con las nociones b´asicas de la teor´ıa de gru-pos, teor´ıa de anillos y ´algebra lineal (v´eanse por ejemplo [6], [9], [10] y [12]). A denotar´a un anillo no necesariamente conmutativo y con unidad 1. A

∗

 _{es el grupo}

multiplicativo de los elementos invertibles del anillo  A. Si f  es un homomorfismo de anillos, entonces f (1) = 1.

El autor desea expresar su agradecimiento a Fabio Alejandro Calder´on Mateus por la lectura cuidadosa y las correcciones finales introducidas al presente cuaderno. Oswaldo Lezama Departamento de Matem´aticas Universidad Nacional de Colombia Bogot´a, Colombia

Polinomios

El primer cap´ıtulo del presente cuaderno estudia la aritm´etica b´asica del anillo de polinomios en varias variables con coeficientes en un cuerpo. Destacamos el algo-ritmo de la divisi´on y el algoalgo-ritmo de Euclides, para lo cual consideramos ´ordenes monomiales sobre la colecci´on de los monomios est´andar. El teorema de Gauss y los polinomios sim´etricos tambi´en ocupan un lugar importante en este cap´ıtulo.

1.1. Generalidades

Iniciamos recordando la construcci´on del anillo de polinomios como subanillo del anillo de series. Los detalles completos de la construcci´on se pueden consultar en [10].

Sean A  un anillo y S  el conjunto de sucesiones en  A,

S  :=

_{

(a0, a1, a2, . . .) := (ai)

 |

ai

 ∈

A, i = 0, 1, 2, . . .

}

;

entonces las operaciones de adici´on y multiplicaci´on definidas en S  de la siguiente manera

a = (ai), b = (bi),

a + b := c = (ci) , ci := ai + bi, i = 0, 1, 2, . . .

ab := d = (di), di :=



 _j+k=ia jbk, i = 0, 1, 2, . . .

dan a S  una estructura de anillo (dos sucesiones son iguales si, y s´olo si, ai = bi,

para cada i = 0, 1, 2, . . .). El cero de S  es la sucesi´on nula 0 := (0, 0, . . .),

y la opuesta de a = (ai) es

 −

a := (

−

ai). Es f´acil comprobar que el uno de S  es la

sucesi´on

1 := (1, 0, 0, . . .) 1

y que el producto se distribuye sobre la adici´on. El anillo S  se denomina anillo de sucesiones formales en A.

Algunas propiedades relativas a esta construcci´on se presentan a continuaci´on: (i) Notemos que el anillo S  de sucesiones formales es conmutativo si, y s´olo si, A

es un anillo conmutativo. (ii) La funci´on

ι : A

_−→

S 

a

_−→

(a, 0, 0, . . .) es un homomorfismo inyectivo.

(iii) En el anillo S  se destacan de manera especial las sucesiones que tienen un n´umero finito de t´erminos no nulos. Se dice que la sucesi´on a = (a0, a1, a2, . . .)

es un polinomio si existe un entero  n tal que ai = 0 para i > n. Se denomina

grado del polinomio a al mayor entero n tal que an

 

= 0, y se denota por gr (a).

Los polinomios de grado 0 se denominan constantes. La sucesi´on nula es un polinomio sin grado. Si a  es un polinomio de grado n, entonces an+k = 0 para

k

 _≥

1:

a = (a0, a1, . . . , an, 0, . . .).

Los elementos a0, a1, . . . , an se denominan coeficientes del polinomio a; a0 se

denomina coeficiente independiente de a. El elemento an se denomina el

coeficiente principal  de a y se denota por lc(a). Se dice que a es m´ onico

si lc(a) = 1.

(iv) El conjunto P  de polinomios de S  es un subanillo de S .

(v) Queremos ahora presentar los polinomios en su forma habitual de sumas fini-tas. Si x  denota la sucesi´on:

x := (0, 1, 0, . . .) entonces x2 _{= (0, 0, 1, 0, . . .)} x3 = (0, 0, 0, 1, 0, . . .) ... xn _{= (0, . . . , 0, 1, 0, . . .).}

Adem´as, podemos identificar los polinomios constantes en la forma (a0, 0, . . .) := a0, a0

 ∈

A,

y un polinomio de grado n  se escribir´a

a (x) := (a0, a1, . . . , an, 0, . . .) = a0 + a1x +

· · ·

+ anxn.

El conjunto P  de los polinomios en x  con coeficientes en A  ser´a denotado por A [x]. Al anillo S  de sucesiones lo denotaremos por A [[x]].

(vi) Para cada a

_∈

A:

ax = (a, 0, . . .) (0, 1, 0, . . .) = (0, a, 0, . . .) = xa. (vii) Se tienen las inclusiones

A 

_→

A[x] 

_→

A[[x]].

(vii) Cada elemento a = (ai)

∈

A[[x]] se puede escribir como una serie, a =



∞

i=0aixi, y las operaciones que hemos definido en A[[x]] corresponden a la

suma y producto de series que se estudian en los cursos de c´alculo. Por esta raz´on, el anillo A[[x]] se conoce tambi´en como el  anillo de series formales

en A.

(viii) Los anillos de series y polinomios en varias variables se pueden definir en forma recurrente de la siguiente manera:

A[[x, y]] := A[[x]][[y]], A[[x1, . . . , xn]] := A[[x1, . . . , xn

₋

1]][[xn]],

A[x, y] := A[x][y], A[x1, . . . , xn] := A[x1, . . . , xn

₋

1][xn].

(ix) Para cualesquiera polinomios no nulos a (x), b(x)

 _∈

A [x] tales que a (x) + b(x)

_

= 0, se cumple que:

gr (a (x) + b(x))

_≤

m´ax

_{

gr (a (x)) , gr (b(x))

_}

. Para a (x) b(x)

_

= 0 se tiene tambi´en que

gr (a (x) b(x))

_≤

gr (a (x)) + gr (b(x)).

(x) A es un dominio si, y s´olo si, A [[x]] es un dominio si, y s´olo si, A [x] es un dominio.

(xi) Si A es un dominio, A [x]

∗

 = A

∗

_.

(xii) Sean A  un anillo y a  un elemento fijo de A. La funci´on definida por: ϕa : A [x]

−→

A

 p(x)

_→

 p0 + p1a +

· · ·

+ pnan

donde p(x) := p0 + p1x + ... + pnxn, es un homomorfismo de anillos, el

 homo-morfismo evaluaci´ on  en a.

(xiii) Con la notaci´on del numeral anterior, se dice que a

_∈

A es una ra´ız  o un cero

del polinomio p(x), si p(x)

_∈

ker(ϕa), es decir, si p0 + p1a +

· · ·

+ pnan = 0. Se

escribe entonces p(a) = 0. Si C  es un anillo extensi´ on  de A, es decir, A es un subanillo de C , entonces podemos considerar p(x)

 _∈

C [x] y buscar ra´ıces de p(x) en C .

(xiv) Si R es un DI  (dominio de integridad:= dominio connmutativo), los conceptos de divisibilidad, m´aximo com´un divisor, m´ınimo com´un m´ultiplo, elemento primo y elemento irreducible pueden entonces ser aplicados al dominio  R [x] . Cerramos esta secci´on con un par de ejemplos sobre irreducibilidad y ra´ıces. M´as adelante consideraremos estas tareas de manera sistem´atica.

Ejemplo 1.1.1.   La irreducibilidad de un polinomio es relativa al anillo de coefi-cientes. As´ı por ejemplo, el polinomio p(x) = 2 + 2x2 puede ser considerado como elemento de

Z

[x] ,

Q

[x] ,

R

[x] y

C

[x]. p(x) es reducible sobre

Z

: p(x) = 2(1 + x2_).

Veamos una prueba directa de la irreducibilidad sobre

Q

: sean m(x), n(x)

 _∈

Q

[x] tales que m(x)n(x) = 2 + 2x2_{, entonces gr(m(x)n(x)) = gr(m(x)) + gr(n(x)) = 2,}

luego gr(m(x))

 _≤

2 y gr(n(x))

 _≤

 2. Se presentan entonces tres casos, gr(m(x)) = 2, gr(n(x)) = 0 ´o gr(m(x)) = 0, gr(n(x)) = 2 ´o gr(m(x)) = 1 = gr(n(x)). En el primer caso se tiene que n(x) es constante no nulo. En el segundo caso se tiene que m(x) es constante no nulo. Veamos que el tercer caso no es posible: sean b

 _

= 0 y d

_

= 0 tales que m(x) = a+bx,n(x) = c+dx, entonces ac+(ad+bc)x+bdx2 _{= 2+2x}2_,

con lo cual ac = 2, ad + bc = 0, bd = 2, y de aqu´ı obtenemos acd + bc2 = 0, es decir, 2d + bc2 _{= 0, luego 2d}2 _+ bdc2 _{= 0 = 2d}2 _{+ 2c}2 _{= d}2 _+ c2_{. Resulta, d = c  = 0, una}

contradicci´on. De manera an´aloga se establece que p(x) es tambi´en irreducible sobre

R

. Finalmente, p(x) es reducible sobre

 C

: p(x) = 2(x + i)(x

₋

i).

Ejemplo 1.1.2. Calculemos todas las ra´ıces del polinomio x5_+3x3_+x2_+2x

∈

Z

5[x].

Sea a

_∈

Z

5 una ra´ız de p(x) = x5 + 3x3 + x2+ 2x, entonces a5+ 3a3+ a2 + 2a = 0.

Z

5 no tiene divisiones de cero, entonces  a = 0 o bien 3a2+ a + 3 = 0. As´ı pues, a = 0

o bien 5

_|

(3 + a + 3a2_{). Para la segunda opci´on ensayamos los valores a = 0, 1, 2, 3, 4}

y encontramos que solo a = 4 satisface la relaci´on de divisibilidad, por lo tanto, las ra´ıces de  p(x) son 0 y 4.

1.2. Polinomios sobre cuerpos

Posiblemente el resultado m´as importante de los polinomios en una variable sobre cuerpos es el teorema que afirma que si K  es un cuerpo entonces K  [x] es un DE  (dominio eucilidano), y en consecuencia, un DIP  (dominio de ideales principales) y un DF U   (dominio de factorizaci´on ´unica, conocido tambi´en como dominio de Gauss).

Teorema 1.2.1. Sea K un cuerpo y sea K  [x]  su anillo de polinomios. Entonces 

K  [x] es un DE .

Demostraci´ on. V´ease [10].

Notemos que si R  es un dominio euclidiano, entonces no necesariamente R[x] es un dominio euclidiano. En efecto, el contraejemplo cl´asico es

Z

[x]: si fuera euclidiano ser´ıa un DIP , pero el ideal

 _

2, x

_

 no es principal (v´ease [10]). Este mismo ejemplo muestra que si R es un DIP , entonces no siempre R[x] es un DIP . Sin embargo, m´as adelante mostraremos que si R es un DF U , entonces R[x] es un DF U  (v´ease tambi´en [10]). Este resultado se conoce como el teorema de Gauss.

Del teorema anterior se desprenden inmediatamente los siguientes resultados. Corolario 1.2.2. Sea K   un cuerpo. Entonces,

(i) K  [x] es un DIP  y un DF U .

(ii)  Cada par de polinomios no nulos f (x), g(x)  tienen un m´ aximo com´ un divisor 

(m.c.d.) d(x), el cual se puede expresar en la forma:

d(x) = f 



_{(x)f (x) + g}



_(x)g(x),

donde f 



_{(x), g}



_(x)

_∈

_K  [x].

(iii) Para cada polinomio no nulo f (x) se cumple que f (x) es irreducible si, y s´ olo si,

 _

f (x)

_

es maximal.

(iv) Si p(x)  es un polinomio irreducible de  K  [x], entonces para cualquiera poli-nomios f (x), g(x)

_∈

K  [x] se cumple 

(v) Cada par de polinomios no nulos  f (x), g(x) tienen un m´ınimo com´ un m´ ultiplo

(m.c.m.) m(x)  que satisface 

f (x)g(x) = m(x)d(x), con d(x) = m.c.d.(f (x), g(x)).

Demostraci´ on. Las afirmaciones del primer numeral se desprenden de las inclusiones generales DE 

 _⊂

DIP 

 _⊂

DF U  (ve´ase [10]). Las afirmaciones de los otros numerales son v´alidas en cualquier DIP . En realidad las propiedades (iv) y (v) son v´alidas en cualquier DF U . En efecto, la prueba de la afirmaci´on (iv) se puede consultar en [10]; veamos la demostraci´on de la propiedad (v). Sea R un DF U   y sean a, b dos elementos no nulos de R. Si a

 _∈

R

∗

_{, entonces d :=   m.c.d.(a, b) = a y m :=}

m.c.m.(a, b) = b. Una situaci´on similar se tiene si b

 _∈

R

∗

. Sean a, b no invertibles, entonces se tienen las descomposiciones irreducibles a = pr1

1

· · ·

 prnn, b = q  s1

1

· · ·

q tst;

si

 _{

 p1, . . . , pn

} ∩ {

q 1, . . . , q  t

}

=

 ∅

, entonces d = 1 y m = ab. Supongamos entonces

que

 _{

 p1, . . . , pn

} ∩ {

q 1, . . . , q  t

} 

=

∅

, podemos entonces asumir que

 {

 p1, . . . , pn

} ∩

{

q 1, . . . , q  t

}

=

 {

 p1, . . . , pu

}

, donde u   satisface 1

 ≤

u

 ≤

n, de tal forma que a =

 pr1 1

· · ·

 pruup ru+1 u+1

 · · ·

 prnn, b = p s1 1

· · ·

 psuuq  su+1

u+1

 · · ·

q stt . Entonces notemos que

d = pv1 1

· · ·

 pvuu , con vi := m´ın

{

ri, si

}

, 1

≤

i

≤

u, m = pz1 1

· · ·

 pzuup ru+1 u+1

 · · ·

 prnnq  su+1 u+1

 · · ·

q tst , con z i := m´ax

{

ri, si

}

, 1

≤

i

≤

u,

y se cumple que ab = dm ya que z i + vi = ri + si para cada 1

≤

i

≤

u.

Ejemplo 1.2.3.   En relaci´on con la propiedad (i) del corolario anterior, veamos que K [x, y] no es un DIP . En efecto, probemos que el ideal

 _

x, y

_

 no es principal. Supongamos lo contrario, es decir,

 _

x, y

_

=

 _

 p(x, y)

_

, para alg´un p(x, y)

 _∈

K [x, y]. Entonces x = q (x, y) p(x, y), pero como x es irreducible se tiene que q (x, y) = x y  p(x, y) = 1 ´o q (x, y) = 1 y p(x, y) = x. El primer caso es imposible ya que ya que



x, y

_

es propio. El segundo tambi´en es imposible ya que entonces y /

_{∈ }

 p(x, y)

_

. Este mismo razonamiento aplica al caso de varias variables.

Veamos ahora un par de propiedades relativas a ra´ıces.

Proposici´on 1.2.4.  Sean K   un cuerpo, a

_∈

K y f (x)

_∈

K  [x]. Entonces, (x

₋

a)

_|

f (x) si, y s´ olo si, f (a) = 0, e.d., si a es un cero de f (x).

Demostraci´ on.

_⇒

): f (x) = (x

₋

a)g(x) = 0, con g(x)

_∈

K  [x]. Utilizando el homo-morfismo evaluaci´on ϕa encontramos que f (a) = 0.

⇐

): Teniendo en cuenta que K [x] es euclidiano, existen p(x), r(x)

 _∈

 K  [x] tales que f (x) = (x

₋

a) p(x) + r(x), con gr(r(x)) = 0 ´o r(x) = 0. Si r(x) = 0 entonces se tiene que (x

₋

a)

 _|

f (x). Si r(x)

 _

= 0, entonces f (x) = (x

₋

a) p(x) + k, con k := r(x)

 _∈

K 

∗

_{. Aplicando nuevamente el homomorfismo evaluaci´on encontramos}

Proposici´on 1.2.5.  Sean  K   un cuerpo y f (x)  un polinomio no nulo de K  [x]. Entonces, f (x) tiene m´ aximo n ra´ıces en K , donde n = gr(f (x)).

Demostraci´ on. La prueba la realizamos por inducci´on sobre el grado n del polinomio f (x). Para n = 1, f (x) = ax + b, con a, b

 _∈

K . Si a = 0 y b

 _

= 0, entonces f (x) es un polinomio constante el cual no posee ra´ıces. Este caso se cumple trivialmente. Si a

_

= 0 entonces la ´unica ra´ız de f (x) es

−

b

a  y la proposici´on en este caso es tambi´en

v´alida.

Supongamos que la afirmaci´on es v´alida para todos los polinomios de K  [x] con grado < n. Sea f (x)

_∈

K  [x] con gr(f (x)) = n. Si f (x) no tiene ra´ıces en K  entonces la proposici´on se cumple trivialmente. Sean a1, . . . , ar, r   ra´ıces distintas

del polinomio f (x) que est´an en K , entonces f (x) = (x

 ₋

 a1)q (x). N´otese que

gr(q (x)) = n

₋

1 y q (x)

 _∈

K  [x], se tiene que f (a2) =(a2

−

a1)q (a2) = 0, f (a3) =

(a3

−

a1)q (a3) = 0, . . . , f  (ar) = (ar

−

a1)q (ar) = 0. Como K  no tiene divisiones de

cero, entonces a2, . . . , ar son ra´ıces distintas de q (x) las cuales est´an en K . Seg´un la

hip´otesis de inducci´on, r

₋

1

_≤

n

₋

1, de donde r

_≤

n.

Ejemplo 1.2.6. Veamos que el polinomio f (x) = x3_{+ 3x + 2}

∈

Z

5[x] es irreducible.

Si f (x) es reducible entonces existen q (x) y p(x) no constantes tales que f (x) =  p(x)q (x), por lo tanto gr( p(x)) = 1 o gr(q (x)) = 1. En otras palabras un factor lineal divide a f (x). De acuerdo con la proposici´on   1.2.4, f (a) = 0 para alg´un a

 _∈

Z

5, pero f (0)

 

= 0, f (1) = 1

 

= 0, f (2) = 1

 

= 0, f (3) = 1

 

= 0, f (4) = 3

 

= 0.

As´ı pues, f (x) es irreducible.

Ejemplo 1.2.7. Descompongamos en factores lineales el polinomio f (x) = x4_{+ 4}

∈

Z

5[x]. Notemos que f (x) = x4

−

1 = (x

−

1)(x3 + x2 + x + 1)

 ∈

Z

5 [x]. Con el

polinomio g(x) = x3 + x2 + x + 1 podemos proceder como en el ejemplo anterior: g(0)

_

= 0, g(1) = 4

_

= 0, g(2) = 0, luego f (x) = (x

 ₋

 1)(x

 ₋

 2)(x2 _{+ 3x + 2),}

donde el polinomio x2+ 3x + 2 resulta al dividir g(x) entre x

₋

2 (v´ease la secci´on siguiente donde trataremos el algoritmo de la divisi´on). En total se tiene que f (x) = (x

₋

1)(x

₋

2)(x + 2)(x + 1).

1.3. Algoritmos de la divisi´

on y Euclides en

K [x]

En esta secci´on daremos una mirada constructiva al ´algebra de los polinomios K [x], con K   un cuerpo arbitrario. Este enfoque nos permitir´a construir procedimientos (algoritmos) para calcular el m´aximo com´un divisor de dos o m´as polinomios y tambi´en para expresar ´este como combinaci´on de los polinomios dados.

Para 0

_

= f (x)

_∈

K [x] recordemos que el grado de f (x) , denotado por gr(f (x)), es el mayor exponente de x que aparece en  f (x). El t´ermino principal  de f (x) , denotado por lt(f (x)), es el t´ermino de f (x) con mayor grado. El coeficiente princi-pal de f (x), denotado por lc((x)f ), es el coeficiente del t´ermino principrinci-pal de f (x).

As´ı pues, si f (x) = anxn+ an

₋

1xn

−

1+

· · ·

+ a1x + a0, donde a0, . . . , an

 ∈

K  y an

 

= 0,

entonces gr(f (x)) = n, lt(f (x)) =  anxn y lc(f (x)) =  an.

La principal herramienta en el algoritmo de Euclides para calcular el m´aximo com´un divisor de dos o m´as polinomios es el algoritmo de la divisi´on (tambi´en conocido como divisi´on larga de polinomios), el cual ilustraremos inicialmente con el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.3.1. Sean f (x) = x3

−

2x2_{+ 2x + 8 y g(x) = 2x}2_{+ 3x +1 polinomios en}

Q

[x]. Dividimos f (x) por g(x) para obtener el cociente 1₂x

₋

7₄ y el res´ıduo 27₄ x + 39₄ , de la siguiente manera: x3

₋

2x2 + 2x + 8 2x2 + 3x + 1

−

x3

−

32x2

−

1 2x 1 2x

−

7 4

−

72x2 + 3 2x + 8 7 2x 2₊ 21 4 x + 7 4 27 4 x + 39 4

Se tiene entonces que f (x) =



1₂x

₋

7₄



g(x) +



27₄ x + 39₄



.

Vamos a analizar los pasos de la divisi´on anterior. Primero multiplicamos g(x) por 1

2x y restamos el producto resultante de f (x). La idea fue multiplicar g(x) por

un t´ermino apropiado, precisamente por 1₂x, tal que el t´ermino principal de g(x) tantas veces este t´ermino cancele el t´ermino principal de f (x). Despu´es de esta cancelaci´on obtenemos el primer res´ıduo h(x) = f (x)

₋

1₂xg(x) =

 ₋

7₂x2 ₊ 3

2x + 8.

En general, si tenemos dos polinomios f (x) = anxn + an

₋

1xn

−

1 +

· · ·

+ a1x + a0

y g(x) = bmxm + bm

₋

1xm

−

1 +

· · ·

+ b1x + b0, con n = gr((x)f )

 ≥

m = gr(g(x)),

entonces el primer paso en la divisi´on de f (x) por g(x) es restar de f (x) el producto

an

bmx

n

₋

m_{g(x). Usando la notaci´on introducida anteriormente, notamos que el factor}

de g(x) en este producto es lt(_lt(f _g(₍x_x))₎₎g(x) y as´ı obtenemos h(x) = f (x)

₋

lt(_lt(f _g((_xx₎₎))g(x) como res´ıduo. Llamaremos a h(x)  una reducci´ on de f (x) por g(x) y el proceso de calcular h(x) es denotado por

f (x) g(x)

−−→

h(x).

Volvamos al ejemplo 1.3.1; despu´es de la cancelaci´on repetimos el proceso para h(x) =

₋

7₂x2₊3 2x+8 restando lt(h(x)) lt(g(x))g(x) =

−

7 2x2

−

21 4 x

−

7 4 de h(x), y obteniendo el

segundo (y en este ejemplo el ´ultimo) res´ıduo r(x) = 27₄ x + 39₄ . Esto puede escribirse usando nuestra notaci´on de reducci´on como

f (x) g(x)

−−→

h(x) g(x)

−−→

r(x)

f (x) g(x)

−−→

+ r(x)

N´otese que en la reducci´on f (x) g(x)

−−→

h(x), el grado de h(x) es estrictamente

menor que el grado de f (x). Cuando se continua el proceso el grado permanece bajando hasta que es menor que el grado de g(x). De esta forma obtenemos una prueba constructiva del teorema  1.2.1.

Proposici´on 1.3.2. Sea g(x)  un polinomio no nulo en K [x]. Entonces para cada 

f (x)

_∈

K [x] existen q (x) y r(x) en K [x] tales que 

f (x) = q (x)g(x) + r(x), con r(x) = 0 ´ o gr(r(x)) < gr(g(x)).

Adem´ as, q (x) y r(x) son ´ unicos (q (x) es llamado el   cociente y r(x) el  res´ıduo). Demostraci´ on. Podemos suponer que f  (x)

_

= 0 ya que de lo contrario tomamos

0 = 0g(x) + 0. Sean entonces f  (x) , g (x)

_∈

K [x] no nulos, digamos

f  (x) = anxn + an

₋

1xn

−

1+

· · ·

+ a1 + a0,

g (x) = bmxm+ bm

₋

1xm

−

1+

· · ·

+ b1 + b0.

Podemos suponer que n

_≥

m ya que de lo contrario se tiene f  (x) = 0g (x) + f  (x) .

Consideremos para cada polinomio de K [x] su t´ermino principal, as´ı por ejemplo, lt (f  (x)) = anxn y lt (g (x)) = bmxm. La divisi´on de polinomios, tal como vimos en

el ejemplo 1.3.1, implica realizar las siguientes operaciones f  (x)

₋

 lt (f  (x))

lt (g (x))g (x) = r1 (x) .

Si r1 (x) = 0 ´o gr (r1 (x)) < g (x), entonces hemos terminado ya que tomamos q (x) = lt(f (x))

lt(g(x)) y r(x) = r1 (x) . Supongamos entonces que r1 (x)

 

= 0 y gr (r1 (x))

 ≥

g (x),

repetimos el anterior procedimiento para r1 (x) y g (x):

r1 (x)

−

 lt (r1 (x))

lt (g (x)) g (x) = r2 (x) .

Esto puede escribirse usando nuestra notaci´on de reducci´on como f (x) g(x)

Si r2 (x) = 0 ´o gr (r2 (x)) < g (x), entonces hemos terminado ya que se tiene f  (x) = r1 (x) +  lt (f  (x)) lt (g (x))g (x) = lt (r1 (x)) lt (g (x)) g (x) +  lt (f  (x)) lt (g (x))g (x) + r2 (x) = q (x) g (x) + r2 (x) , donde q (x) := lt(r1(x)) lt(g(x)) + lt(f (x))

lt(g(x)). Supongamos entonces que r2 (x)



= 0 y gr (r2 (x))

≥

g (x), repetimos el anterior procedimiento para  r2 (x) y g (x); pero notemos que este

procedimiento termina ya que

gr (f  (x)) > gr (r1 (x)) > gr (r2 (x)) >

· · ·

Esta prueba adem´as indica como construir el cociente q (x) y el res´ıduo r (x): para calcular el nuevo cociente q N  (x), al ´ultimo cociente le adicionamos lt(_lt(r_gO₍(_xx₎₎)) , donde

rO(x) es el ´ultimo res´ıduo, es decir,

q N (x) = q O(x) + lt(_lt(r_gO₍(_xx₎₎)).

Para calcular el nuevo res´ıduo rN (x), al ´ultimo res´ıduo le restamos lt(_lt(r_gO₍(_xx₎₎))g (x), es

decir,

rN (x) = rO(x)

−

lt(_lt(r_gO_(x(x₎₎))g (x).

Finalmente, observemos que el algoritmo anterior sugiere que el cociente y el res´ıduo son ´unicos: sean c(x) y s (x) polinomios que cumplen las mismas condiciones de q (x) y r(x), entonces q (x) g (x) + r (x) = c (x) g (x) + s (x), luego [q (x)

₋

c (x)] g (x) = r (x)

₋

s (x), por el grado se tiene que [q (x)

₋

c (x)] g (x) = r (x)

₋

s (x) = 0, de donde r (x) = s (x) y q (x) = c (x).

N´otese que la prueba anterior da un algoritmo para calcular q (x) y r(x). Este algoritmo es conocido como el  algoritmo de la divisi´ on :

ENTRADA: f (x), g(x)

_∈

K [x] con g(x)

_

= 0

SALIDA: q (x), r(x) tales que f (x) = q (x)g(x) + r(x) y r(x) = 0 ´o gr(r(x)) < gr(g(x))

INICIO: q (x) := 0 ; r(x) := f (x)

MIENTRAS r(x)

_

= 0  Y gr(g(x))

_≤

gr(r(x)) HAGA q (x) := q (x) + lt_lt(₍r_g(₍x_x))₎₎

r(x) := r(x)

₋

lt_lt(₍r_g(₍x_x))₎₎g(x)

Los pasos en en ciclo  MIENTRAS del algoritmo corresponden al proceso de reducci´on mencionado. El ciclo se ejecuta hasta que el polinomio r(x) en el algoritmo satisface r(x) = 0 ´o tiene grado estrictamente menor que el grado de g(x). Como mencionamos antes esto es denotado por

f (x) g(x)

−−→

+ r(x).

Ejemplo 1.3.3. Vamos a repetir el ejemplo  1.3.1 usando el algoritmo de la divisi´on. INICIO: q (x) := 0, r(x) := f (x) = x3

−

2x2_{+ 2x + 8.}

Pasamos a trav´es del ciclo MIENTRAS: q (x) := 0+ ₂x_x32 = 1₂x

r(x) := x3

−

2x2 _{+ 2x + 8}

−

x3

2x2 (2x2 + 3x + 1) =

−

7₂x2 + 3₂x + 8. Pasamos a trav´es del ciclo MIENTRAS:

q (x) := 1₂x +

 −

72x2

2x2 = 1₂x

−

7₄ r(x) :=



₋

7₂x2 + ₂3x + 8



₋

 −

72x2

2x2 (2x2+ 3x + 1) = 27₄ x + 39₄ .

El ciclo MIENTRAS se detiene ya que gr(r(x)) = 1 <  2 = gr(g(x)). Obtene-mos el cociente q (x) y el res´ıduo r(x) como en el ejemplo1.3.1.

Con el algoritmo de la divisi´on podemos dar una prueba constructiva de que K [x] es un DIP  (v´ease el corolario 1.2.2).

Proposici´on 1.3.4. Cada ideal de K [x]  es principal.

Demostraci´ on. Sea I   un ideal no nulo de K [x] y g(x)

_∈

I   tal que g(x)

_

= 0 y n = gr(g(x)) es m´ınimo. Para cualquier f (x)

_∈

I  tenemos, por la proposici´on 1.3.2, que f (x) = q (x)g(x) + r(x) para algunos polinomios q (x), r(x)

_∈

K [x], con r(x) = 0 ´o gr(r(x)) < gr(g(x)) = n. Si r(x)

_

= 0, entonces r(x) = f (x)

₋

q (x)g(x)

_∈

I , y esto contradice la escogencia de g(x). Entonces r(x) = 0, f (x) = q (x)g(x) y por lo tanto I 

 _{⊆ }

g(x)

_

. La igualdad se sigue del hecho que g(x) est´a en I .

Basados en al algoritmo de la divisi´on, pasamos ahora a estudiar el algoritmo de Euclides el cual permite calcular el m´aximo com´un divisor de dos o m´as polinomios. Veamos primero c´omo calcular el polinomio g  de la demostraci´on de la proposici´on 1.3.4. Para comenzar nos concentraremos en ideales I 

_⊆

K [x] generados por dos polinomios no nulos, digamos, I  =

_

f 1(x), f 2(x)



. Recordemos que el m´aximo com´un

divisor de f 1(x) y f 2(x), denotado por m.c.d.(f 1(x), f 2(x)), es un polinomio g(x) tal

que g(x) divide a f 1(x) y f 2(x); si h(x)

∈

K [x] divide a f 1(x) y f 2(x), entonces h(x)

divide a g(x); y adem´as asumiremos que lc(g(x)) = 1, es decir,  g(x) es m´onico. Proposici´on 1.3.5.  Sean  f 1(x), f 2(x)

∈

K [x]  polinomios no nulos. Entonces, el 

Demostraci´ on. Por la proposici´on 1.3.4 existe g(x)

 _∈

 K [x] tal que

 _

f 1(x), f 2(x)



=



g(x)

_

. Ya que g(x) es ´unico salvo una constante no nula, podemos asumir que lc(g(x)) = 1. Veamos que g(x) = m.c.d.( f 1(x), f 2(x)). Ya que f 1(x), f 2(x)

∈ 

g(x)



,

g(x) divide tanto a f 1(x) como a f 2(x). Sea h(x) tal que h(x) divide a f 1(x) y

f 2(x). Ya que g(x) est´a en el ideal

 

f 1(x), f 2(x)



, existen u1(x), u2(x)

 ∈

K [x] tal

que g(x) = u1(x)f 1(x) + u2(x)f 2(x).  De esta forma h(x) divide a g(x), y hemos

terminado.

Como consecuencia de lo anterior, si tenemos un algoritmo para calcular el m´axi-mo com´un divisor, entonces podemos realmente encontrar un generador para el ideal



f 1(x), f 2(x)



. El algoritmo para calcular el m´aximo com´un divisor es el algoritmo de

Euclides. Este algoritmo depende del algoritmo de la divisi´on y del siguiente hecho. Proposici´on 1.3.6.  Sean f 1(x), f 2(x)

∈

K [x]  polinomios no nulos. Entonces,

m.c.d.(f 1(x), f 2(x)) = m.c.d.(f 1(x)

−

q (x)f 2(x), f 2(x)),

para cada q (x)

_∈

K [x].

Demostraci´ on. Es f´acil ver que

_

f 1(x), f 2(x)



=



f 1(x)

−

q (x)f 2(x), f 2(x)



. Entonces,

por la proposici´on anterior,

_

m.c.d.( f 1(x), f 2(x))



=



f 1(x), f 2(x)



=



f 1(x)

 −

q (x)f 2(x), f 2(x)



=

 

m.c.d.(f 1(x)

−

q (x)f 2(x), f 2(x))



.   Ya que el generador de un

ideal principal es ´unico, salvo una constante invertible, y ya que el  m.c.d. de dos polinomios tiene coeficiente principal igual a 1, entonces   m.c.d.(f 1(x), f 2(x)) =

m.c.d.(f 1(x)

−

q (x)f 2(x), f 2(x)).

Se tiene entonces el algoritmo de Euclides para el c´alculo del m.c.d.: ENTRADA: f 1(x), f 2(x)

∈

K [x], polinomios no nulos

SALIDA: f (x) = m.c.d.(f 1(x), f 2(x))

INICIO: f (x) := f 1(x), g := f 2(x)

MIENTRAS g(x)

_

= 0 HAGA f (x) g(x)

−−→

+ r(x), donde r(x) es el res´ıduo de la divisi´on de f (x) por g(x)

f (x) := g(x) g(x) := r(x) f (x) := _lc(f 1_(x))f (x)

Algoritmo 1.3.2: Algoritmo de Euclides

Observemos que el algoritmo termina ya que el grado de r(x) en el ciclo  MIEN-TRAS es estrictamente menor que el grado de g(x), el cual es el inmediatamente anterior r(x), y por lo tanto, el grado de  r(x) es estrictamente decreciente a medida que el algoritmo avanza. Adem´as, el algoritmo da el m.c.d.(f 1(x), f 2(x)) como dato de

se tiene que  m.c.d.(f 1(x), f 2(x)) = m.c.d.(f (x), g(x)) = m.c.d.(r(x), g(x)), siempre

que g(x)

 _

= 0. Cuando g(x) = 0 entonces  m.c.d.(f 1(x), f 2(x)) =  m.c.d.(f (x), 0) = 1

lc(f (x))f (x). El ´ultimo paso en el algoritmo asegura que el resultado final tiene

coe-ficiente principal 1, es decir, es m´onico.

Para ilustrar el algoritmo consideremos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.3.7.  Sean f 1(x) = x3

−

3x + 2 y f 2(x) = x2

−

1 polinomios en

 Q

[x].

INICIO:f (x) = x3

−

3x + 2, g(x) = x2

−

1. Pasamos a trav´es del ciclo MIENTRAS: x3

₋

3x + 2 x2

₋

1

−−−→

−

2x + 2

f (x) := x2

−

1 g(x) :=

₋

2x + 2.

Pasamos a trav´es del ciclo MIENTRAS: x2

−

1

₋

2x + 2

−−−−−→

x

−

1

−

−−−−−→

2x + 2 0

f (x) :=

₋

2x + 2 g(x) := 0.

El ciclo MIENTRAS se detiene f (x) = _lc(f 1_(x))f (x) = x

₋

1.

Entonces m.c.d.(f 1(x), f 2(x)) =  x

−

1.

Retornamos nuestra atenci´on al caso de ideales generados por m´as de dos poli-nomios no nulos, I  =

_

f 1(x), . . . , f  s(x)



.

Proposici´on 1.3.8.  Sean f 1(x), . . . , f  s(x) polinomios no nulos de K [x].

(i)

_

f 1(x), . . . , f  s(x)



=



m.c.d.(f 1(x), . . . , f  s(x))



.

(ii) Si s

_≥

3, entonces 

m.c.d.(f 1(x), . . . , f  s(x)) =  m.c.d.(f 1(x), m.c.d.(f 2(x), . . . , f  s(x)).

Demostraci´ on. La prueba de la parte (i) es similar a la demostraci´on de la proposi-ci´on   1.3.5. Para probar la parte (ii), sea h(x) :=   m.c.d. (f 2(x), . . . , , f  s(x)).

En-tonces, por (i),

_

f 2(x), . . . , f  s(x)



=



h(x)



,   y por lo tanto,



f 1(x), . . . , f  s(x)



=



f 1(x), h(x)



.  Nuevamente por (i),  m.c.d.(f 1(x), . . . , f  s(x)) = m.c.d.(f 1(x), h(x)) =

m.c.d.(f 1(x), m.c.d.(f 2(x), . . . , , f  s(x)), como se hab´ıa anunciado.

Con las ideas constructivas desarrolladas en esta secci´on podemos ahora resolver algunos problemas sencillos, pero interesantes, relacionados con polinomios en una variable con coeficientes en un cuerpo. Esto lo haremos a trav´es de los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1.3.9.   Sean f 1(x), . . . , f  s(x)

 ∈

K [x] polinomios no nulos. Queremos

en-contrar el conjunto soluci´on en K  del sistema simult´aneo f i(x) = 0, 1

≤

i

≤

0. Para

resolver este problema podemos razonar al menos de dos maneras: una forma es cal-culando las ra´ıces en K  de cada f i(x) y luego realizar la intersecci´on de los conjunto

soluci´on encontrados. La otra forma es calcular f (x) :=   m.c.d.(f 1(x), . . . , f  s(x))

mediante el algoritmo de Euclides y luego encontrar las ra´ıces en K  de f (x). La  justificaci´on de este segundo m´etodo la da la proposici´on 1.3.8. Veamos un ejemplo

concreto. Resolvamos el sistema simult´aneo real

x6

₋

1 = 0, x4 + 2x3 + 2x2

₋

2x

₋

3 = 0.

Aplicamos el algoritmo de Euclides al par de polinomios dados para calcular el m´aximo com´un divisor f (x) (podemos obviar la terminolog´ıa propia del algoritmo):

x6

₋

1 x4+ 2x3+ 2x2

₋

2x

₋

3 2x3

−

5x2

−

2x + 5 x2

−

2x + 2 x4 _{+ 2x}3 _{+ 2x}2

−

2x

₋

3 2x3

−

5x2

−

2x + 5 57 4 x 2

−

574 1 2x + 9 4 2x3

−

5x2

−

2x + 5 57₄ x2

−

574 0 ₅₇8 x

₋

20₅₇ f (x) = ₅₇4



57₄ x2

−

574



 = x2

−

1

Por lo tanto, las solciones del sistema dado son  x =

_±

1.

Ejemplo 1.3.10. Otro problema interesante es decidir si un polinomio f (x) est´a en el ideal generado por un conjunto finito de polinomios dados, I  =

_

f 1(x), . . . , f  s(x)



.

Para esto primero calculamos g(x) := m.c.d.(f 1(x), . . . , f  s(x)), luego usamos el

al-goritmo de la divisi´on para dividir f (x) por g(x). El res´ıduo de la divisi´on es cero si, y s´olo si, f (x) est´a en el ideal I  =

 _

f 1(x), . . . , f  s(x)



=

 

g(x)



. Usando la notaci´on

de reducci´on se tiene que

f (x)

_∈

I  =

_

g(x)

_

 si, y s´olo si, f (x) g(x)

−−→

+ 0.

Veamos un ejemplo ilustrativo. ¿El polinomio f (x) = x5 _+ x3 _+ x2

−

 7

_∈

I  =



x6

₋

1, x4 _{+ 2x}3 _{+ 2x}2

−

2x

₋

3

_

? La misma pregunta para g(x) = x4 _{+ 2x}2

−

3. Seg´un el ejemplo 1.3.9, m.c.d.(x6

−

1, x4 _{+ 2x}3 _{+ 2x}2

−

2x

₋

3) = x2

−

1, y con el algoritmo de la divisi´on encontramos que el res´ıduo de dividir f (x) entre x2

₋

1 es 2x

₋

6, por lo tanto, f (x) /

_∈

I . En cambio, la divis´on de g(x) entre x2

−

1 tiene como residuo 0, es decir, g(x)

_∈

I .

Ejemplo 1.3.11. Sea I  un ideal del anillo K [x], queremos calcular una base para el K -espacio cociente K [x]/I . Si I  = 0, entonces una base de K [x] es

_{

1, x , x2_{, x}3_{, . . .}

}

. Sea I   no nulo; entonces I  es principal, I  =

 _

g(x)

_

, con g(x) = xn _+ a

n

₋

1xn

−

1 +

· · ·

+ a1x + a0

 

= 0 (siempre podemos tomar el generador de I  m´onico). Notemos

entonces que X  :=

 _{

xn

₋

1_{, x}n

₋

2_{, . . . , x , 1}

}

 es una base de K [x]/I . En efecto, dado f (x)

 _∈

K [x] dividimos f (x) entre g(x) y encontramos q (x), r(x)

 _∈

K [x] tales que f (x) = g(x)q (x) + r(x), con r(x) = 0 ´o gr(r(x)) < gr(g(x)). Pasando al cociente encontramos que cada elemento f (x) de K [x]/I  es una K -combinaci´on lineal de los elementos de X . Sean bn

₋

1, bn

₋

2, . . . , b1, b0

 ∈

K  tales que bn

₋

1xn

−

1+ bn

₋

2xn

−

2+

· · ·

+

b1x + b0 = 0, entonces bn

₋

1xn

−

1+ bn

₋

2xn

−

2+

· · ·

+ b1x + b0

 ∈ 

g



, pero gr(g(x)) =  n,

entonces todos los coeficientes bn

₋

1, bn

₋

2, . . . , b1, b0 son necesariamente nulos.

Ejemplo 1.3.12. Sea p un entero irreducible, veamos que si f (x) = p0+ p1x +

· · ·

+

xn _{es un polinomio irreducible de}

_Z

 p [x] de grado n, entonces

Z

 p [x] /



f (x)



 es un

cuerpo de pn _{elementos: puesto que f (x) es irreducible, entonces}



f (x)

_

es maximal, con lo cual

Z

 p [x] /



f (x)



  es un cuerpo (v´ease [10]). Como vimos en el ejemplo

anterior,

Z

 p [x] /



f (x)



 es un

 Z

 p-espacio de dimensi´on n, es decir,

 Z

 p [x] /



f (x)

 ∼

=

Z

n

 p, con lo cual el n´umero de elementos de este espacio es  pn. Este resultado se puede

extender a cualquier cuerpo finito K  de q  elementos de tal forma que en este caso

|

K [x]/

_

f (x)

_|

= q n_.

Ejemplo 1.3.13.  Terminamos esta secci´on con un algoritmo que calcula no solo el m.c.d. sino los polinomios coeficientes en la expansi´on del m.c.d. de dos polinomios como combinaci´on de ´estos (v´ease la proposici´on 1.3.5).

ENTRADA_{: f 1(x), f 2(x)}

_∈

_{K [x] polinomios no nulos} SALIDA_{: f (x) = m.c.d.(f 1(x), f 2(x)), u1(x), u2(x)}

_∈

_K [x]

tales que f (x) = u1(x)f 1(x) + u2(x)f 2(x)

INICIO_{: f (x) := f 1(x), g(x) := f 2(x), u1(x) := 1, u2(x) := 0,}

v1(x) := 0, v2(x) := 1, w(x) = 1, z(x) = 0 MIENTRAS_g(x)

_

_{= 0} HAGA

f (x) g(x)

−−→

+ r(x), donde r(x) es el residuo de la divisi´on de f (x) por g(x)

f (x) := g(x) , g(x) := r(x)

w(x) := u1(x)

−

q (x)v1(x), donde q (x) es el cociente de la divisi´on de f (x) por g(x)

z(x) := u2(x)

−

q (x)v2(x)

u1(x) := v1(x), u2(x) := v2(x), v1(x) = w(x), v2(x) = z(x)

f (x) := _lc(f 1_(x))f (x)

u1(x) := _lc(f 1_(x))u1(x)

u2(x) := _lc(f 1_(x))u2(x)

Algoritmo 1.3.3: Algoritmo de Euclides con coeficientes Vamos a aplicar este algoritmo a los polinomios del ejemplo 1.3.9:

ENTRADA: f 1(x) = x6

−

1, f 2(x) = x4 + 2x3 + 2x2

−

2x

−

3

INICIO: f (x) := x6

−

1, g(x) := x4_+2x3_+2x2

−

2x

₋

3, u1(x) = 1, u2(x) = 0,

Primer paso por el ciclo MIENTRAS: x6

−

1 x4_{+ 2x}3_{+ 2x}2

−

2x

₋

3 2x3

−

5x2

−

2x + 5 x2

₋

2x + 2 x6

₋

1 x4 + 2x3+ 2x2

₋

2x

₋

3

−−−−−−−−−−−−−−−−−→

2x 3

−

5x2

₋

2x + 5 f (x) := x4+ 2x3+ 2x2

₋

2x

₋

3 g(x) := 2x3

₋

5x2

₋

2x + 5 w(x) := 1

₋

(x2

₋

2x + 2)(0) = 1 z (x) := 0

₋

(x2

₋

2x + 2)(1) =

₋

x2 + 2x

₋

2 u1(x) := 0 u2(x) := 1 v1(x) := 1 v2(x) :=

−

x2+ 2x

−

2.

Segundo paso por el ciclo MIENTRAS: x4 _{+ 2x}3 _{+ 2x}2

−

2x

₋

3 2x3

−

5x2

−

2x + 5

−

574 + 57 4 x2 1 2x + 9 4 x4 + 2x3 + 2x2

₋

2x

₋

3 2x3

₋

5x2

₋

2x + 5

−−−−−−−−−−−−−→

−

 57 4 +  57 4 x 2 f (x) := 2x3

₋

5x2

₋

2x + 5 g(x) :=

₋

57 4 +  57 4 x 2 w(x) := 0

₋

(1 2x +  9 4)(1) =

−

1 2x

−

9 4 z (x) := 1

₋

(1 2x +  9 4)(

−

x 2_{+ 2x}

−

2) = 1 2x 3 ₊ 5 4x 2

−

 7₂x + 11 2 u1(x) := 1 u2(x) :=

−

x2 + 2x

−

2 v1(x) =

−

1 2x

−

 9 4 v2(x) = 1 2x 3 ₊ 5 4x 2

−

 7₂x + 11 2 .

Tercer paso por el ciclo MIENTRAS: 2x3

−

5x2

−

2x + 5

₋

57₄ + 57₄ x2 0 8 57x

−

20 57 2x3

₋

5x2

₋

2x + 5

₋

57 4 +  57 4 x 2

−−−−−−−−→

0 f (x) :=

₋

57 4 +  57 4 x 2 g(x) := 0 w(x) = 1

₋



8 57x

−

 20 57

 

−

1₂x

₋

 9 4



₌ 8 57x + 4 57x 2 ₊ 4 19 z (x) =



₋

x2+ 2x

₋

2



₋



8 57x

−

 20 57



1 2x 3 ₊ 5 4x 2

−

 7₂x + 11 2



 ₌

−

₅₇4 x2

₋

4 57x 4

−

₅₇4 u1(x) :=

−

1 2x

−

 9 4 u2(x) := 1 2x 3₊ 5 4x 2

−

 7₂x + 11 2 v1(x) = 8 57x + 4 57x 2₊ 4 19 v2(x) =

−

4 57x 2

−

₅₇4 x4

₋

4 57. El ciclo MIENTRAS se detiene y:

f (x) := 1 lc(f ) f  = 4 57 f  = x 2

−

1 u1(x) := 1 lc(f )u1 = 4 57(

−

1 2x

−

 9 4) =

−

2 57x

−

3 19 u2(x) := 1 lc(f )u2 = 4 57( 1 2x 3 ₊ 5 4x 2

−

 7₂x + 11 2 ) = 2 57x 3₊ 5 57x 2

−

 14₅₇x + 22 57. Por tanto, m.c.d.(f 1(x), f 2(x)) = x2

−

1 = (

₋

₅₇2 x

₋

₁₉3 )(x6

−

1) + (₅₇2x3₊ 5 57x2

−

14 57x+ 22 57)(x4+ 2x3 + 2x2

−

2x

−

3).

Podemos complementar este ejemplo y expresar  h(x) := x4 + 2x2

₋

3 como combi-naci´on lineal de f 1(x) y f 2(x). En primer notemos que h(x) est´a en el ideal

gene-rado por f 1(x) y f 2(x): en efecto, con el algoritmo de la divisi´on encontramos que

h(x) = (x2

₋

1)(x2 + 3), por lo tanto,

h(x) = u1(x)(x2 + 3)(x6

−

1) + u2(x)(x2+ 3)(x4+ 2x3 + 2x2

−

2x

−

3).

1.4. Teorema de Gauss

En esta secci´on probaremos el siguiente teorema debido a Gauss: Sea R un DF U . Entonces, R [x] es un  DF U . La prueba de este resultado requiere de algunas defini-ciones y afirmadefini-ciones preliminares (una demostraci´on diferente usando localizadefini-ciones de anillos conmutativos por sistemas multiplicativos puede ser consultada en [10]). Definici´on 1.4.1. Sea  R un  DF U  y sea  f (x) = p0 + p1x +

· · ·

+ pnxn un polinomio

no nulo de R [x]. Se denomina  contenido  del polinomio f (x) al  m.c.d. de sus coe- ficientes y se denota por c(f (x)), c(f (x)) := m.c.d.

_{

 p0, p1, . . . , pn

}

. Se dice adem´ as 

que f (x) es un  polinomio primitivo si c(f (x)) = 1.

Ejemplo 1.4.2. Sean f (x) = 8 +3x + 4x2 _{y g(x) = 30}

−

12x + 6x2

∈

Z

[x], entonces c(f (x)) = 1 y c(g(x)) = 2. Obs´ervese que  f (x) es primitivo pero g(x) no lo es. Para el caso cuando R = F  es un cuerpo, el concepto de contenido y polinomio primitivo pierden sentido ya que el contenido de cada polinomio no nulo es 1.

Proposici´on 1.4.3.  Sean R un DF U y a1, . . . , an

 ∈

R.

(i) Si  d :=   m.c.d.(a1, . . . , an) y  ai = da



i, con a



i

∈

R, 1

≤

i

≤

n, entonces 

m.c.d.(a



₁, . . . , a



n) = 1.

(ii)  Para cada c

_∈

R

_{− {}

0

_}

, m.c.d.(ca1, . . . , c an) = cd.

Demostraci´ on.  (i) Sea e := m.c.d.(a



_{0, a}



_{1, . . . , a}



_{n), entonces a}



_{i = ea}



_{i, para cada i,}

por lo tanto, dea



_{i = ai, es decir, de divide a cada ai, luego de divide a d, con lo cual}

d = deb, de donde e

_∈

R

∗

 _{y as´ı 1 = ee}

−

1 _{es tambi´en  m.c.d. de  a}

_

0, a



1, . . . , a



n.

(ii) Sea r  := m.c.d.(ca1, . . . , c an), entonces para cada i, cai = rq i; adem´as, cai =

cda



_{i, luego cd divide a cada cai, con lo cual cd}

_|

_{r, es decir, r = cds, y por lo tanto}

cai =  cdsq i, es decir, ai = dsq i y de esta manera ds divide a cada ai, es decir, ds

|

d.

Resulta de aqu´ı que s

_∈

R

∗

 _{con lo cual cd  es tambi´en m´aximo com´un divisor de los}

elementos  ca1, . . . , c an.

(i)  Cada polinomio no nulo f (x) de R [x]  se puede expresar en la forma f (x) = cf 1(x), donde c := c(f (x)) y f 1(x) es un polinomio primitivo. Si f (x)  tiene 

otra descomposici´ on en la forma f (x) = df 2(x), con d

∈

R y f 2(x)  primitivo,

entonces c y d son asociados lo mismo que f 1(x) y f 2(x).

(ii) El producto de polinomios primitivos es primitivo.

(iii) El contenido de un producto de polinomios no nulos es igual al producto de los  contenidos, salvo asociados.

Demostraci´ on.  (i) Sea f (x) = a0 + a1x +

· · ·

+ anxn, entonces f 1(x) = a



0 + a



1x +

· · ·

+ a



_nxn_{, con ca}

_

i = ai, 0

 ≤

i

 ≤

n. Seg´un la parte (i) de la proposici´on anterior

m.c.d.(a



_{0, a}



_{1, . . . , a}



_{n) = 1.}

Veamos ahora la unicidad: sea f (x) = cf 1(x) = df 2(x), con f 2(x) = b



0+b



1x+

· · ·

+

b



_nxn _{primitivo; entonces m.c.d.(ca}

_

0, . . . , c a



n) = m.c.d.(db



0, . . . , d b



n)u, con u

 ∈

R

∗

,

luego por la parte (ii) de la proposici´on anterior, c = du, con u

 _∈

R

∗

, de donde f 2(x) = uf 1(x).

(ii) Sean f (x) = a0 + a1x +

· · ·

+ anxn, g(x) = b0 + b1x +

· · ·

+ bmxm polinomios

primitivos de R[x] y sea p(x) := f (x)g(x). Sea q  un irreducible de R, entonces q  no divide todos los coeficientes ai de f (x) ni tampoco todos los coeficientes q  j de g(x);

sea ar el primer coeficiente de f (x) que q  no divide y bs el primero de g(x) que q  no

divide. Notemos que el coeficiente de  xr+s _{en p(x) es p}

r+s = a0br+s+

· · ·

+ ar

₋

1bs+1+

arbs+ ar+1bs

₋

1+

· · ·

+ ar+sb0, por lo tanto q  no divide pr+s. As´ı pues, dado cualquier

irreducible q 

 _∈

R alg´un coeficiente de p(x) no es divisible por q , es decir, p(x) es primitivo. Para tres o m´as polinomios, el resultado se obtiene por recurrencia.

(iii) Sea p(x) = f (x)g(x), donde f (x) y g(x) son polinomios no nulos de R [x]. Seg´un (i), p(x) = c( p(x)) p1(x), f (x) = c(f (x))f 1(x), g(x) = c(g(x))g1(x), donde

 p1(x), f 1(x), g1(x) son primitivos, por lo tanto

c( p(x)) p1(x) = c(f (x))c(g(x))f 1(x)g1(x).

Seg´un (ii), f 1(x)g1(x) es primitivo, luego por la unicidad de (i) se tiene que c( p(x))

coincide con c(f (x))c(g(x)), salvo asociados. Para tres o m´as polinomios, el resultado se obtiene por recurrencia.

Sea R un DI  y sea F  su cuerpo de fracciones (v´ease [10]). La funci´on R [x]

_−→

F  [x]  p0 + p1x +

· · ·

+ pnxn

→

p0 1 +  p1 1 x +

· · ·

+  pn 1 x n

es un homomorfismo inyectivo de anillos, el cual permite considerar a R [x] como subanillo de F  [x] de tal forma que se tiene R 

_→

R[x] 

_→

F [x]. De otra parte,

cada polinomio f (x) = p0 q0 + p1 q1x +

· · ·

+ pn qnx n

∈

F [x] se puede expresar en la forma f (x) = f 0(x)

q :=

1

qf 0(x), donde f 0(x)

 ∈

 R [x] y q 

 ∈

 R

− {

0

}

. En efecto, basta tomar

q  := q 0

· · ·

q n y f 0(x) = r0 + r1x +

· · ·

+ rnxn, con ri := qp_qii, 1

≤

i

≤

n.

Proposici´on 1.4.5. Sea R un DF U   y sea  F   su cuerpo de fracciones. Si f (x)

 _∈

R [x] es irreducible no constante, entonces  f (x) considerado como polinomio de  F  [x]

es irreducible. Rec´ıprocamente, si  f (x)

 _∈

R [x]  es un polinomio primitivo tal que  considerado como elemento de  F  [x] es irreducible, entonces  f (x) es irreducible como elemento de R [x].

Demostraci´ on.  Para la primera afirmaci´on sup´ongase que f (x) es reducible co-mo polinomio de F  [x]. Existen entonces polinomios m(x), n(x) en F  [x] de gra-do

_≥

  1 tales que f (x) = m(x)n(x).   Cada uno de estos factores se puede es-cribir como m(x) = m1(x)

m , n(x) =

n1(x)

n   , donde m1(x) y n1(x)

∈

R[x] y m, n

∈

R

_{− {}

0

_}

; adem´as, m1(x) es producto de su contenido m1 y un polinomio primitivo

m



_1(x)

 _∈

_{R[x], lo mismo se tiene para n(x). Resulta, mnf (x) = m1n1m}



_1(x)n



_1(x),

relaci´on que podemos considerar en R [x]. Si c := c(f (x)), entonces mnf (x) = mncf 1(x) = m1n1m



1(x)n



1(x), con f 1(x) primitivo, como m



1(x)n



1(x) es primitivo

podemos aplicar la proposici´on 1.4.4 y obtenemos que m1n1 = mncu, con u

∈

R

∗

, de

donde f (x) = cf 1(x) = cum



1(x)n



1(x), pero notemos que gr(m



1(x)) = gr(m(x))

 ≥

1, gr(n



_{1(x)) = gr(n(x))}

_≥

_{1, por lo tanto, f (x) es reducible en R[x].}

La afirmaci´on rec´ıproca es evidente ya que f (x) es primitivo y R[x] 

_→

F [x]. Teorema 1.4.6 (Teorema de Gauss). Sea R un DF U . Entonces, R [x]  es un 

DF U .

Demostraci´ on. Existencia . Sea f (x)

 _∈

R[x] un polinomio no nulo y no invertible; debemos probar que f (x) tiene una descomposici´on en producto de irreducibles. Co-mo f (x) es no nulo, entonces f (x) se puede expresar en la forma f (x) = c(f (x))f 



_(x),

donde f 



_{(x) es primitivo (v´ease la proposici´on 1.4.4). Consideremos dos casos.}

Caso 1. gr(f 



_{(x)) = 0. Entonces f} 



_{(x) = 1 y procedemos a descomponer c(f (x))}

en R; como f (x) no es invertible, entonces c(f (x)) no es invertible y por lo tanto tiene una descomposici´on en producto finito de irreducibles de R, los cuales a su vez son irreducibles de R[x] y obtenemos la descomposici´on irreducible de f (x) buscada.

Caso 2 . gr(f 



_(x))

_≥

_{1. Si c(f (x)) es invertible, entonces pasamos a descomponer}

f 



_{(x); si c(f (x)) no es invertible, entonces primero lo descomponemos como vimos}

en el caso anterior, y luego procedemos a descomponer  f 



_{(x). As´ı pues, solo nos resta}

ver la descomposici´on de f 



_(x).

Consideremos a f 



_{(x) como elemento de F [x], donde F  es el cuerpo de fracciones}

de R; si f 



_{(x) es irreducible, entonces por la proposici´on 1.4.5, f} 



_{(x) es irreducible en}

R [x], y hemos terminado. Supongamos pues que f 



_{(x) es reducible en F  [x]. Entonces}

finito de polinomios irreducibles de F  [x]: f 



_{(x) = f 1(x)}

_{· · ·}

_{f r(x), f i(x)}

_∈

_{F  [x] e}

irreducible, gr(f i(x))

≥

1, 1

≤

i

≤

r, r

≥

2. Cada polinomio f i(x) se puede expresar

en la forma f i(x) = f _i(x)

qi , con f i



(x)

∈

R[x], q i

 ∈

R

−{

0

}

. A su vez cada f i



(x) se puede

escribir en la forma f _i



_{(x) = c(f i}



_(x))f i



 _{(x), con f i}



 _(x)

_∈

_{R[x] primitivo. Notemos que}

f _i



 _{(x) es irreducible de R[x] ya que si fuese reducible, entonces por la proposici´on}

1.4.5 ser´ıa reducible en F [x], pero esto no es posible ya que  f i(x) es irreducible. Sean

q  :=



r_i=1q i y c :=



r_i=1c(f i



(x)), entonces qf 



(x) = cf 1



(x)

· · ·

f r



 (x). Como f 



(x)

y cada f 



_{(x) es primitivo, entonces por la proposici´on 1.4.4, existe u}

 _∈

 _R

∗

 _{tal que}

f 



_{(x) = uf 1}



_(x)

_{· · ·}

_f r



 _{(x). Esta es la descomposici´on irreducible buscada para f} 



_(x).

Unicidad . Supongamos que f (x) tiene dos descomposiciones en la forma  f (x) = g1(x)

· · ·

gr(x) = h1(x)

· · ·

hs(x), donde los gi(x), h j(x) son polinomios irreducibles

de R[x] de grado

 _≥

 0. Resulta c1g1



(x)

· · ·

crgr(x)



= d1h



1(x)

· · ·

dshs(x)



, con ci :=

c(gi(x)), d j := c(h j(x)), gi



(x), h j



(x) primitivos, 1

 ≤

i

 ≤

r, 1

 ≤

j

 ≤

s. Pero como

gi(x) = cig



i(x) es irreducible de R[x], entonces se presentan dos posibilidades: ci es

irreducible de R y g



_{i(x) = 1 o bien ci}

 _∈

 _R

∗

_{y gi}



_{(x) es irreducible de R[x] de grado}

≥

1; lo mismo se tiene para cada h j(x). Podemos entonces escribir

c1

· · ·

ctct+1

· · ·

crg



₁(x)

· · ·

g_t



(x)g_t



₊₁(x)

· · ·

g_r



(x) =

d1

· · ·

dmdm+1

· · ·

dsh



₁(x)

· · ·

h



m(x)h



m+1(x)

· · ·

h



s(x),

con c1, . . . , ct  irreducibles de R, ct+1, . . . , cr

∈

R

∗

, g₁



(x) =

· · ·

= gt



(x) = 1 y

g_t



_+1(x),

_{· · ·}

 _{, gr}



_{(x) irreducibles de R[x] de grado}

 _≥

_{1; d1, . . . , dm  irreducibles de R,}

dm+1, . . . , ds

 ∈

R

∗

, h



₁(x) =

 · · ·

= h



m(x) = 1 y h



m+1(x),

· · ·

 , h



s(x) irreducibles de

R[x] de grado

 _≥

1. Pero de la proposici´on 1.4.4 se tiene que

c1

· · ·

ctct+1

· · ·

cr = d1

· · ·

dmdm+1

· · ·

dsu, con u

∈

R

∗

g₁



_(x)

_{· · ·}

_gt



_(x)gt



_+1(x)

_{· · ·}

_gr



_{(x) = h1}



_(x)

_{· · ·}

_h



_m(x)h



_m+1(x)

_{· · ·}

_h



_{s(x), con v}

 _∈

_R

∗

_,

luego

c1

· · ·

ct = d1

· · ·

dmw, con w

∈

R

∗

g_t



_+1(x)

_{· · ·}

_gr



_{(x) = hm}



_+1(x)

_{· · ·}

_h



_{s(x), con y}

 _∈

_R

∗

_,

Como R   es un DF U , t = m y di = ciwi, con wi

∈

R

∗

, 1

≤

i

 ≤

t; adem´as

como F [x] es DF U , entonces r

₋

t = s

₋

m, es decir, r = s y h _j



_{(x) = g j}



_{(x)z  j, con}

z  j

 ∈

F 

∗

, t + 1

 ≤

j

 ≤

r. Sea z  j = a_bjj, entonces en R[x] tenemos b jh j



(x) = a jg j



(x),

pero como h _j



_{(x) y g j}



_{(x) son primitivos, entonces a j = b jv j, con v j}

 _∈

_R

∗

_{. Resulta,}

h _j



_{(x) = g j}



_{(x)v j. Volviendo al principio de la prueba de la unicidad concluimos que}

hi(x) = gi(x)wi, 1

≤

i

≤

t, y h j(x) = g j(x)d jc _j

−

1v j, t + 1

≤

 j

 ≤

r. Esto completa la

demostraci´on.

Corolario 1.4.7. Si R es un DF U , entonces R [x1, . . . , xn] tambi´en es un DF U .