Polinomios en varias variables - h j  (x) = g j  (x)v j Volviendo al principio de la prueba d

h j  (x) = g j  (x)v j Volviendo al principio de la prueba de la unicidad concluimos que

1.6. Polinomios en varias variables

Sea R un anillo conmutativo y sea R[X ] := R[x1, . . . , xn] su anillo de polinomios

en n variables. Existen varias maneras de escribir cada elemento de R[X ] en de- pendencia del prop´osito. Por ejemplo, podemos entender a R[X ] como R[X ] = R[x1, . . . , xn

₋

1][xn] de tal manera que cada elemento p(X ) := p(x1, . . . , xn)

∈

R[X ]

se puede representar en la forma p(X ) = p0(x1, . . . , xn

₋

1)+ p1(x1, . . . , xn

₋

1)xn+

· · ·

pr(x1, . . . , xn

₋

1)xrn; de manera similar podemos proceder con respecto a las demas

variables. Otra forma usada muy frecuentemente es expresar los elementos de R[X ] en la forma p(X ) =



t_i₌₁cαix αi, con c αi

∈

R, x αi := xα1i 1

· · ·

xαnni, αi := (α1i, . . . , αni)

∈

N

los elementos cαi se conocen como los coeﬁcientes de p(X ), los productos x

αi

son los monomios y los elementos cαix

αi son los_t´_erminos. Por ejemplo, si

p(x,y,z ) = 3

₋

2xy + 6xz + 7z 2

−

4xy2_z

∈

Z

[x,y,z ], entonces los coeﬁcientes de este polinomio son 3,

₋

2, 6, 7,

₋

4, los monomios son 1,xy,xz,z 2, xy2z y sus t´eminos son 3,

₋

2xy, 6xz, 7z 2_,

−

4xy2_z .

Deﬁnici´on 1.6.1. Sean R un anillo conmutativo y R[X ] := R[x1, . . . , xn] su anillo

de polinomios en n variables.

(i) El conjunto de monomios est´ andar de R[X ] se deﬁne por

(ii) Si xα

∈

Mon(R[X ]), exp(xα_{) := α} _y_gr(xα_{) :=}

|

_|

:= α1 +

· · ·

+ αn.

(iii) Sea p(X ) =



t_i₌₁cαix

αi

∈

R[X ], donde cada coeﬁciente cαies no nulo, se

deﬁne el grado de p(X ) por gr( p(X )) := m´ax

_{

gr(xαi)

}

t i=1.

(iv) Sea p(X ) como en (iii ), se dice que p(X ) es homog´eneo de grado n

_≥

0 si todos sus monomios son de grado n.

Los siguientes polinomios enteros son homog´eneos, 2xy

₋

x2_+yz

−

5z 2_; x

−

y +8z ; 3; x3

−

5x2_{z + z}3_{; en cambio 3xy}

−

y2_{+ 4z no es homog´eneo.}

Proposici´on 1.6.2. Mon(R[X ]) tiene estructura de monoide conmutativo. Adem´ as,

R[X ] es un R-m´ odulo libre a izquierda con base Mon(R[X ]).

Demostraci´ on. La estructura de monoide de Mon(R[X ]) es isomorfa con la de

N

n_:

en efecto, en

N

n _{se tiene que si α = (α}

1, . . . , αn), β = (β 1, . . . , β n)

∈N

n, entonces

α + β := (α1 + β 1, . . . , αn + β n);

el neutro en

N

n _{es (0, . . . , 0). De otra parte, en M on(R[X ]) se tiene que}

xα_xβ _= xα1 1

· · ·

xαnx β 1 1

· · ·

xβ nn = x α1+β 1 1

· · ·

xαnn+β n = xα+β ,

donde el elemento neutro es 1 := x0

· · ·

x0n. As´ı pues, el isomorﬁsmo entre

N

n y

Mon(R[X ]) viene dado por α

_→

xα_.

La segunda afirmación de la proposición se prueba de manera recurrente ya que según la definición de R[x1] que vimos al principio del cap´ıtulo, R[x1] es claramente

un R-m´odulo libre a izquierda con base

_{

}

_≥

0 (v´ease [11]), y para el caso general

se tiene que R[X ] = R[x1, . . . , xn

₋

1][xn].

Observación 1.6.3. Nótese que la proposición anterior es también válida cuando el anillo de coeficientes no es conmutativo.

A diferencia del caso de una sola variable, para los polinomios 2xy

₋

x2+yz

₋

5z 2

y 3xy

₋

y2_{+ 4z no es claro c´omo deﬁnir el monomio principal; por ejemplo, para el}

primer polinomio todos los monomios son del mismo grado. Sin embargo, en el caso general de varias variables, es necesario, en muchos contextos y aplicaciones, escribir un polinomio en forma ordenada según algún orden dado a su conjunto (monoide) de monomios estándar. De estos órdenes sobre Mon(R[X ]) nos ocuparemos a con- tinuación.

Hay muchas maneras de ordenar Mon(R[X ]), sin embargo, nosotros ya cono- cemos algunas propiedades que debe satisfacer un orden deseable. Por ejemplo, el orden mediante el grado en el caso de una variable fue usado para establecer un algoritmo de divisi´on (o reducci´on) y para extender relaciones de divisibilidad. Por lo tanto, en el caso general, si xα _{ha de dividir a x}β _{entonces deber´ıamos tener que}

xβ

≥

xα_{, o equivalentemente, si β}

También, en las divisiones descritas en la sección 1.3 nosotros arreglamos los térmi- nos de los polinomios en orden creciente o decreciente, y por lo tanto, fuimos capaces de comparar cualesquiera dos monomios. As´ı, el orden debe ser total, esto es, dados cualesquiera xα_{, x}β

∈

Mon(R[X ]), exactamente una de las siguientes relaciones debe cumplirse:

xβ _{> x}α_{, x}β _= xα _´o xα _{> x}β _.

Adem´as, la reducci´on

_−→

+ descrita en la secci´on 1.3 debe parar despu´es de un

número finito de pasos. Por lo tanto, para que la reducción sea finita necesitamos que el orden sea un buen orden, es decir, no exista una cadena infinita descendente xα1 _> xα2 > xα3 >

·· ·

en Mon(R[X ]). Un orden que satisface todas estas condiciones es conocido como un orden monomial y esas condiciones serán tenidas en cuenta en la siguiente definición.

Deﬁnici´on 1.6.4. Sea

_≥

una relaci´ on de orden en Mon(R[X ]). Si xβ

≥

xα _pero

xβ



= xα _{se escribe}_xβ _{> x}α_{, o tambi´en,} _xα _{< x}β _{. Se dice que}

≥

es monomial si satisface las siguientes condiciones:

(i)

_≥

es un orden total.

(ii) Para cada xβ



= 1 en Mon(R[X ]) se tiene que xβ _> 1_.

(iii) Si xβ

≥

xα_{, entonces}_xβ _xγ

≥

xα_xγ _{para cada}_xγ _en_Mon(R[X ])_.

Ejemplo 1.6.5. El orden lexicogr´ aﬁco (lex ) en M on(R[x]) se deﬁne de la siguiente manera:

(i) x1 > x2 > x3 >

· · ·

> xn.

(ii) Para α = (α1, . . . , αn) y β = (β 1, . . . , β n)

∈

N

n deﬁnimos

xβ _{> x}α _{si, y s´olo si, existe i}

≥

1 tal que β 1 = α1, . . . , β i

₋

1 = αi

₋

1, β i > αi.

De esta forma, en el caso de dos variables, se tiene que

1 = x0₁x0₂ < x2 = x01x2 < x22 = x01x22 < x32 = x01x32 <

· · ·

< x1 = x1x0₂ < x1x2 < x1x2₂ <

· · ·

< x2₁ = x2₁x0₂ <

· · ·

Veamos que lex es realmente un orden monomial: sea xβ _= xβ 1

· · ·

xβ nn



= 1 y sea i el

menor ´ındice tal que β i



= 0. Entonces claramente xβ 11

· · ·

xnβ n = xβ > 1 = x01

· · ·

x0n;

sea ahora xβ _= xβ 1

· · ·

xβ nn > x α1

· · ·

xαnn = xα y sea xγ = x γ 1

· · ·

xγ nn , sea i el menor

´ındice tal que β i > αi, entonces i es el menor ´ındice tal que β i + γ i > αi + γ i, luego

Ejemplo 1.6.6. Se deﬁne el orden lexicogr´ aﬁco graduado (deglex ) en R[X ] de la siguiente manera:

(i) x1 > x2 > x3 >

· · ·

> xn.

(ii) Para α = (α1, . . . , αn) y β = (β 1, . . . , β n)

∈N

n deﬁnimos

xβ _{> x}α

⇐⇒





|

_|

´o

|

_|

y xβ _{> x}α _{en el orden lex.}

De esta forma, en este orden primero ordenamos por el grado total y luego por el orden lex. En el caso de dos variables x1 y x2 tenemos:

1 = x0

1x02 < x01x2 = x2 < x1x02 = x1 < x22 = x01x22 < x1x2 <

< x2₁ = x2₁x0₂ < x0₁x3₂ = x3₂ < x1x22 < x21x2 < x13x02 = x31 <

· · ·

Veamos este orden en R[x, y] con x < y:

1 < x < y < x2 < yx < y2 < x3 < < yx2 _{< y}2_{x < y}3 _<

· · ·

Notemos que deglex es realmente un orden monomial: sea xβ _{= x}β 1

· · ·

xβ nn



= 1

y sea i el menor tal que β i



= 0. Entonces claramente xβ = xβ 11

· · ·

xβ nn > 1 =

x0 1

· · ·

x0n; sea xβ = x β 1 1

· · ·

xβ nn > xα = x α1 1

· · ·

xαnn y sea xγ = x γ 1 1

· · ·

xγ nn ; si



n i=1β i >



n i=1αi, entonces



n i=1β i +



n i=1γ i >



n i=1αi +



n i=1γ i, luego



n i=1 (β i + γ i) >



i=1 (αi + γ i) de tal forma que en este caso xβ xγ > xαxγ . Si



n_i₌₁αi =



n_i₌₁β i,

entonces xβ _{> x}α _{en el orden lex, y en este caso ya probamos que x}β _xγ _{> x}α_xγ _{, y}

adem´as



n_i₌₁ (αi + γ i) =



n_i₌₁ (β i + γ i) . El orden deglex es total ya que



n_i₌₁β i >



i=1αi ´o



i=1β i =



i=1αi (y el orden lex es total) ´o



i=1αi >



n i=1β i.

Observaci´on 1.6.7. (i) Es importante anotar que en cualquier orden monomial se necesita especiﬁcar un orden para las variables. Por ejemplo, si tenemos un orden monomial

_≥

en R[x, y], sabemos que x

_

= y, pero no tenemos ningún criterio para deducir que x > y o y > x, debemos postular alguna de estas relaciones en la definición de

_≥

(ii) Si usamos el orden lexicogr´aﬁco en R[x, y], con x < y (en lugar de x > y), entonces 1 < x < x2 < x3 <

_{· · ·}

< y < yx < yx2 <

_{· · ·}

< y2 <

_{· · ·}

Regresamos a la deﬁnici´on general de orden monomial. Queremos demostrar que cualquier monomial extiende la divisibildad y es un buen orden.

Comencemos con la divisibilidad. Consideramos a los monomios est´andar con alg´un orden monomial

_≥

; teniendo en cuenta que Mon(R[X ])

_⊂

R[X ], podr´ıamos entonces decir que xα _{divide a x}β _{si, y s´olo si, existe un polinomio c}

ctxγ 1

∈

R[X ] tal que xβ = (c1xγ 1 +

· · ·

+ ctxγ 1)xα, donde xγ 1 >

· · ·

> xγ 1, resulta

xβ _{= c}

1xγ 1xα, de donde c1 = 1 y xβ = xγ 1xα. Rec´ıprocamente, si esta ´ultima

igualdad se tiene, entonces xα _{divide a x}β _{. As´ı pues, la relaci´on de divisibilidad se}

puede definir en el monoide Mon(R[X ]), es decir, entre monomios. Definición 1.6.8. Sean xα_{, x}β

∈

M on(R[X ]), se dice que xα _{divide a}_xβ _{, lo cual}

se denota por xα

|

xβ _{, si existe}_xγ

∈

Mon(R[X ]) tal que xβ _= xγ _xα_.

Observemos que la relaci´on

_|

es un orden en Mon(R[X ]) que cumple las condiciones (ii) y (iii) de la deﬁnici´on 1.6.4, pero no es total. Se tiene sin embargo la siguiente propiedad.

Proposici´on 1.6.9. Sea

_≥

un orden monomial en Mon(R[X ]). Para xα_{, x}β

∈

Mon(R[X ]) se tiene que si xα

|

xβ _{, entonces}_xβ

≥

xα_.

Demostraci´ on. Existe xγ

∈

M on(R[X ]) tal que xβ _= xγ _xα_{. Por la condici´on (i) de}

la deﬁnici´on 1.6.4 se tiene que xγ

≥

1 y por la condición (ii) de dicha definición se obtiene que xβ _= xγ _xα

≥

xα_{, como se anunci´o.}

Aplicamos ahora los ´ordenes monomiales para representar cada polinomio de R[X ] de una manera ordenada: ﬁjemos un orden monomial sobre Mon(R[X ]), entonces dado P (X ) no nulo en R[X ] podemos escribir

p(X ) = a1xα1 + a2xα2 +

· · ·

+ arxαr,

donde 0

_

= ai

∈

R, xαi

∈

Mon(R[X ]) y xα1 > xα2 >

· · ·

> xαr. Deﬁnimos entonces

lm(P (X )) := xα1_{, el}_{monomio principal}_{de p(X ); lc(P (X )) := a}

1, el coeﬁciente

principal de P (X ); lt(P (X )) := a1xα1, el t´ermino principal de P (X ). Tambi´en

deﬁnimos lm(0) = lc(0) = lt(0) := 0. N´otese que si R es un DI , lp, lc y lt son funciones multiplicativas, es decir,

lm(f (X )g(X )) = lm(f (X ))lm(g(X )), lc(f (X )g(X )) = lc(f (X ))lc(g(X )),

lt(f (X )g(X )) = lt(f (X ))lt(g(X )).

En efecto, sean f (X ) = a1xα1 +

· · ·

+ anxαn y g(X ) = b1xβ 1 +

· · ·

+ bmxβ m, entonces

f (X )g(X ) =



i=1



j=1



aib jxαixβ j



y n´otese que xα1xβ j > xαixβ j con i

≥

2, j

≥

1 y tam-

bi´en xαixβ 1 > xαixβ j con i

≥

1, j

_≥

2. Esto garantiza que xα1xβ 1 = lm(f (X )g(X )) y entonces lm(f (X )g(X )) = lm(f (X ))lm(g(X )).

De otra parte, si cambiamos el orden monomial, entonces lm(f (X )), lc(f (X )) y lt(f (X )) pueden cambiar. Por ejemplo, sea f = 2x2_{yz + 3xy}3

−

2x3

∈ Z

[x, y]; si el orden es lex con x > y > z , entonces lm(f ) = x3_{, lc(f ) =}

−

2 y lt(f ) =

₋

2x3_{; si el}

Cerramos esta sección demostrando que los órdenes monomiales sobre anillos conmutativos noetherianos (véase [13]), es decir, aquellos que no tienen cadenas ascendentes infinitas de ideales, son buenos órdenes. Ejemplos importantes de anillos noetherianos son los cuerpos, o más generalmente, los DIPs.

Proposici´on 1.6.10. Sea R un anillo conmutativo noetheriano. Entonces, cada orden monomial sobre Mon(R[X ]) es un buen orden, es decir, cada subconjunto no vac´ıo C de Mon(R[X ]) tiene elemento m´ınimo.

Demostraci´ on. Sup´ongase contrariamente que existe un orden monomial que no es un buen orden. Entonces existe un subconjunto no vac´ıo C de Mon(R[X ]) de tal forma que existen xαi

∈

C, i = 1, 2, . . . tales que xα1 _{> x}α2 _{> x}α3 _>

· · ·

. (1.6.1)

Esto deﬁne una cadena de ideales en R[X ]



xα1

 ⊂ 

xα1_{, x}α2

 ⊂ 

xα1_{, x}α2_{, x}α3

 ⊂ · · ·

. (1.6.2) N´otese que efectivamente

_

xα1, . . . , xαi

 

_

xα1, . . . , xαi+1



: si tuvieramos la igualdad entonces xαi+1 ₌ i



j=1 u jxαj, (1.6.3)

donde u j

∈

R[X ], j = 1, 2, . . . , i . Sea p(X ) :=



_ji₌₁u jxαj; si expandimos cada

u j como una R-combinaci´on de monomios vemos que cada monomio de P (X ) es

divisible por alg´un xαj, 1

≤

_≤

i, por lo tanto lm(P (X )) = xγ _xαj, de donde xαi+1

es divisible por xαj, y en consecuencia, xαi+1

≥

xαj, lo cual contradice (1.6.1). Por

lo tanto, la cadena de ideales en (1.6.2) es estrictamente creciente, pero esto es una contradicción con el teorema de la base de Hilbert que dice que las cadenas ascendentes de ideales en R[X ] no son infinitas (véase [13]).

1.7. Polinomios sim´etricos

Una posible justificación para introducir y estudiar los polinomios simétricos en varias variables es cuando se permutan las ra´ıces de un polinomio, tal como veremos a continuación. Consideremos el polinomio p(z ) := (z

₋

r1)

· · ·

−

rn)

∈

R[z ]; n´otese

que si desarrollamos los factores de p(z ) obtenemos:

p(z) = zn

₋

(r1+

· · ·

+rn)zn

−

1+(r1r2+

· · ·

+r1rn+r2r3+

· · ·

+rn

₋

1rn)zn

−

(r1r2r3+r1r2r4+

· · ·

+ rn

₋

2rn

₋

1rn)zn

−

· · ·

+ (

−

1)n

−



_i₁_<i₂_<

_···

_<i_n₋₁ ri1

· · ·

rin−1)z + (

−

n₍_r

1r2

· · ·

rn);

si permutamos las ra´ıces de p(z ), es decir, intercambiamos los factores, entonces los coeﬁcientes de la expansi´on anterior por supuesto son los mismos.

Deﬁnici´on 1.7.1. Sea R un anillo conmutativo; un polinomio p(x1, . . . , xn)

∈

R[x1, . . . , xn] se dice sim´etrico si para cada permutaci´ on π del grupo sim´etrico

S n se tiene que p(xπ(1), . . . , xπ(n)) = p(x1, . . . , xn). Los polinomios sim´etricos

elementales son s1 := x1 +

· · ·

+ xn s2 := x1x2 +

· · ·

+ xn

₋

1xn s3 := x1x2x3 + x1x2x4 +

· · ·

+ xn

₋

2xn

₋

1xn .. . sk :=



_i₁_<i₂_<

_···

_<i_k xi1

· · ·

xik .. . sn

₋

1 :=



_i₁_<i₂_<

_···

_<i_n₋₁ xi1

· · ·

xin−1 sn := x1x2

· · ·

xn.

Otra manera de definir los polinomios simétricos es como sigue: notemos que cada permutación π

_∈

S n deﬁne un homomorﬁsmo de anillos

π : R[x1, . . . , xn]

→

R[x1, . . . , xn], π( p(x1, . . . , xn)) := p(xπ(1), . . . , xπ(n)),

entonces p(x1, . . . , xn) es sim´etrico si, y s´olo si, para cada π

∈

S n, p(x1, . . . , xn)

es un punto ﬁjo de π. Otros ejemplos de polinomios sim´etricos no elementales son x2

· · ·

+ x2n; los polinomios constantes; x1+

· · ·

+ xn+ x1x2+

· · ·

+ xn

₋

1xn = s1+ s2;

₋

1sn.

Consideremos nuevamente el polinomio p(z ) = (z

₋

r1)

· · ·

−

rn)

∈

R[z ]; ha-

gamos rn = 0, entonces (z

₋

r1)

· · ·

−

₋

1)z = z n

−

(r1 +

· · ·

+ rn

₋

1)z n

−

1 + (r1r2 +

· · ·

+ r1rn

₋

1 + r2r3 +

· · ·

+ rn

₋

2rn

₋

1)z n

−

(r1r2r3 + r1r2r4 +

· · ·

+ rn

₋

3rn

₋

2rn

₋

1)z n

−

3 +

· · ·

+ (

₋

1)n

₋

2₍



i1<i2<

···

<in−2ri1

· · ·

rin−2)z + (

−

1) n

₋

1_(r 1r2

· · ·

₋

1),

notemos entonces que los coeficientes en la expansión anterior corresponden a los polinomios simétricos elementales en r1, . . . , rn

₋

1, los cuales podemos denotar por

(s1)0, (s2)0, . . . , (sn

₋

1)0.

Veremos enseguida que la colecci´on S de polinomios sim´etricos es un subanillo de R[x1, . . . , xn] y contiene a R. ¿El subanillo de R[x1, . . . , xn] generado por R y los

polinomios simétricos elementales coincide con S ? La respuesta a esta pregunta es positiva y constituye el principal resultado de esta sección, el cual demostraremos a continuación. Como en la sección anterior, denotemos R[X ] = R[x1, . . . , xn] y sea

Mon(R[X ]) la colección de monomios estándar de R[X ]. Definición 1.7.2. Sea xα _= xα1

· · ·

xαn

∈

Mon(R[X ]); se deﬁne el peso de xα por

w(xα_{) := α}

1 + 2α2 +

· · ·

+ nαn. Sea p(X ) =



t_i₌₁cαix

αi

∈

R[X ], se deﬁne el peso de p(X ) por w( p(X )) := m´ax

_{

w(xαi)

}

t i=1.

Observaci´on 1.7.3. (i) Notemos que si xα



= 1, entonces gr(xα_{) < w(x}α_{), y por}

lo tanto, si P (X ) no es constante, entonces gr( p(X )) < w(P (X )). Por ejemplo, en

Z

[x, y], gr(3x2_y

−

xy2 _{+ 4xy) = 3 y w(3x}2_y

−

xy2 _{+ 4xy) = 5.}

(ii) Dados dos monomios xα_{, x}β _{con gr(x}α_{) < gr(x}β _{), es posible que w(x}β _{) >}

w(xα_{), por ejemplo, en}

_Z

_{[x,y,z ] se tiene que gr(z}4_{) < gr(x}2_y2_{z ), pero w(z}4_{) = 12 >}

9 = w(x2y2z ).

(iii) Monomios distintos pueden tener el mismo peso, por ejemplo, x2 _{y y en}

Z

[x, y]. Esto impide que podamos ordenar los monomios solamente con el peso. Podemos ya demostrar el resultado central de esta secci´on.

Teorema 1.7.4. Sea R un anillo conmutativo y R[X ] su anillo de polinomios en las variables x1, . . . , xn. Entonces,

(i) La colecci´ on S de los polinomios sim´etricos es un subanillo de R[X ].

(ii) Si p(X ) es un polinomio de peso d, entonces p(s1, . . . , sn) es un polinomio

sim´etrico de grado

_≤

(iii) S coincide con el subanillo generado por s1, . . . , sn y R, es decir,

S = R[s1, . . . , sn]. M´ as exactamente, si s(X ) es un polinomio sim´etrico de

grado d, entonces existe un polinomio p(X ) de peso

_≤

d tal que s(X ) = p(s1, . . . , sn).

Demostraci´ on. (i) Sean s(X ), t(X )

_∈

S y sea π

_∈

S n, entonces π(s(X ) + t(X )) =

π(s(X )) + π(t(X )) = s(X ) + t(X ); π(s(X )t(X )) = π(s(X ))π(t(X )) = s(X )t(X ); π(1) = 1.

(ii) Según (i), p(s1, . . . , sn) es un polinomio simétrico. Ordenemos p(X ) según el

peso de sus monomios, es decir, p(X ) = cxα _+ bxβ ₊

· · ·

+ cxγ _{, con d = w(x}α₎

≥

w(xβ ₎

≥ · · · ≥

w(xγ _{), luego d = α} 1+ 2α2+

· · ·

+ nαn

≥

β 1+ 2β 2+

· · ·

+ nβ n

≥ · · · ≥

γ 1 + 2γ 2 +

· · ·

+ nγ n; de otro lado, p(s1, . . . , sn) = cs1α1sα22

· · ·

sαnn + bs β 1 1 s β 2 2

· · ·

sβ nn +

· · ·

+ csγ 1 1 s γ 2

· · ·

sγ nn , y al desarrollar el primer sumando anterior encontramos que

sα1

· · ·

sαnn = (x1+

· · ·

+ xn)α1(x1x2+

· · ·

+ xn

₋

1xn)α2

· · ·

(x1

· · ·

xn)αn, y en este desa-

rrollo los monomios son de grado α1+ 2α2+

· · ·

+ nαn = d, lo mismo podemos hacer

para los otros sumandos, por lo tanto el monomio de mayor grado de p(s1, . . . , sn) es

≤

d (los monomios de grado d se podr´ıan cancelar), es decir, gr( p(s1, . . . , sn))

≤

(iii) Puesto que rsi = sir y sis j = s jsi para 1

≤

i, j

≤

n y cada r

∈

R, entonces el

subanillo de R[X ] generado por R y s1, . . . , sn es el conjunto de todas las expresiones

polin´omicas en s1, . . . , sn, conjunto que denotamos por R[s1, . . . , sn] (v´ease [10]). Por

lo tanto, seg´un (i), R[s1, . . . , sn]

⊆

S .

_⊆

R[s1, . . . , sn]: para la prueba de esta inclusi´on procedemos por induc-

R[s1] = R[x1] = S . Supongamos que hemos demostrado la aﬁrmaci´on para poli-

nomios sim´etricos en n

₋

1 variables con cualquier grado d. Sea s(X ) un polinomio sim´etrico de R[X ] de grado d

_≥

Haremos ahora una prueba por inducción sobre d. Para d = 0, la afirmación es trivial ya que s(X ) es una constante y el polinomio p(X ) buscado es s(X ). Sea d

_≥

1 y supongamos la afirmación cierta para polinomios simétricos de n variables de grado

_≤

₋

1. Sea s(X ) sim´etrico de R[X ] de grado d; tomando xn = 0, entonces

s(x1, . . . , xn

₋

1, 0) es un polinomio sim´etrico en n

−

1 variables y de grado

≤

d (la

simetr´ıa de s(x1, . . . , xn

₋

1, 0) se debe a que cada permutaci´on de S n

₋

1 se puede ver

como una permutación de S n dejando n fijo), luego por la inducción sobre n existe

un polinomio p1(x1, . . . , xn

₋

1) de peso

≤

d tal que

s(x1, . . . , xn

₋

1, 0) = p1((s1)0, . . . , (sn

₋

1)0).

Al polinomio p1(x1, . . . , xn

₋

1) lo podemos ver como elemento de R[X ], es decir, como

polinomio en n variables, luego, seg´un (ii), p1(s1, . . . , sn

₋

1) es un polinomio sim´etrico

en las variables x1, . . . , xn de grado

≤

d. El polinomio

s1(X ) := s(X )

−

p1(s1, . . . , sn

₋

tiene grado

_≤

d y es sim´etrico en las variables x1, . . . , xn. Resulta,

s1(x1, . . . , xn

₋

1, 0) = s(x1, . . . , xn

₋

1, 0)

−

p1((s1)0, . . . , (sn

₋

1)0) = 0.

Esto indica que s1(X ) es divisible por xn, pero como es sim´etrico, debe ser divisible

tambi´en por x1

· · ·

xn, as´ı pues, s1(X ) = sns2(X ). Notemos que s2(X ) debe ser tam-

bi´en sim´etrico: en efecto, sea π

_∈

S n, entonces π(s1(X )) = s1(X ) = π(sns2(X )) =

π(sn)π(s2(X )) = snπ(s2(X )), luego cancelamos sn y obtenemos lo anunciado. El

grado de s2(X ) es

≤

−

n < d, por lo tanto podemos aplicar la inducci´on sobre d

y encontramos un polinomio p2(X ) en las n variables x1, . . . , xn de peso

≤

−

n tal

que s2(X ) = p2(s1, . . . , sn). Reemplazamos y obtenemos

s(X ) = s1(X ) + p1(s1, . . . , sn

₋

1) = sn p2(s1, . . . , sn) + p1(s1, . . . , sn

₋

1),

donde el polinomio xn p2(x1, . . . , xn)+ p1(x1, . . . , xn

₋

1) tiene peso

≤

d. Esto completa

la demostraci´on.

Veamos ahora la unicidad de la representación de los polinomios simétricos en términos de los simétricos elementales.

Corolario 1.7.5. Sean p(X ), q (X )

_∈

R[X ] tales que p(s1, . . . , sn) = q (s1, . . . , sn).

Entonces, p(X ) = q (X ). En otras palabras, los polinomios sim´etricos elementales

s1, . . . , sn son algebraicamente independientes sobre R.

Demostraci´ on. Según el teorema 1.7.4, la función definida por R[X ]

₋_→

φ S , p(X )

_→

p(s1, . . . , sn)

es un homomorﬁsmo sobreyectivo de anillos. La prueba del corolario consiste en establecer que φ es inyectivo (la independencia algebraica se entiende de la siguiente manera: si los polinomios sim´etricos elementales s1, . . . , sn satisfacen un polinomio

p(X )

_∈

R[X ], entonces P (X ) es el polinomio nulo).

La prueba la hacemos por indución sobre n. Para n = 1 la afirmación es trivial. Asumamos el resultado cierto para n

₋

1 variables, y supongamos entonces que φ no es inyectivo. Sea p(X )

_∈

R[X ] no nulo de grado m´ınimo tal que p(s1, . . . , sn) = 0;

podemos escribir p(X ) en la forma

p(X ) = p0(x1, . . . , xn

₋

1) + p1(x1, . . . , xn

₋

1)xn +

· · ·

+ pk(x1, . . . , xn

₋

1)xkn.

Notemos que p0(x1, . . . , xn

₋



= 0: en efecto, si p0(x1, . . . , xn

₋

1) = 0, entonces

p(X ) = xnq (X ), con q (X )

∈

R[X ] de grado menor que el grado de P (X ), con

lo cual snq (s1, . . . , sn) = 0, de donde q (s1, . . . , sn) = 0, contradicci´on. Resulta

0 = p0(s1, . . . , sn

₋

1) + p1(s1, . . . , sn

₋

1)sn +

· · ·

+ pk(s1, . . . , sn

₋

1)skn.

Si hacemos xn = 0 obtenemos 0 = p0((s1)0, . . . , (sn

₋

1)0), lo cual es contradictorio

con la hip´otesis de inducci´on.

Observaci´on 1.7.6. Notemos que el teorema y corolario anteriores demuestran que R[X ]

∼

= S

_⊂

R[X ].

Ejemplo 1.7.7. Consideremos nuevamente el polinomio que vimos al inicio de esta secci´on: p(z ) := (z

₋

r1)

· · ·

−

rn)

∈

R[z ]; notemos que el producto

d(r1, . . . , rn) :=



_i<j(ri

−

r j)2

es un polinomio sim´etrico en las variables r1, . . . , rn. En efecto, al aplicar cualquier

permutaci´on π

_∈

S n a d(r1, . . . , rn) aparecen nuevamente todas y cada una de las

diferencias entre las ra´ıces r’s, pero algunas en orden cambiado, es decir, en lugar de ri

−

r j con i < j puede aparecer r j

−

ri. Sin embargo, como las diferencias aparecen

al cuadrado, entonces el producto total queda invariable. Este polinomio sim´etrico se denomina el discriminante de p(z ). Notemos que d(r1, . . . , rn) es homog´eneo

de grado n(n

₋

1).

Ejemplo 1.7.8. Para el discriminante d(r1, r2) = (r1

−

r2)2 queremos aplicar la

demostraci´on del teorema 1.7.4 para calcular un polinomio p(r1, r2) de peso

≤

tal que d(r1, r2) = p(s1, s2). Siguiendo la prueba del teorema, existe un polinomio

p1(r1) de peso

≤

2 tal que d(r1, 0) = p1((s1)0), es decir, r21 = p1((s1)0); este polinomio

claramente es p1(r1) = r2₁, por lo tanto hacemos d1(r1, r2) = d(r1, r2)

−

s2₁ = (r1

−

r2)2

−

(r1 + r2)2 =

−

4r1r2 =

−

4s2, de donde d(r1, r2) = s21

−

4s2. As´ı pues, el

Ejemplo 1.7.9. f (x1, x2) = (x1

−

x2)2x21x22 es un polinomio sim´etrico en dos vari-

ables de grado

_≤

6; queremos aplicar nuevamente la demostraci´on del teorema 1.7.4 para encontrar un polinomio en dos variables p(x1, x2) de peso

≤

6 tal que

f (x1, x2) = p(s1, s2). Observemos que f (x1, 0) = 0, por lo tanto, en este caso el

primer paso de la demostraci´on del teorema no produce nada nuevo. Notemos que f (x1, x2) = (x1

−

x2)2s22, luego consideremos el polinomio q (x1, x2) := (x1

−

x2)2,

el cual es sim´etrico de grado 2. A este polinomio le debemos aplicar el teorema, por lo tanto, hacemos q (x1, 0) = x21 y consideramos el polinomio q (x1, x2)

−

s21 =

(x1

−

x2)2

−

(x1 + x2)2 =

−

4x1x2 =

−

4s2, con lo cual q (x1, x2) = s21

−

4s2 (n´otese

que el polinomio x2₁

₋

4x2 es de peso 2). As´ı, f (x1, x2) = (s21

−

4s2)s22 y el polinomio

buscado es p(x1, x2) = (x2₁

−

4x2)x2₂, el cual es de peso 6.

Ejemplo 1.7.10. Veamos otra ilustraci´on del teorema 1.7.4. Consideremos el polinomio sim´etrico f (x1, x2, x3) = x31 + x32 + x33 de grado 3; buscamos un polinomio

p(x1, x2, x3) de peso

≤

3 tal que f (x1, x2, x3) = p(s1, s2, s3).

Primero hacemos f (x1, x2, 0) = x31 + x32 y buscamos un polinomio p1(x1, x2) de

peso

_≤

3 tal que f (x1, x2, 0) = p1((s1)0, (s2)0). Para esto aplicamos el teorema al

polinomio sim´etrico f (x1, x2, 0) = x31 + x32; por lo tanto hacemos f (x1, 0, 0) = x31

y encontramos f (x1, x2, 0)

−

(s1)30 = x31 + x32

−

(x1 + x2)3 =

−

3x21x2

−

3x1x22 =

−

3(x1 + x2)x1x2 =

−

3(s1)0(s2)0, as´ı pues f (x1, x2, 0) = (s1)30

−

3(s1)0(s2)0 y el

polinomio buscado es x3

−

3x1x2, el cual efectivamente es de peso 3.

El siguiente paso es deﬁnir f 1(x1, x2, x3) = f (x1, x2, x3)

−

(s31

−

3s1s2), luego

f 1(x1, x2, x3) = x31+ x32+ x33

−

(x1+ x2+ x3)3+ 3(x1+ x2+ x3)(x1x2+ x1x3+ x2x3) =

3x1x2x3 = 3s3. Por lo tanto, f (x1, x2, x3) = s31

−

3s1s2 + 3s3 y el polinomio buscado

es x3₁

₋

3x1x2 + 3x3, el cual tiene peso 3.

1.8. Ejercicios

1. Sean f (x) = x6 _{+ 3x}5 _{+ 4x}2

−

3x + 2 y g(x) = x2 _{+ 2x}

−

3 polinomios de

Z

7 [x]. Encuentre q (x) y r(x) en

Z

7 [x] tales que f (x) = g(x)q (x) + r(x), con

deg[r(x)] < 2.

2. Considere el polinomio f (x) = x3 _{+ 2x + 3 como elemento de}

_Z

5 [x] . Exprese

a f (x) como producto de polinomios irreducibles. 3. Pruebe que p(x) = x3

−

9 es reducible sobre

Z

11.

4. Pruebe que p(x) = x2 _{+ 1 es irreducible como elemento de}

_Z

11 [x]. Pruebe

adem´as que

Z

11 [x] /



p(x)



es un cuerpo con 121 elementos.

5. Escriba todos los polinomios de grado

_≤

3 irreducibles de

Z

3 [x] .

6. Pruebe que x4

7. Pruebe que x3

₋

x2+ x + 6 es irreducible sobre

Q

8. Sean m y n enteros primos relativos, es decir, m.c.d.(m, n) = 1. Suponga que (x

₋

|

(a0 + a1x +

· · ·

+ arx

r_{), donde a}

∈

Z

. Pruebe que m

|

a0 y n

|

ar.

9. Construya un cuerpo de 27 elementos.

10. Demuestre que si F es un cuerpo ﬁnito entonces su caracter´ıstica es un primo p y adem´as F tiene pn _{elementos para un cierto n}

≥

1. Pruebe adem´as que a pn

= a para cada a

_∈

F. (Sugerencia: pruebe que F es un espacio vectorial sobre su subanillo primo =subcuerpo primo, v´ease [10]).

11. Mediante el algoritmo de Euclides compruebe que

m.c.d.(f 1(x), f 2(x), f 3(x)) = x2 + x + 1,

donde f 1(x) = x5

−

2x4

−

x2 + 2x, f 2(x) = x7 + x6

−

2x4

−

2x3 + x + 1 y

f 3(x) = x6

−

2x5 + x4

−

2x3 + x2

−

2x.

12. Calcule el m.c.m. de los polinomios enteros

₋

1, x4+ 2x3 + 2x2

₋

3. 13. Calcule la descomposici´onn irreducible de x3

−

∈

Q

[x, y].

14. Utilizando el teorema de Fermat con p = 5, calcule los ceros del polinomio 2x219 _{+ 3x}74_{+ 2x}57_{+ 3x}44

∈

Z

5 [x] .

15. Sean R un anillo conmutativo, R [x] su anillo de polinomios y

_

_

el ideal generado por el polinomio p(x) = x. ¿Es cierto que R [x] /

_

_{ ∼}

= R?

16. Demuestre que el polinomio y3+ 3x2y

₋

6xy2 + x

_∈

Z

[x, y] es irreducible. 17. Sean F un cuerpo y f (x) = anxn+

· · ·

+ a0

∈

F [x]. Si 0



= a

∈

F es una ra´ız

de f (x), demuestre que a

−

1 _{es una ra´ız de a}

n +

· · ·

+ a0xn.

18. Sea F un cuerpo. Sea I 1

⊆

I 2

⊆

I 3

⊆ · ··

una cadena ascendente de ideales de

F [x]. Demuestre que existe k

_≥

1 tal que I k = I k+1 = I k+2 =

·· ·

. Generalice

esta propiedad para cualquier DIP .

19. Sea K un cuerpo y sea f (x) un polinomio no nulo de K [x]. Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes: (i)

_

f (x)

_

es un ideal primo (ii)

_

f (x)

_

es un ideal maximal (iii) f (x) es irreducible.

20. Sea R un DF U y sea F su cuerpo de fracciones. Demuestre que el cuerpo de fracciones de R[x] es isomorfo al cuerpo de fracciones de F [x].

21. Sea K un cuerpo inﬁnito y sean f (x), g(x)

_∈

K [x] tales que f (a) = g(a) para cada a

_∈

K . Demuestre que f (x) = g(x). ¿Es cierta esta propiedad para cuerpos ﬁnitos?

22. Sea A un anillo arbitrario y sea A

₋_→

ι A[x] el homomorﬁsmo inclusi´on, es decir, ι(a) := a, a

_∈

A. Demuestre que si S es un anillo cualquiera y A

₋_→

f S es un homomorﬁsmo de anillos de tal forma que en S existe un elemento y con la condici´on f (a)y = yf (a), para cada a

_∈

A, entonces existe un ´unico homomorﬁsmo de anillos A[x]

₋_→



S tal que fι = f y



f (x) = y.



23. Sea A un anillo arbitrario y sea g(x) un polinomio m´onico en A[x]. Demuestre que dado f (x)

_∈

A[x] existen q (x) y r(x) en A[x] ´unicos tales que

f (x) = q (x)g(x) + r(x), con r(x) = 0 ´o gr(r(x)) < gr(g(x)). 24. Calcule todos los polinomios sim´etricos de

Z

2[x1, x2] de grado

≤

25. Calcule todos los polinomios de

Z

2[x1, x2] de peso

≤

26. Compruebe que el polinomio s(x1, x2, x3) = (x1 + x2)(x1 + x3)(x2 + x3)

∈

Z

[x1, x2, x3] es sim´etrico de grado 3. Encuentre un polinomio p(x1, x2, x3)

∈

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